第六章平面圖形的初步認(rèn)識第62節(jié)角2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期《七年級數(shù)學(xué)上冊培優(yōu)全》（原卷版）（2024蘇科新版）

蘇科2024新版第六章 平面圖形的初步認(rèn)識6.2角瞄準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：讓你知己知彼，百戰(zhàn)不殆1.1.認(rèn)識角是基本圖形之一，了解角的概念；2.知道角的分類及平角、周角、銳角、鈍角、直角的概念；3.知道角的度量單位，會對角的度量單位進(jìn)行簡單換算，會計(jì)算角的和差；4.理解補(bǔ)角和余角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)；5.能借助量角器，圓規(guī)等比較角的大小，會用尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角；6.理解角平分線的定義，能解決有關(guān)角平分線的簡單問題。理清思維導(dǎo)圖：讓你運(yùn)籌帷幄，決勝千里挖掘數(shù)學(xué)文化：讓你了解數(shù)學(xué)背后的故事聽數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)——角度值的由來？最早明確使用角度值的文字記載于希臘學(xué)者托勒密的《天文學(xué)大成》。在美索不達(dá)米亞平原上，公元前的古巴比倫人把圓周的稱為1度（記作1°），度下面又設(shè)有“分”和“秒”二個(gè)單位，60分為1度，60秒為1分。最早明確使用角度值的文字記載于希臘學(xué)者托勒密的《天文學(xué)大成》。在美索不達(dá)米亞平原上，公元前的古巴比倫人把圓周的稱為1度（記作1°），度下面又設(shè)有“分”和“秒”二個(gè)單位，60分為1度，60秒為1分?？键c(diǎn)詳解：讓您快速掌握每個(gè)考點(diǎn)知識點(diǎn)1：角的概念1.角的定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB． 2.角的定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．名師指點(diǎn)（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角． 知識點(diǎn)2：角的表示方法1.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：角的表示方法圖示記法適用條件①三個(gè)大寫字母任何情況都適用②一個(gè)大寫字母該角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角③數(shù)字任何情況都適用，但需要提前在圖中標(biāo)注④希臘字母任何情況都適用，但需要提前在圖中標(biāo)注名師指點(diǎn)用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．2.角的畫法：（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．知識點(diǎn)3：角的度量1.角的度量單位是度（）、分（）、秒（），把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．2.角的單位換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．名師指點(diǎn)在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．知識點(diǎn)4：角的大小比較角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝；由圖(3)可得∠AOB＞．知識點(diǎn)5：角的分類角按照大小可分為知識點(diǎn)6：角的和差計(jì)算角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．名師指點(diǎn)(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點(diǎn)7：角平分線角平分線的概念：文字語言：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．圖形語言：幾何語言：如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．知識點(diǎn)8：余角和補(bǔ)角1、余角：（1）定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）性質(zhì)：同角（等角）的余角相等．2、補(bǔ)角：（1）定義：如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等．名師指點(diǎn)(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°α)．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。經(jīng)典例題：為你快速找到，航行燈塔 題型1 角的概念的說法判斷例題1．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（

）①兩條射線組成的圖形是角；②角的大小與邊的長短有關(guān)；③角的兩邊可以畫的一樣長，也可以一長一短；④角的兩邊是兩條射線；⑤因?yàn)槠浇堑膬蛇呉渤梢粭l直線，所以一條直線可以看作一個(gè)平角．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】1．有下列關(guān)于角的說法：①兩條射線組成的圖形叫作角； ②角的邊越長，角越大；③在角一邊的延長線上取一點(diǎn)D； ④角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．其中正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．下列說法不正確的是（

）A．兩個(gè)銳角的和不一定大于直角 B．兩個(gè)鈍角的和不一定大于平角C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角3．下列語句正確的是（

）A．一條直線可以看成一個(gè)平角 B．周角是一條射線C．角可以看成是由一條射線旋轉(zhuǎn)而成的 D．角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形4．下列關(guān)于角的說法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①兩條有公共點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個(gè)端點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點(diǎn)重合時(shí)，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關(guān)．A．0 B．1 C．2 D．3題型2 角的表示問題例題2.如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（

）A．與表示同一個(gè)角 B．也可用來表示C．圖中共有三個(gè)角： D．表示的是【變式訓(xùn)練】1．如圖，在內(nèi)部作了一條射線，下列說法正確的是.（

）A．可以用表示 B．這條射線記作射線C．與是同一個(gè)角 D．2．如圖，給出下列說法：①和是同一個(gè)角；②和是同一個(gè)角；③和是同一個(gè)角；④和不是同一個(gè)角．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖所示，還可以表示為（

）A． B． C． D．4．下列選項(xiàng)中，能用，，三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（

）A． B． C． D．題型3 角的度量、換算、大小比較問題例題3.比較大?。海ㄓ谩?gt;”“<”“=”填空）．【變式訓(xùn)練】1．2．比較大?。海ㄌ?、或）3．4．如果，，則，．題型4 角度的四則運(yùn)算問題例題4.計(jì)算：； ．【變式訓(xùn)練】1．計(jì)算：(1)； (2)．2．計(jì)算：(1)（結(jié)果用度、分、秒表示）． (2)（結(jié)果用度表示）．3．計(jì)算：(1)； (2)．4．計(jì)算：(1)； (2)．題型5 余角的概念與計(jì)算例題5.若兩個(gè)角和為90度，則這兩個(gè)角互余．已知，，則與的關(guān)系是（

）A．互補(bǔ) B．互余 C．和為鈍角 D．和為周角【變式訓(xùn)練】1．如圖，，則下列說法錯誤的是（

）A．與不互為余角 B．與互為余角C．與互為余角 D．與互為余角2．一副三角板按如圖所示的方式擺放，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．若，則的余角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．已知，則的余角度數(shù)是（）A． B． C． D．題型6 補(bǔ)角的概念與計(jì)算例題6.如果，那么的補(bǔ)角的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．一定能使等式“”成立的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

2．如圖，直線、相交于點(diǎn)O，，圖中與互補(bǔ)的角有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，，直線經(jīng)過點(diǎn)．在下面的五個(gè)式子中：①；②；③；④；⑤，等于的補(bǔ)角的式子的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．如果一個(gè)角的補(bǔ)角是，那么這個(gè)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．題型7 角的性質(zhì)（同或等角的余角（或補(bǔ)角）相等）運(yùn)用例題7.如圖，點(diǎn)在直線上，，那么下列說法錯誤的是（）A．與相等 B．與互余C．與互補(bǔ) D．與互余【變式訓(xùn)練】1．如圖，平面內(nèi)，，平分，則以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．0個(gè)2．如圖，在同一平面內(nèi)，，，點(diǎn)為反向延長線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于的角）．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖①、圖②、圖③和圖④，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形為（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中，的是（

）A． B．C． D．題型8 角平分線問題例題8已知在的內(nèi)部，，是補(bǔ)角的（本題出現(xiàn)的角均指不大于平角的角）．(1)如圖1，求的值；(2)在（1）的條件下，平分，射線滿足，求的大??；(3)如圖2，若，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線以每秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與重合后，再以每秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線，運(yùn)動的時(shí)間為t秒（），當(dāng)時(shí)，請直接寫出t的值．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知：平分，平分．(1)若，①求出及其補(bǔ)角的度數(shù)；②求出和的度數(shù)，并判斷與是否互補(bǔ)；(2)若，則與是否互補(bǔ)？請說明理由．2．如圖，直線、相交于O，，．(1)求的度數(shù)；(2)試說明平分．3．如圖，已知過的內(nèi)部任意一點(diǎn)C畫射線，使，，若，分別平分和．求：(1)的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．4．如圖，O為直線上一點(diǎn)，平分．(1)求出的度數(shù)；(2)請通過計(jì)算說明是否平分．題型9 有關(guān)角的作圖問題例題9.如圖，已知和，．用直尺和圓規(guī)作兩個(gè)角，使其大小分別為．【變式訓(xùn)練】1．如圖（甲），和都是直角．(1)如果，那么的度數(shù)是多少?(2)找出圖（甲）中相等的角．如果，它們還會相等嗎？說明理由．(3)在圖（乙）中利用能夠畫直角的工具再畫一個(gè)與相等的角．2．如圖，已知．(1)畫出的平分線；(2)若，利用（1）的結(jié)果．①求的度數(shù)；②試求的補(bǔ)角．3．如圖，已知，點(diǎn)在射線上．(1)請按照下列步驟畫圖(保留作圖痕跡)：①用圓規(guī)在射線上取一點(diǎn)，使；②在內(nèi)部作射線，使；③在射線上取一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連接，；(2)由圖可知，(填“”“”或“”)．4．如圖，已知．(1)試用量角器或三角尺在的下方畫的余角；(2)畫射線的反向延長線，若，求的度數(shù)．（友情提醒：請用黑色水筆將答題卡上所畫的線加黑加粗）題型10 三角板的綜合問題例題10.如圖①是某網(wǎng)頁套尺4件套的截圖，圖②是其中一副三角板的簡化示意圖，是的平分線，請用尺規(guī)按下列要求作圖并解答問題．(1)延長線段到F，使；(2)延長，交的延長線于點(diǎn)M；(3)在（1）（2）的條件下，如果，那么__________，__________，____________________″．【變式訓(xùn)練】1．小明閱讀了教材中“借助三角尺畫角”的探究活動（如圖1、圖2的實(shí)物圖所示），他在老師指導(dǎo)下畫出了圖1所對應(yīng)的幾何圖形，并標(biāo)注了所使用三角尺的相應(yīng)角度（如圖3），他發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺畫出圖2對應(yīng)的幾何圖形，并標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；(2)結(jié)合畫圖再思考：用一副三角尺畫出的角的大小有什么規(guī)律；(3)圖3中，若平分平分，請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形求出的度數(shù)，并猜想與的數(shù)量關(guān)系；(4)如圖4，若是任意角，在的外部，平分平分的條件不變，第（3）題中與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，如果結(jié)論不變請說明理由；如果變化，請寫出新結(jié)論并給出證明．2．“三角板拼角”的問題．將一副三角板如圖這樣放置，就可畫出，在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用一副三角板還能畫出其他特殊角．請你借助三角板完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角板的相應(yīng)角度：(1)設(shè)計(jì)用一副：三角板畫出角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；(2)用一副三角板能畫出的角嗎？______(選填“能”或“不能”)．3．用一副三角尺進(jìn)行操作探究：把銳角為的三角尺記作三角尺①，把銳角為的三角尺記作三角尺②，用三角尺①，②完成以下作圖．①

②(1)作出大小為的角；（要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖）(2)已知，在圖中作出的平分線．（要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖）4．七年級上冊《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出，在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；①設(shè)計(jì)用一副三角尺畫出角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出的角平分線，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度．(3)如圖，現(xiàn)有角的三種模板，，，請?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，只用給出的一種模板畫出的角．小冬想出了一個(gè)方案，利用角模板畫出角，動手操作：如圖，M、O、N三點(diǎn)在一條直線上，將的頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作18次，再利用兩個(gè)平角等于一個(gè)周角，可得的角，即：．請從或角模板中選一個(gè)你認(rèn)為能畫出角的模板，設(shè)計(jì)一個(gè)方案，并說明理由．(4)對于任意一個(gè)（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫出的角？請作出判斷，并說明理由．培優(yōu)訓(xùn)練：讓你一飛沖天，一鳴驚人一、選擇題（本大題共10小題）1．下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大2．如圖，能用、、三種方法表示同一個(gè)角的是（

）A．B．C． D．3．若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形個(gè)數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．45．根據(jù)如圖所示，下列式子錯誤的是（

）A． B．C． D．6．如圖所示，將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．如圖，是的平分線，是內(nèi)部一條射線，過點(diǎn)O作射線，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動，使得，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．無法計(jì)算8．如圖，，則圖中與互余的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．如圖，在三角形中，．D是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），過點(diǎn)D，C作射線，與邊，形成夾角分別為，，則與滿足數(shù)量關(guān)系（）A． B．C． D．10．如圖，，則圖中，，三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共10小題）11．如圖所示的圖形中有個(gè)小于平角的角，寫出以為一邊的所有角：．12．比較大?。海ㄓ?，或連結(jié)）．13．如圖，將一副直角三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，那么度．14．已知與互余，若，則的度數(shù)為15．若的余角為，則的補(bǔ)角的大小是．16．如圖