數(shù)學（北京B卷）-學易金卷：2023年高考第一次模擬考試卷 附解析

2023年高考數(shù)學第一次模擬考試卷高三數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知集合,則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求出,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】,解得,,解得,,.故選:C.2．已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出復數(shù)z，即可判斷.【詳解】因為復數(shù)，所以在復平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為.故選：C3．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過，所以判斷出；又對，進行化簡，得到，，從而判斷出a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】，而，所以；又，令，而函數(shù)在上遞增故選：D4．已知雙曲線的離心率，則其漸近線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的離心率和性質(zhì)求解即可.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以由得，所以，即漸近線方程為，故選：A5．二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A．40 B． C．80 D．【答案】D【分析】求出展開式的通項，再令的指數(shù)等于0，即可得出答案.【詳解】解：二項式的展開式的通項為，令，則，所以常數(shù)項為.故選：D.6．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．20【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示得，再求向量的模；【詳解】解：由，得，則，即所以.故選：B7．在平面直角坐標系中，是直線上的兩點，且.若對于任意點，存在使成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可得P是圓上任意一點，且需存在，，使點P又在以為直徑的圓上，故只需滿足圓上點到直線的最遠距離小于等于5即可求出.【詳解】設(shè)，則，滿足，則點P在圓上，又存在，使成立，則點P又在以為直徑的圓上，P是圓上任意一點，，是直線上的兩點，則應(yīng)滿足圓上點到直線的最遠距離小于等于5，原點到直線的距離為，則只需滿足，解得.故選：B.8．已知函數(shù)，若的圖像關(guān)于坐標原點對稱，的圖像關(guān)于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件列關(guān)系式求，，結(jié)合絕對值三角不等式求的最小值，可得結(jié)論.【詳解】因為，所以，，因為的圖像關(guān)于坐標原點對稱，的圖像關(guān)于y軸對稱，所以，，，，所以，，所以，，，當且僅當，異號或時等號成立，所以，當且僅當，且，異號或時等號成立，所以的最小值為，故選：A.9．在無窮正項等差數(shù)列中，公差為，則“是等差數(shù)列”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】可設(shè)，利用可求得數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)列為等差數(shù)列可求得，求出關(guān)于的關(guān)系式，再利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出合適的選項.【詳解】若是等差數(shù)列，設(shè)，則，當時，，當時，，因為數(shù)列為等差數(shù)列，則滿足，即，可得，故，且，所以，“”“存在，使得”，但“”“存在，使得”，因此，“是等差數(shù)列”是“存在，使得”的充分而不必要條件.故選：A.10．如圖，曲線為函數(shù)的圖象，甲粒子沿曲線從點向目的地點運動，乙粒子沿曲線從點向目的地點運動.兩個粒子同時出發(fā)，且乙的水平速率為甲的倍，當其中一個粒子先到達目的地時，另一個粒子隨之停止運動.在運動過程中，設(shè)甲粒子的坐標為，乙粒子的坐標為，若記，則下列說法中正確的是（

）A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．恰有個零點C．的最小值為D．的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】B【分析】由題意得到逐項判斷.【詳解】解：由題意得：，所以，由得，令，則，因為在上遞減，在上遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故A錯誤；令，得或，解得或，故B正確；因為，所以的最小值為，故C錯誤；因為，關(guān)于對稱，是軸對稱圖形，所以不可能關(guān)于點中心對稱，故D錯誤；故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．已知點為拋物線上的點，且點P到拋物線C的焦點F的距離為3，則____________．【答案】2【分析】由拋物線的方程求出拋物線的焦點和準線，然后利用拋物線的定義結(jié)合已知條件列方程求解即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，因為點為拋物線上的點，且點P到拋物線C的焦點F的距離為3，所以，得，故答案為：212．已知數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，是其前n項的和，若，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)題意求出公比，利用等比數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】因為數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，且，所以，因為，所以，則，由等比數(shù)列的前項和公式可得：，故答案為：.13．某公園劃船收費標準如下：船型兩人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）每船租金（元/小時）90100130某班16名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，每只租船必須坐滿，租船最低總費用為___________元，租船的總費用共有__________種可能．【答案】

360

10【解析】由題意直接列舉出所有可能即可得解.【詳解】由題意，當租兩人船時，租金為元，當租四人船時，租金為元，當租一條兩人船、兩條四人船、一條六人船時，租金為元，當租兩條兩人船、三條四人船時，租金為元，當租兩條兩人船、兩條六人船時，租金為元，當租三條兩人船、一條四人船、一條六人船時，租金為元，當租四條兩人船、兩條四人船時，租金為元，當租五條兩人船、一條六人船時，租金為元，當租六條兩人船、一條四人船時，租金為元，當租一條四人船、兩條六人船時，租金為元.所以租船最低總費用為360元，租船的總費用共有10種可能.故答案為：360；10.14．如圖，在正方體ABCD—中，E為棱的中點.動點P沿著棱DC從點D向點C移動，對于下列四個結(jié)論：①存在點P，使得；②存在點P，使得平面平面；③的面積越來越小；④四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號是___________.【答案】①③④【分析】設(shè)正方體棱長為1，，求出，，由=解得（），確定①正確，由正方體性得出平面，從而由與平面的位置關(guān)系判斷②，考慮到到平面的距離為變，從而易判斷④，以為軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，設(shè)，，由空間向量法求得到的距離，由距離的變化規(guī)律判斷③．【詳解】設(shè)正方體棱長為1，，由平面，平面得，同理，、所以，，由得，存在使得，①正確，正方體中，由平面，平面，則，，，平面，所以平面，若平面平面；則平面或平面，但當在上移動時，與平面總是相交，②錯；正方體中，平面，，所以到平面的距離不變，即到平面的距離不變，而面積不變，因此三棱錐，即四面體的體積不變，④正確；以為軸建立空間直角坐標系，如下圖，設(shè)正方體棱長為2，則，，設(shè)，，，，，，，設(shè)到直線的距離為，則，由二次函數(shù)性質(zhì)知時，遞減，所以遞減，又不變，所以的面積為遞減，③正確，故答案為：①③④．【點睛】方法點睛：建立空間直角坐標系，用空間向量法確定空間的距離和角，用空間向量法研究空間圖形的位置關(guān)系．15．已知函數(shù)，其中.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是______.【答案】【分析】通過分析分段函數(shù)的單調(diào)性可得到，故令，通過導數(shù)的知識分析的單調(diào)性即可得到答案【詳解】當時，，是增函數(shù)；當時，，也是增函數(shù)，所以當點在點上方時，存在實數(shù)，使直線與曲線有兩個交點，即存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根，所以即，令，所以，因為當，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，所以當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減，因為，，所以當時，，故m的取值范圍是，故答案為：三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.（本小題13分）已知在中，，．(1)求A的大小；(2)在下列四個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．①周長為；②；③面積為；④【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）原式可化為，可得或，通過分析即可解得；（2）由（1）知，，.根據(jù)正弦定理，可推得.若選①周長為，則，，然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長；若選②，可推得，，然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長；若選③面積為，根據(jù)面積公式可推得，，然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長；若選④，由（1）可推得，與條件矛盾，即不存在這樣的三角形.【詳解】（1）由可得，，即，所以，所以或.當，即時，又，所以；當時，又，則由余弦定理知，，這與矛盾，舍去.所以，.（2）若選①，由（1）知，，.由正弦定理可得，又周長為，所以，，則存在且唯一確定.設(shè)中點為，則，在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，；.若選②，即，由（1）知，，.則，根據(jù)正弦定理，可得，則存在且唯一確定.設(shè)中點為，則，在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，；.若選③，即面積為.由（1）知，，，則.，所以，則，所以，根據(jù)正弦定理，可得，則存在且唯一確定.設(shè)中點為，則，在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，；.若選④.由（1）知，，.根據(jù)正弦定理，可得，與矛盾，所以，不存在這樣的.17．（本小題14分）如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，.(1)求證：BF∥平面CDE；(2)求二面角的余弦值；(3)判斷線段BE上是否存在點Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)詳見解析(2)(3)存在點；【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，作輔助線，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證得，，兩兩垂直，從而建立以D點為原點的空間直角坐標系，求得平面和平面的一個法向量，根據(jù)法向量的夾角求得二面角的余弦值；（3）設(shè)，求得平面的法向量為，若平面平面，則，從而解得的值，找到Q點的位置.【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，，因為，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且,又因為,且，所以,,所以四邊形是平行四邊形，所以,因為平面,平面，所以平面；（2）因為平面平面，平面平面，，所以平面，平面，則，故，，兩兩垂直，所以以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，為平面的一個法向量.設(shè)平面的一個法向量為，由，，得，令，得.所以.如圖可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.（3）結(jié)論：線段上存在點，使得平面平面.證明如下：設(shè)，所以.設(shè)平面的法向量為，又因為，所以，，即，若平面平面，則，即，解得.所以線段上存在點，使得平面平面，且此時.18．（本小題13分）開展中小學生課后服務(wù)，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，現(xiàn)隨機抽取100個學生進行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學生支持方案二的條件下，該學生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望；(3)在（2）中，表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差與的大小.（直接寫結(jié)果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）利用古典概型的概率公式計算即可求解；（2）根據(jù)題意可得的可能取值為，求出所對應(yīng)的概率，即可列出分布列，利用隨機變量的期望公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件得出，再利用方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）依題意支持方案二的學生中，男生有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.（2）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，則，，則的可能取值為、、，所以，，

所以的分布列為：

所以.（3）依題意可得，所以，即.19．（本小題15分）已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，其離心率為，一個焦點為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，直線分別與直線相交于兩點，若為銳角，求直線斜率的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率和焦點坐標可求出的值，再利用的關(guān)系即可求解出方程；(2)設(shè)直線的方程為，，根據(jù)題意求出點的坐標，由為銳角，可得且不平行，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，由韋達定理可得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知：橢圓的離心率，因為一個焦點為，所以，則，由可得：，所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則有，由條件可知：直線所在直線方程為：，因為直線與直線相交于所以，同理可得：，則，若為銳角，則有，所以，則，解得：或，所以或或，故直線斜率的取值范圍為.20．（本小題15分）已知是函數(shù)的一個極值點．(1)求值；(2)判斷的單調(diào)性；(3)是否存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為?直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(3)存在，【分析】（1）求導得到導函數(shù)，根據(jù)計算得到答案.（2）求導得到，根據(jù)導數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.（3）先證明，，計算得到，且，得到答案.【詳解】（1），則，，解得.，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.故是函數(shù)的極大值點，滿足.（2），當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.（3），當，易知，，故.故，滿足條件.當時，設(shè)，故，故，即，當時，設(shè)，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故.，即可以無限接近.綜上所述：.【點睛】本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中放縮的思想是解題的關(guān)鍵.21．（本小題15分）已知數(shù)列：，其中，且．若數(shù)列滿足，當時，或，則稱：為數(shù)