




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
第第頁人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(必修二)《6.2平面向量的運(yùn)算》同步測試題帶答案考試時(shí)間:60分鐘;滿分:100分學(xué)校:___________班級(jí):___________姓名:___________考號(hào):___________1.向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的物理背景在物理課中我們學(xué)過功的概念:如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移,那么力所做的功W=||||,其中是與的夾角.
我們知道力和位移都是矢量,而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個(gè)矢量也可以進(jìn)行運(yùn)算,并且這個(gè)運(yùn)算明顯不同于向量的數(shù)乘運(yùn)算,因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量,而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量.(2)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量,,如圖所示,O是平面上的任意一點(diǎn),作=,=,則∠AOB=(0≤≤π)叫做向量與的夾角,也常用表示.(3)兩個(gè)向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作,即=||||.
規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0=0.(4)向量的投影如圖,設(shè),是兩個(gè)非零向量,=,=,我們考慮如下的變換:過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.2.向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè),是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則
①==.
②=0.
③當(dāng)與同向時(shí),=;當(dāng)與反向時(shí),=-.
特別地,==或=.
④|a|,當(dāng)且僅當(dāng)向量,共線,即∥時(shí),等號(hào)成立.
⑤=.(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律由向量數(shù)量積的定義,可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立:
對(duì)于向量,,和實(shí)數(shù),有
①交換律:=;
②數(shù)乘結(jié)合律:()=()=();
③分配律:(+)=+.3.向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=;
(2);
(3);
(4);
(5),當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立,與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立.
以上結(jié)論可作為公式使用.【題型1向量的投影】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)向量的投影的定義,結(jié)合具體條件,進(jìn)行求解即可.【例1】(2022·安徽·校聯(lián)考二模)已知單位向量a,b滿足a+b=3,則A.a(chǎn) B.12a C.12【變式1-1】(2022春·湖北·高二階段練習(xí))已知|a|=3,|b|=5,設(shè)a,b的夾角為120°,則A.56a B.536a 【變式1-2】(2022春·遼寧沈陽·高三階段練習(xí))已知平面向量a,b滿足|a|=2,a?bA.12a B.12b C.【變式1-3】(2022·高一課時(shí)練習(xí))如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=∠BCD=120°,AB=CD,則向量CD在向量AB上的投影向量為(A.?32AB B.?12AB【題型2向量數(shù)量積的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】解決向量數(shù)量積的計(jì)算問題,要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目,解題時(shí)要充分把握?qǐng)D形的特征.【例2】(2022·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考)已知向量a與向量b的夾角為60°,a=4,b=5,則a?A.20 B.10 C.53 D.【變式2-1】(2022春·吉林四平·高三期末)已知向量a,b滿足|a=2,b|=3,且a與b的夾角為A.6 B.8 C.10 D.14【變式2-2】(2022·四川自貢·統(tǒng)考一模)在△ABC中,∠C=90°,CB=3,點(diǎn)M在邊AB上,且滿足BM=2MA,則CM?A.43 B.3 C.6 【變式2-3】(2022春·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試)如圖,在邊長為3的正△ABC中,D,E分別在AC,AB上,且AEEB=CDDA=A.93?12 B.92?12【題型3求向量的夾角(夾角的余弦值)】【方法點(diǎn)撥】求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.【例3】(2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模)已知向量m,n滿足m=n=2,且m?n=?22A.π6 B.π4 C.3π【變式3-1】(2022春·云南曲靖·高三階段練習(xí))已知|a|=1,|b|=2,aA.0 B.21111 C.213【變式3-2】(2022·全國·模擬預(yù)測)已知向量a,b滿足a=1,a+2b=7,aA.π2 B.3π4 C.π3【變式3-3】(2022秋·山東聊城·高一期中)已知|a|=2,|b|=2,e是與向量b方向相同的單位向量,向量a在向量b上的投影向量為?A.45° B.60° C.120° D.135°【題型4已知向量的夾角求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件,借助向量的夾角公式=,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】(2022秋·甘肅蘭州·高一期中)已知i,j為互相垂直的單位向量,a=?i+2j,b=3A.0,+∞ B.C.?∞,0 【變式4-1】(2022·高一單元測試)已知△ABC是正三角形,若a=AC?λAB與向量AC的夾角大于A.λ<12 B.λ<2 C.λ>1【變式4-2】(2022春·北京順義·高三期中)已知a和b是兩個(gè)互相垂直的單位向量,c=a+λbλ∈R,則λ=1是c和aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【變式4-3】(2022秋·陜西渭南·高一期末)已知i,j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量,a=i?2j,b=A.?2,23∪C.?∞,1【題型5向量的?!俊痉椒c(diǎn)撥】或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外,根據(jù)平面圖形求向量的模時(shí),注意利用圖形的性質(zhì)對(duì)向量的數(shù)量積或夾角等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例5】(2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|aA.3 B.10 C.14 D.4【變式5-1】(2022·浙江·模擬預(yù)測)已知平面向量a,b,c兩兩之間的夾角均相等,且a?b=?1,b?c=?2,A.133 B.393 C.76【變式5-2】(2023·全國·高三專題練習(xí))已知平面向量a,b滿足a=2b=22,a,b的夾角為π3,若cA.89 B.83 C.22【變式5-3】(2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習(xí))在邊長為4的等邊△ABC中,已知AD=23AB,點(diǎn)P在線段CD上,且AP=mA.1 B.5 C.7 D.2【題型6向量數(shù)量積的最值問題】【方法點(diǎn)撥】先進(jìn)行數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算,將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或幾何量的最值問題,利用求函數(shù)最值的基本方法求出相關(guān)的最大值或最小值,或利用圖形直觀求出相關(guān)的最值.【例6】(2022·全國·高三專題練習(xí))在四邊形ABCD中,G為△BCD的重心,AG=2,點(diǎn)O在線段AG上,則OA?OB+A.?3 B.?2 C.?1 D.0【變式6-1】(2022春·遼寧撫順·高三階段練習(xí))窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷,圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn),則PA?PB的最大值為(A.8+62 B.8+82 C.12+62【變式6-2】(2022·全國·高一假期作業(yè))已知向量a、b,|a|=1,|b|=2,若對(duì)任意單位向量e,均有|aA.12 B.22 C.1 【變式6-3】(2022秋·浙江·高三階段練習(xí))已知△ABC中,AB=5,AC=8,BC=7,PQ是以A為圓心的單位圓上的任意一條直徑,則BPA.12 B.26 C.872 D.參考答案【題型1向量的投影】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)向量的投影的定義,結(jié)合具體條件,進(jìn)行求解即可.【例1】(2022·安徽·校聯(lián)考二模)已知單位向量a,b滿足a+b=3,則A.a(chǎn) B.12a C.12【解題思路】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得a?b,首先求得a在【解答過程】由題意知:a=∵a+b∴acos<a,b>=故選:C.【變式1-1】(2022春·湖北·高二階段練習(xí))已知|a|=3,|b|=5,設(shè)a,b的夾角為120°,則A.56a B.536a 【解題思路】列出投影向量公式,即可計(jì)算求解.【解答過程】b在a上的投影向量a故選:C.【變式1-2】(2022春·遼寧沈陽·高三階段練習(xí))已知平面向量a,b滿足|a|=2,a?bA.12a B.12b C.【解題思路】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合向量的夾角公式運(yùn)算求解.【解答過程】b在a方向上的投影向量為(|故選:C.【變式1-3】(2022·高一課時(shí)練習(xí))如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=∠BCD=120°,AB=CD,則向量CD在向量AB上的投影向量為(A.?32AB B.?12AB【解題思路】根據(jù)圖形求出向量AB與CD的夾角,再根據(jù)投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】延長AB,DC交于點(diǎn)E,如圖所示,∵∠ABC=∠BCD=120∴∠CBE=∠BCE=60°,∴∠CEF=120°,又∵CD∴向量CD在向量AB上的投影向量為CD?故選:B.【題型2向量數(shù)量積的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】解決向量數(shù)量積的計(jì)算問題,要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目,解題時(shí)要充分把握?qǐng)D形的特征.【例2】(2022·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考)已知向量a與向量b的夾角為60°,a=4,b=5,則a?A.20 B.10 C.53 D.【解題思路】根據(jù)給定條件,利用向量數(shù)量積的定義直接計(jì)算作答.【解答過程】因?yàn)橄蛄縜與向量b的夾角為60°,a=4,b所以a?故選:B.【變式2-1】(2022春·吉林四平·高三期末)已知向量a,b滿足|a=2,b|=3,且a與b的夾角為A.6 B.8 C.10 D.14【解題思路】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開所求的式子,根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.【解答過程】`由|a=2,b|=3,且所以a=2=2×2故選:B.【變式2-2】(2022·四川自貢·統(tǒng)考一模)在△ABC中,∠C=90°,CB=3,點(diǎn)M在邊AB上,且滿足BM=2MA,則CM?A.43 B.3 C.6 【解題思路】結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算以及線性運(yùn)算求得正確答案.【解答過程】依題意CA⊥CB,CB=3,BM=2所以CM==1故選:B.【變式2-3】(2022春·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試)如圖,在邊長為3的正△ABC中,D,E分別在AC,AB上,且AEEB=CDDA=A.93?12 B.92?12【解題思路】結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算得到DE?【解答過程】因?yàn)锳EEB=DE==AC又因?yàn)檎鰽BC邊長為3,所以AC=AB=3故DE=3×3×=?9故選:C.【題型3求向量的夾角(夾角的余弦值)】【方法點(diǎn)撥】求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.【例3】(2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模)已知向量m,n滿足m=n=2,且m?n=?22A.π6 B.π4 C.3π【解題思路】根據(jù)向量的點(diǎn)乘關(guān)系,求出cosθ,即可求出m,n【解答過程】解:由題意,在向量m,n中,m=m?解得:cos∴θ=故選:C.【變式3-1】(2022春·云南曲靖·高三階段練習(xí))已知|a|=1,|b|=2,aA.0 B.21111 C.213【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)求解a?2b,再根據(jù)向量夾角余弦值公式可得【解答過程】解:|a|=1,|所以cosa故選:D.【變式3-2】(2022·全國·模擬預(yù)測)已知向量a,b滿足a=1,a+2b=7,aA.π2 B.3π4 C.π3【解題思路】根據(jù)a+2b=7,a?b=192【解答過程】解:由題可得a+2ba?b①②兩式聯(lián)立得a?b=?∴cosa,b∴a,故選:D.【變式3-3】(2022秋·山東聊城·高一期中)已知|a|=2,|b|=2,e是與向量b方向相同的單位向量,向量a在向量b上的投影向量為?A.45° B.60° C.120° D.135°【解題思路】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合題意可得a?b|【解答過程】由題意可知向量a在向量b上的投影向量為a?則a?b|而?a→,故選:D.【題型4已知向量的夾角求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件,借助向量的夾角公式=,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】(2022秋·甘肅蘭州·高一期中)已知i,j為互相垂直的單位向量,a=?i+2j,b=3A.0,+∞ B.C.?∞,0 【解題思路】根據(jù)a與a?b的夾角為銳角,由a?a?【解答過程】解:因?yàn)閍=?所以a?因?yàn)閍與a?所以4+2λ?2>0,且a與解得λ>0,當(dāng)a//a?即?1=?4k2=kλ?2,解得當(dāng)λ=10時(shí),a與a?所以λ的取值范圍為0,10∪故選:B.【變式4-1】(2022·高一單元測試)已知△ABC是正三角形,若a=AC?λAB與向量AC的夾角大于A.λ<12 B.λ<2 C.λ>1【解題思路】由平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律求解,【解答過程】由題意得a?AC<0,設(shè)△ABC則(AC?λAB故選:D.【變式4-2】(2022春·北京順義·高三期中)已知a和b是兩個(gè)互相垂直的單位向量,c=a+λbλ∈R,則λ=1是c和aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量公式cosa,c=a?ca?【解答過程】a?c=acosa,c=a?ca?c=故λ=1是c和a夾角為π4故選:A.【變式4-3】(2022秋·陜西渭南·高一期末)已知i,j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量,a=i?2j,b=A.?2,23∪C.?∞,1【解題思路】由向量夾角為銳角可知a?b>0【解答過程】∵a,b的夾角為銳角,∴∴a?b=i∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為?∞故選:B.【題型5向量的模】【方法點(diǎn)撥】或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外,根據(jù)平面圖形求向量的模時(shí),注意利用圖形的性質(zhì)對(duì)向量的數(shù)量積或夾角等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例5】(2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|aA.3 B.10 C.14 D.4【解題思路】根據(jù)平面向量模的運(yùn)算性質(zhì),結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】∵向量a,b滿足|a|=1,∴|a+2b∴|2a∴2故選:D.【變式5-1】(2022·浙江·模擬預(yù)測)已知平面向量a,b,c兩兩之間的夾角均相等,且a?b=?1,b?c=?2,A.133 B.393 C.76【解題思路】根據(jù)題意確定向量兩兩間夾角為2π3,利用條件求出|a【解答過程】因?yàn)槠矫嫦蛄縜,b,c兩兩之間的夾角均相等,且兩兩之間的數(shù)量積為負(fù)數(shù),所以兩兩之間的夾角均為2π|a且a→則解得|a所以|a→+故選:B.【變式5-2】(2023·全國·高三專題練習(xí))已知平面向量a,b滿足a=2b=22,a,b的夾角為π3,若cA.89 B.83 C.22【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.【解答過程】a=2b=22,a,b的夾角為c2=1故選:D.【變式5-3】(2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習(xí))在邊長為4的等邊△ABC中,已知AD=23AB,點(diǎn)P在線段CD上,且AP=mA.1 B.5 C.7 D.2【解題思路】將AP用AC和AD表示,再根據(jù)C,D,P三點(diǎn)共線,求出m的值,再根據(jù)AP=【解答過程】解:AP=m因?yàn)镃,D,P三點(diǎn)共線,所以m+34=1所以AP=則AP=故選:C.【題型6向量數(shù)量積的最值問題】【方法點(diǎn)撥】先進(jìn)行數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算,將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或幾何量的最值問題,利用求函數(shù)最值的基本方法求出相關(guān)的最大值或最小值,或利用圖形直觀求出相關(guān)的最值.【例6】(2022·全國·高三專題練習(xí))在四邊形ABCD中,G為△BCD的重心,AG=2,點(diǎn)O在線段AG上,則OA?OB+A.?3 B.?2 C.?1 D.0【解題思路】首先根據(jù)平面向量的加法幾何意義,
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 人員中介招聘合同樣本
- 2025風(fēng)力發(fā)電機(jī)購銷合同
- 廠區(qū)圍墻翻新施工方案
- 關(guān)于加油站出租合同樣本
- 出租合同標(biāo)準(zhǔn)文本代理
- 農(nóng)村機(jī)井轉(zhuǎn)讓合同樣本
- 內(nèi)墻涂料修補(bǔ)合同樣本
- 一次性勞務(wù)合同范例
- 冷鮮肉運(yùn)輸合同樣本
- 出版商務(wù)合同樣本
- 黑色國潮風(fēng)黑神話悟空取景地-安岳石窟模板
- 投標(biāo)貨物包裝、運(yùn)輸方案
- 管道土方開挖及管道安裝項(xiàng)目施工組織設(shè)計(jì)方案
- 社區(qū)獲得性肺炎(1)護(hù)理病歷臨床病案
- 砌筑及抹灰 水泥砂漿用量自動(dòng)計(jì)算表
- 舞蹈鑒賞學(xué)習(xí)通超星期末考試答案章節(jié)答案2024年
- XXX市電子政務(wù)外網(wǎng)數(shù)字化監(jiān)控及安全監(jiān)測平臺(tái)建設(shè)方案
- 《中國藥物性肝損傷診治指南(2024年版)》解讀
- 浙江省寧波市2024年中考二模英語試卷(含答案)
- 《自然教育》課件-自然解說
- 2024年瓦斯防突工技能競賽理論考試題庫(含答案)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論