人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《6.2平面向量的運算》同步測試題帶答案

第第頁人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《6.2平面向量的運算》同步測試題帶答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的物理背景在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.

我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標量(數(shù)量).這說明兩個矢量也可以進行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數(shù)乘運算，因為數(shù)乘運算的結(jié)果是一個向量，而這個運算的結(jié)果是數(shù)量.(2)向量的夾角已知兩個非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點，作=，=，則∠AOB=(0≤≤π)叫做向量與的夾角，也常用表示.(3)兩個向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即=||||.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0=0.(4)向量的投影如圖，設，是兩個非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當與同向時，=；當與反向時，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立.

⑤=.(2)向量數(shù)量積的運算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：

對于向量，，和實數(shù)，有

①交換律：=；

②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當且僅當與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等號成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.【題型1向量的投影】【方法點撥】根據(jù)向量的投影的定義，結(jié)合具體條件，進行求解即可.【例1】（2022·安徽·校聯(lián)考二模）已知單位向量a,b滿足a+b=3，則A．a(chǎn) B．12a C．12【變式1-1】（2022春·湖北·高二階段練習）已知|a|=3,|b|=5，設a,b的夾角為120°，則A．56a B．536a 【變式1-2】（2022春·遼寧沈陽·高三階段練習）已知平面向量a,b滿足|a|=2,a?bA．12a B．12b C．【變式1-3】（2022·高一課時練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120°，AB=CD，則向量CD在向量AB上的投影向量為（A．?32AB B．?12AB【題型2向量數(shù)量積的計算】【方法點撥】解決向量數(shù)量積的計算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目，解題時要充分把握圖形的特征.【例2】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知向量a與向量b的夾角為60°，a=4，b=5，則a?A．20 B．10 C．53 D．【變式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量a，b滿足|a=2，b|=3，且a與b的夾角為A．6 B．8 C．10 D．14【變式2-2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C=90°，CB=3，點M在邊AB上，且滿足BM=2MA，則CM?A．43 B．3 C．6 【變式2-3】（2022春·江蘇徐州·高三學業(yè)考試）如圖，在邊長為3的正△ABC中，D，E分別在AC，AB上，且AEEB=CDDA=A．93?12 B．92?12【題型3求向量的夾角（夾角的余弦值）】【方法點撥】求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.【例3】（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知向量m，n滿足m=n=2，且m?n=?22A．π6 B．π4 C．3π【變式3-1】（2022春·云南曲靖·高三階段練習）已知|a|=1,|b|=2,aA．0 B．21111 C．213【變式3-2】（2022·全國·模擬預測）已知向量a，b滿足a=1，a+2b=7，aA．π2 B．3π4 C．π3【變式3-3】（2022秋·山東聊城·高一期中）已知|a|=2,|b|=2,e是與向量b方向相同的單位向量，向量a在向量b上的投影向量為?A．45° B．60° C．120° D．135°【題型4已知向量的夾角求參數(shù)】【方法點撥】根據(jù)題目條件，借助向量的夾角公式=，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·甘肅蘭州·高一期中）已知i,j為互相垂直的單位向量，a=?i+2j,b=3A．0,+∞ B．C．?∞,0 【變式4-1】（2022·高一單元測試）已知△ABC是正三角形,若a=AC?λAB與向量AC的夾角大于A．λ<12 B．λ<2 C．λ>1【變式4-2】（2022春·北京順義·高三期中）已知a和b是兩個互相垂直的單位向量，c=a+λbλ∈R，則λ=1是c和aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】（2022秋·陜西渭南·高一期末）已知i,j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量，a=i?2j，b=A．?2,23∪C．?∞,1【題型5向量的模】【方法點撥】或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外，根據(jù)平面圖形求向量的模時，注意利用圖形的性質(zhì)對向量的數(shù)量積或夾角等進行轉(zhuǎn)化.【例5】（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|aA．3 B．10 C．14 D．4【變式5-1】（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量a，b，c兩兩之間的夾角均相等，且a?b=?1，b?c=?2，A．133 B．393 C．76【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量a，b滿足a=2b=22，a，b的夾角為π3，若cA．89 B．83 C．22【變式5-3】（2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習）在邊長為4的等邊△ABC中，已知AD=23AB，點P在線段CD上，且AP=mA．1 B．5 C．7 D．2【題型6向量數(shù)量積的最值問題】【方法點撥】先進行數(shù)量積的有關(guān)運算，將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或幾何量的最值問題，利用求函數(shù)最值的基本方法求出相關(guān)的最大值或最小值，或利用圖形直觀求出相關(guān)的最值.【例6】（2022·全國·高三專題練習）在四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，AG=2，點O在線段AG上，則OA?OB+A．?3 B．?2 C．?1 D．0【變式6-1】（2022春·遼寧撫順·高三階段練習）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則PA?PB的最大值為（A．8+62 B．8+82 C．12+62【變式6-2】（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知向量a、b，|a|=1，|b|=2，若對任意單位向量e，均有|aA．12 B．22 C．1 【變式6-3】（2022秋·浙江·高三階段練習）已知△ABC中，AB=5，AC=8，BC=7，PQ是以A為圓心的單位圓上的任意一條直徑，則BPA．12 B．26 C．872 D．參考答案【題型1向量的投影】【方法點撥】根據(jù)向量的投影的定義，結(jié)合具體條件，進行求解即可.【例1】（2022·安徽·校聯(lián)考二模）已知單位向量a,b滿足a+b=3，則A．a(chǎn) B．12a C．12【解題思路】利用向量數(shù)量積的運算律可求得a?b，首先求得a在【解答過程】由題意知：a=∵a+b∴acos<a,b>=故選：C.【變式1-1】（2022春·湖北·高二階段練習）已知|a|=3,|b|=5，設a,b的夾角為120°，則A．56a B．536a 【解題思路】列出投影向量公式，即可計算求解.【解答過程】b在a上的投影向量a故選：C.【變式1-2】（2022春·遼寧沈陽·高三階段練習）已知平面向量a,b滿足|a|=2,a?bA．12a B．12b C．【解題思路】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合向量的夾角公式運算求解.【解答過程】b在a方向上的投影向量為(|故選：C.【變式1-3】（2022·高一課時練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120°，AB=CD，則向量CD在向量AB上的投影向量為（A．?32AB B．?12AB【解題思路】根據(jù)圖形求出向量AB與CD的夾角，再根據(jù)投影向量的公式進行求解即可.【解答過程】延長AB，DC交于點E，如圖所示，∵∠ABC=∠BCD=120∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠CEF=120°，又∵CD∴向量CD在向量AB上的投影向量為CD?故選：B.【題型2向量數(shù)量積的計算】【方法點撥】解決向量數(shù)量積的計算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目，解題時要充分把握圖形的特征.【例2】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知向量a與向量b的夾角為60°，a=4，b=5，則a?A．20 B．10 C．53 D．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的定義直接計算作答.【解答過程】因為向量a與向量b的夾角為60°，a=4，b所以a?故選：B.【變式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量a，b滿足|a=2，b|=3，且a與b的夾角為A．6 B．8 C．10 D．14【解題思路】應用平面向量數(shù)量積的運算律展開所求的式子，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.【解答過程】`由|a=2，b|=3，且所以a=2=2×2故選：B.【變式2-2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C=90°，CB=3，點M在邊AB上，且滿足BM=2MA，則CM?A．43 B．3 C．6 【解題思路】結(jié)合向量的數(shù)量積運算以及線性運算求得正確答案.【解答過程】依題意CA⊥CB，CB=3，BM=2所以CM==1故選：B.【變式2-3】（2022春·江蘇徐州·高三學業(yè)考試）如圖，在邊長為3的正△ABC中，D，E分別在AC，AB上，且AEEB=CDDA=A．93?12 B．92?12【解題思路】結(jié)合平面向量的線性運算得到DE?【解答過程】因為AEEB=DE==AC又因為正△ABC邊長為3，所以AC=AB=3故DE=3×3×=?9故選：C.【題型3求向量的夾角（夾角的余弦值）】【方法點撥】求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.【例3】（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知向量m，n滿足m=n=2，且m?n=?22A．π6 B．π4 C．3π【解題思路】根據(jù)向量的點乘關(guān)系，求出cosθ，即可求出m，n【解答過程】解：由題意，在向量m，n中，m=m?解得：cos∴θ=故選：C.【變式3-1】（2022春·云南曲靖·高三階段練習）已知|a|=1,|b|=2,aA．0 B．21111 C．213【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)求解a?2b，再根據(jù)向量夾角余弦值公式可得【解答過程】解：|a|=1,|所以cosa故選：D.【變式3-2】（2022·全國·模擬預測）已知向量a，b滿足a=1，a+2b=7，aA．π2 B．3π4 C．π3【解題思路】根據(jù)a+2b=7，a?b=192【解答過程】解：由題可得a+2ba?b①②兩式聯(lián)立得a?b=?∴cosa,b∴a,故選：D.【變式3-3】（2022秋·山東聊城·高一期中）已知|a|=2,|b|=2,e是與向量b方向相同的單位向量，向量a在向量b上的投影向量為?A．45° B．60° C．120° D．135°【解題思路】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合題意可得a?b|【解答過程】由題意可知向量a在向量b上的投影向量為a?則a?b|而?a→,故選：D.【題型4已知向量的夾角求參數(shù)】【方法點撥】根據(jù)題目條件，借助向量的夾角公式=，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·甘肅蘭州·高一期中）已知i,j為互相垂直的單位向量，a=?i+2j,b=3A．0,+∞ B．C．?∞,0 【解題思路】根據(jù)a與a?b的夾角為銳角，由a?a?【解答過程】解：因為a=?所以a?因為a與a?所以4+2λ?2>0，且a與解得λ>0，當a//a?即?1=?4k2=kλ?2，解得當λ=10時，a與a?所以λ的取值范圍為0,10∪故選：B.【變式4-1】（2022·高一單元測試）已知△ABC是正三角形,若a=AC?λAB與向量AC的夾角大于A．λ<12 B．λ<2 C．λ>1【解題思路】由平面向量數(shù)量積的定義與運算律求解，【解答過程】由題意得a?AC<0，設△ABC則(AC?λAB故選：D.【變式4-2】（2022春·北京順義·高三期中）已知a和b是兩個互相垂直的單位向量，c=a+λbλ∈R，則λ=1是c和aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量公式cosa,c=a?ca?【解答過程】a?c=acosa,c=a?ca?c=故λ=1是c和a夾角為π4故選：A.【變式4-3】（2022秋·陜西渭南·高一期末）已知i,j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量，a=i?2j，b=A．?2,23∪C．?∞,1【解題思路】由向量夾角為銳角可知a?b>0【解答過程】∵a,b的夾角為銳角，∴∴a?b=i∴實數(shù)λ的取值范圍為?∞故選：B.【題型5向量的模】【方法點撥】或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外，根據(jù)平面圖形求向量的模時，注意利用圖形的性質(zhì)對向量的數(shù)量積或夾角等進行轉(zhuǎn)化.【例5】（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|aA．3 B．10 C．14 D．4【解題思路】根據(jù)平面向量模的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【解答過程】∵向量a,b滿足|a|=1，∴|a+2b∴|2a∴2故選：D.【變式5-1】（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量a，b，c兩兩之間的夾角均相等，且a?b=?1，b?c=?2，A．133 B．393 C．76【解題思路】根據(jù)題意確定向量兩兩間夾角為2π3，利用條件求出|a【解答過程】因為平面向量a，b，c兩兩之間的夾角均相等，且兩兩之間的數(shù)量積為負數(shù)，所以兩兩之間的夾角均為2π|a且a→則解得|a所以|a→+故選：B.【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量a，b滿足a=2b=22，a，b的夾角為π3，若cA．89 B．83 C．22【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可.【解答過程】a=2b=22，a，b的夾角為c2=1故選：D.【變式5-3】（2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習）在邊長為4的等邊△ABC中，已知AD=23AB，點P在線段CD上，且AP=mA．1 B．5 C．7 D．2【解題思路】將AP用AC和AD表示，再根據(jù)C,D,P三點共線，求出m的值，再根據(jù)AP=【解答過程】解：AP=m因為C,D,P三點共線，所以m+34=1所以AP=則AP=故選：C.【題型6向量數(shù)量積的最值問題】【方法點撥】先進行數(shù)量積的有關(guān)運算，將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或幾何量的最值問題，利用求函數(shù)最值的基本方法求出相關(guān)的最大值或最小值，或利用圖形直觀求出相關(guān)的最值.【例6】（2022·全國·高三專題練習）在四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，AG=2，點O在線段AG上，則OA?OB+A．?3 B．?2 C．?1 D．0【解題思路】首先根據(jù)平面向量的加法幾何意義，