第五講 套利定價模型(APT)

講套利定價模型（APT）

2021/6/271本講的主要內(nèi)容：

1、CAPM模型的缺陷

2、因素模型

3、套利組合

4、APT模型

5、CAPM與APT的比較2021/6/272一、CAPM的局限性（一）相關假設條件的局限性

1.市場無摩擦假設和賣空無限制假設與現(xiàn)實不符；

2.投資者同質(zhì)預期與信息對稱的假設意味著信息是無成本的，與現(xiàn)實不符；3.投資者為風險厭惡的假設過于嚴格。2021/6/273（二）CAPM的實證檢驗問題

1.市場組合的識別和計算問題

CAPM刻畫了資本市場達到均衡時資產(chǎn)收益的決定方法。所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特點是，均衡資產(chǎn)的收益率取決于市場資產(chǎn)組合的期望收益率。理論上，市場資產(chǎn)組合定義為所有資產(chǎn)的加權(quán)組合，每一種資產(chǎn)的權(quán)數(shù)等于該資產(chǎn)總市場價值占所有資產(chǎn)總價值的比重。但實際上，市場資產(chǎn)涵蓋的范圍非常廣泛，因此，在CAPM的實際運用中要識別一個真正的市場組合幾乎是不可能的。一些經(jīng)濟學家采用一個容量較大的平均數(shù)（如標準普爾工業(yè)指數(shù)）作為市場資產(chǎn)組合的替代，對CAPM進行了檢驗，得出的結(jié)果卻與現(xiàn)實相悖。2021/6/2742.單因素模型無法全面解釋對現(xiàn)實中資產(chǎn)收益率決定的影響因素

RosenbergandMarshe（1977）的研究發(fā)現(xiàn)，如果將紅利、交易量和企業(yè)規(guī)模加入計量模型，則β系數(shù)會更有說服力。Basu(1977)發(fā)現(xiàn)，低市盈率股票的期望收益率高于資本資產(chǎn)定價模型的估計；Banz(1981)的實證研究表明，股票收益率存在“規(guī)模效應”，即小公司股票有較高的超常收益率；Kleim（1983）發(fā)現(xiàn)股票收益呈季節(jié)性變動，即存在季節(jié)效應。上述兩方面的局限性都削弱了CAPM對現(xiàn)實經(jīng)濟的解釋能力。2021/6/275（三）關于CAPM檢驗的羅爾批評（Roll’sCritique）

Roll（1977）對CAPM提出了如下批評意見：

1.對于CAPM唯一合適的檢驗形式應當是：檢驗包括所有風險資產(chǎn)在內(nèi)的市場資產(chǎn)組合是否具有均值-方差效率。

2.如果檢驗是基于某種作為市場資產(chǎn)組合代表的股票指數(shù)，那么如果該指數(shù)具有均值-方差效率，則任何單個風險資產(chǎn)都會落在證券市場線上，而這是由于恒等變形引起的，沒有實際意義；2021/6/2763.如果檢驗是基于某種無效率的指數(shù)，則風險資產(chǎn)收益的任何情形都有可能出現(xiàn)，它取決于無效指數(shù)的選擇。該結(jié)論斷言，即便市場組合是均值-方差效率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能夠證明單一風險資產(chǎn)均衡收益同β風險、市場組合之間存在某種有意義的關系。因此，羅爾認為，由于技術上的原因和原理上的模糊，CAPM是無法檢驗的。2021/6/277二、套利定價理論簡介羅斯（Ross，1976）給出了一個以無套利定價為基礎的多因素資產(chǎn)定價模型，也稱套利定價理論模型（ArbitragePricingTheory，APT）。該模型由一個多因素收益生成函數(shù)推導而出，其理論基礎為一價定律（TheLawofOnePrice），即兩種風險－收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)不能按不同價格出售。該模型推導出的資產(chǎn)收益率決定于一系列影響資產(chǎn)收益的因素，而不完全依賴于市場資產(chǎn)組合，而套利活動則保證了市場均衡的實現(xiàn)。同時，APT對CAPM中的投資者風險厭惡的假設條件作了放松，從而較CAPM具有更強的現(xiàn)實解釋能力。2021/6/278三、因素模型

套利定價理論認為，證券收益是跟某些因素相關的。為此，在介紹套利定價理論之前，我們先得了解因素模型（FactorModels）。因素模型認為各種證券的收益率均受某個或某幾個共同因素影響。各種證券收益率之所以相關主要是因為他們都會對這些共同的因素起反應。因素模型的主要目的就是找出這些因素并確定證券收益率對這些因素變動的敏感度。2021/6/279（一）單因素模型單因素模型認為，證券的收益率只受一種因素的影響。對于任意的證券i，其在t時刻的單因素模型表達式為：（5-1）其中表示證券i在t時期的收益率，F(xiàn)t表示該因素在t時期的預測值，bi表示證券i對該因素的敏感度。為證券i在t時期的隨機變量，其均值為零，標準差為，i為常數(shù)，它表示要素值為0時證券i的預期收益率。因素模型認為，隨機變量ε與因素是不相關的，且兩種證券的隨機變量之間也是不相關的。2021/6/2710根據(jù)式（5-1），證券i的預期收益率為：（5-2）其中表示該要素的期望值。根據(jù)式（5-1），證券i收益率的方差為：（5-3）其中表示F因素的方差，表示隨機變量的方差，式（5-3）表明，某種證券的風險等于因素風險加上非因素風險。在單因素模型下，證券i和j收益率的協(xié)方差為：（5-4）單因素模型可以大大簡化馬科維茨模型中確定切點處投資組合的麻煩。2021/6/2711在單因素模型中，證券組合的方差等于：（5-4）其中，2021/6/2712（二）兩因素模型兩因素模型認為，證券收益率取決于兩個因素，其表達式為：其中,F1t和F2t分別表示影響證券收益率的兩個因素在t時期的預測值,bi1和bi2分別表示證券i對這兩個因素的敏感度.證券i的預期收益率為：證券i收益率的方差為：

其中COV(F1,F2)表示兩個因素F1和F2之間的協(xié)方差。證券i和證券j的協(xié)方差為：2021/6/2713（三）多因素模型多因素模型認為，證券i的收益率取決于K個因素，其表達式為：

應該注意的是，與資本資產(chǎn)定價模型不同，因素模型不是資產(chǎn)定價的均衡模型。在實際運用中，人們通常通過理論分析確定影響證券收益率的各種因素，然后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，運用時間序列法、跨部門法、因素分析法等實證方法估計出因素模型。2021/6/2714四、套利組合根據(jù)套利定價理論，在不增加風險的情況下，投資者將利用組建套利組合的機會來增加其現(xiàn)有投資組合的預期收益率。那么，什么是套利組合呢？根據(jù)套利的定義，套利組合要滿足三個條件：條件1：套利組合要求投資者不追加資金,即套利組合屬于自融資組合.如果我們用xi表示投資者持有證券i金額比例的變化(從而也代表證券i在套利組合中的權(quán)重,注意xi可正可負)，則該條件可以表示為：2021/6/2715條件2：套利組合對任何因素的敏感度為零，即套利組合沒有因素風險。證券組合對某個因素的敏感度等于該組合中各種證券對該因素敏感度的加權(quán)平均數(shù)，因此在單因素模型下該條件可表達為：

在雙因素模型下，條件2表達式為：在多因素模型下，條件2表達式為：

……2021/6/2716條件3：套利組合的預期收益率應大于零，即：例題：某投資者擁有一個3種股票組成的投資組合，3種股票的市值均為500萬，投資組合的總價值為1500萬元。假定這三種股票均符合單因素模型，其預期收益率分別為16%、20%和13%，其對該因素的敏感度(bi)分別為0.9、3.1和1.9。請問該投資者能否修改其投資組合，以便在不增加風險的情況下提高預期收益率。2021/6/2717解：令三種股票市值比重變化量分別為x1、x2和x3。根據(jù)(條件1)和(條件2)我們有：上述方程組有多種解.作為其中的一個解，我們令x1=0.1，則可解出x2=0.083,x3=－0.183。為了檢驗這個解能否提高預期收益率，我們把這個解用(條件3)檢驗。則有：0.1

0.16+0.083

0.2－0.183

0.13=0.881%由于0.881%為正數(shù)，因此我們可以通過賣出274.5萬元的第三種股票(等于－0.183

1500萬元)同時買入150萬元第一種股票(等于0.1

1500萬元)和124.5萬元第二種股票(等于0.083

1500萬元)就能使投資組合的預期收益率提高0.881%。2021/6/2718五、套利定價模型投資者的套利活動是通過買入收益率偏高的證券同時賣出收益率偏低的證券來實現(xiàn)的，其結(jié)果是使收益率偏高的證券價格上升，其收益率將相應回落；同時使收益率偏低的證券價格下降，其收益率相應回升。這一過程將一直持續(xù)到各種證券的收益率跟各種證券對各因素的敏感度保持適當?shù)年P系為止。下面我們就來推導這種關系：2021/6/2719（一）單因素模型的定價公式投資者套利活動的目標是使其套利組合預期收益率最大化(因為根據(jù)套利組合的定義,他無需投資,也沒有風險)。而套利組合的預期收益率為：但套利活動要受到式(條件1)和(條件2)兩個條件的約束。根據(jù)拉格朗日定理，我們可建立如下函數(shù)：L取最大值的一價條件是上式對xi和的偏導等于零，即：2021/6/2720

……

2021/6/2721由此我們可以得到在均衡狀態(tài)下和的關系：（5-5）這就是在單因素模型APT定價公式,其中是常數(shù)。從式(5-5)可以看出和必須保持線性關系，否則的活，投資者就可以通過套利活動來提高投資組合的預期收益率。式（5-5）可以用下圖來表示：

APT資產(chǎn)定價線BSbibB=bS2021/6/2722式（5-5）中的代表什么意思呢？我們知道，無風險資產(chǎn)的收益率等于無風險利率，即：。由于式（5-5）適用于所有證券包括無風險證券，而無風險證券的因素敏感度，因此根據(jù)式（5-5）我們有：。由此可見，式（5-5）中的一定等于，因此式（5-5）可重新表示為：（5-6）為了理解的含義，我們考慮一個純因素組合其因素敏感度等于1，即代入（5-6），我們有：2021/6/2723由此可見，代表因素風險報酬，即擁有單位因素敏感度的組合超過無風險利率部分的預期收益率。為表達方便，我們令，即表示單位因素敏感度組合的預期收益率，我們有：（5-7）2021/6/2724（二）兩因素模型的定價公式用同樣的方法我們可以求出兩因素模型中的APT資產(chǎn)定價公式：（5-8）同理，考慮無風險證券和兩個充分多樣化的組合，一個組合對第一種因素的敏感度等于1，對第二種因素的敏感度等于0，其預期收益率為；另一個組合對第一種因素的敏感度等于0，對第二種因素的敏感度等于1，其預期收益率為。則有：

(5-9)2021/6/2725（三）多因素模型的定價公式同樣道理，在多因素模型下，APT資產(chǎn)定價公式為：

(5-10)如果我們用表示對第j種因素的敏感度為1，而對其它因素的敏感度為0的證券組合的預期收益率，我們可以得到：

(5-11)式(5-11)說明，一種證券的預期收益率等于無風險利率加上k個因素風險報酬。2021/6/2726APT與CAPM的比較

APT是比CAPM更為一般的資產(chǎn)定價模型

1.APT是一個多因素模型，它假設均衡中的資產(chǎn)收益取決于多個不同的外生因素，而CAPM中的資產(chǎn)收益只取決于一個單一的市場組合因素。從這個意義上看，CAPM只是APT的一個特例。

2.CAPM成立的條件是投資者具有均值方差偏好、資產(chǎn)的收益分布呈正態(tài)分布，而APT則不作這類限制，但它與CAPM一樣，要求所有投資者對資產(chǎn)的期望收益和方差、協(xié)方差的估計一致。2021/6/2727APT比CAPM顯得更為完整穩(wěn)鍵1.APT沒有關于資產(chǎn)回報率分布的假設,而CAPM要求資產(chǎn)回報率服從多元正態(tài)分布；2.APT沒有關于個人效用函數(shù)的嚴格假設，而CAPM要求效用函數(shù)僅是E（RP）和

2p

的函數(shù)；3.APT允許均衡回報率依賴于多個因素，而CAPM假設資產(chǎn)回報率僅依賴于市場證券組合的回報率；4.APT可以對任意資產(chǎn)子集進行定價；人們不必為檢驗理論而去對無窮盡的資產(chǎn)進行計量；5.在APT中，市場證券組合沒有特殊的作用，而CAPM必須要求市場證券組合是有效的；6.APT容易擴展到多期模型中。2021/6/2728例1.考慮一個單因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分別為15%和18%，無風險利率是6%，股票B的為1.0。如果不存在套利機會，股票A的應