第7章　第6講　第1課時(shí)　空間的角和距離問題

第七章立體幾何第六講空間的角與距離知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[45]知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cosφ＝|cosθ|＝______(其中φ為異面直線a，b所成的角)．知識(shí)點(diǎn)二直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝______.知識(shí)點(diǎn)三求二面角的大小1．如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝____________.2．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝_________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．知識(shí)點(diǎn)四利用空間向量求距離1．點(diǎn)到直線的距離若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離．2．點(diǎn)到平面的距離3.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解．注意體積法在求點(diǎn)到平面距離時(shí)的應(yīng)用．歸

納

拓

展雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(

)(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角．(

)(4)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．(

)××××題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修1P20例2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM所成的角是______.3．(選擇性必修1P44T13)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到平面AEC1的距離為______，AD1與平面AEC1所成角的余弦值為______.題組三走向高考4．(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．[解析]

(1)證明：因?yàn)锳D＝CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因?yàn)锳D＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE；又因?yàn)镈E，BE?平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.第一課時(shí)空間的角和距離問題考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究空間的距離——師生共研1.(2024·湖南師大附中月考)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1,－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD長為______.52．(2024·河南摸底(節(jié)選))如圖，已知正方形ABCD是圓柱OO1的軸截面(經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面)，點(diǎn)E在底面圓周上，AB＝5，AE＝4，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)．求點(diǎn)B到平面ACE的距離．解法二：體積法由解法一知AE⊥平面BCE，∴AE⊥CE，設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為d，解法三：向量法∵線段AB是圓O的直徑，∴AE⊥BE，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EA所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，3．(2024·湖湘名校聯(lián)合體聯(lián)考)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1的中點(diǎn)為E，則平面EAC截正方體的外接球所得截面圓的面積為(

)C[引申]本例2中點(diǎn)C到平面ABF的距離為____________.名師點(diǎn)撥：1．向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.2．求點(diǎn)到平面距離常用的方法(1)定義法：通過求點(diǎn)P到平面垂線段的長求得點(diǎn)到平面的距離，而找(或作)垂線段先要找(或作)過點(diǎn)P的已知平面的垂面，再找(或作)它們交線的垂線．(2)平行轉(zhuǎn)移法：即通過線面平行或面面平行，轉(zhuǎn)化為其他點(diǎn)到平面的距離．【變式訓(xùn)練】(2024·陜西商洛部分學(xué)校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F(xiàn)分別是棱A1C1，BC，AC的中點(diǎn)，∠ACB＝60°.(1)證明：平面ABD∥平面FEC1；(2)求點(diǎn)F到平面ABD的距離．空間的角——多維探究角度1異面直線所成的角A[引申]本例中若H為PC的中點(diǎn)，則BH與PA所成角的余弦值為______.名師點(diǎn)撥：1．求異面直線所成角的思路：(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；2．兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)：【變式訓(xùn)練】(2022·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，O為底面ABCD的中心，M，N分別為棱A1D1，CC1的中點(diǎn)，則異面直線B1M與ON所成角的余弦值為(

)C角度2線面角[解析]

(1)證明：∵A1C⊥底面ABC，∴A1C⊥AC，A1C⊥BC.又∠ACB＝90°，∴A1C、AC、BC兩兩垂直，∴BC⊥平面ACC1A1.又BC?平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ACC1A1.又A1到平面BCC1B1的距離為1，AA1∥CC1，∴A1到CC1的距離等于C到AA1的距離為1，∴作CH⊥AA1于H，則CH＝1.又AA1＝2，A1C⊥AC，∴A1A上的中線為1，∴H為AA1的中點(diǎn)，即CH垂直平分AA1，∴AC＝A1C.名師點(diǎn)撥：1．用定義法求線面角的步驟(1)用定義法或體積法求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離h；2．用向量法求線面角的步驟【變式訓(xùn)練】(2023·福建莆田質(zhì)檢)在三棱錐P－ABC中，已知△ABC是邊長為8的等邊三角形，PA⊥平面ABC，PA＝14，則AB與平面PBC所成角的正弦值為(

)A角度3二面角[解析]

(1)證明：作PO⊥平面ABCD于O，∵PA＝PB＝PC，∴Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心，又AB⊥BC，∴O為AB的中點(diǎn)，∴PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD.(2)解法一：幾何法取AB的中點(diǎn)E，連接DE，由AB＝2CD知O∈DE，取OD的中點(diǎn)H，連接QH，則QH∥PO，∴QH⊥平面ABCD，作HM⊥BC于M，解法二：向量法由AB＝BC，AB⊥BC，知OB⊥OC，∴OB、OC、OP兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系名師點(diǎn)撥：求二面角的方法步驟1．法向量法(1)建坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定相關(guān)向量的坐標(biāo)；(2)求法向量——求二面角兩個(gè)面的法向量n1，n2；(4)下結(jié)論——結(jié)合圖形確定cosθ(θ∈[0，π])或θ的值．2．找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?.幾何法——通過找二面角的平面角求解(1)定義法：在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，如圖(1)，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：過棱上任一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所形成的角即為二面角的平面角，如圖(2)，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．(3)垂線法(三垂線定理法)：過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)半平面所在平面的垂線，從垂足出發(fā)向棱引垂線，利用三垂線定理即可找到所求二面角的平面角或其補(bǔ)角，如圖(3)，∠ABO為二面角α－l－β的平面角．【變式訓(xùn)練】又∵B1M?平面AB1M，AM?平面AB1M，∴A1C1⊥平面AB1M，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面AB1M.名師講壇·素養(yǎng)提升立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題是指點(diǎn)、線或面位置不確定的一類開放性試題，是高考命題的熱點(diǎn)，常見題型有動(dòng)點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等，主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、線面的位置關(guān)系，常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等以上，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素，因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變的靜態(tài)因素，動(dòng)中窺靜，靜中見動(dòng)，以靜制動(dòng)．求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇題、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍．對(duì)于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍(最值)問題，用定性分析法，比較復(fù)雜時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題化歸為靜態(tài)問題，具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證．類型一動(dòng)點(diǎn)問題1.(2024·福建寧德一中測(cè)試)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為(

)C[分析]

由D1O⊥OP知P在過O且垂直D1O的平面內(nèi)，又P在平面BB1C1C內(nèi)，故P的軌跡為線段，所以建系確定垂面與棱BB1、CC1的交點(diǎn)M，N，進(jìn)而求C1到線段MN上點(diǎn)的距離最大值即可．2．(多選題)(2024·廣東調(diào)研)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，N1為A1B1C1D1所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，且NN1⊥平面ABCD，則下列命題正確的是(

)ACD名師點(diǎn)撥：1．動(dòng)態(tài)問題的一般解法2．立體幾何中軌跡問題的解法(1)利用平行、垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為面面交線，或把空間數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為某平面內(nèi)的數(shù)量關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡．(2)若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線與定直線所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)形成圓錐側(cè)面，可通過分析平面與圓錐母線及軸的位置關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)在該平面內(nèi)的軌跡．(3)建立直角坐標(biāo)系，求得軌跡方程進(jìn)行判斷．類型二翻折問題(多選題)(2024·廣東佛山S7聯(lián)考)如圖甲，在矩形ABCD