北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程講義

前言

數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課在我國(guó)大多數(shù)高等院校中普遍開(kāi)設(shè)，它是當(dāng)前我國(guó)高等教育基礎(chǔ)課程教學(xué)改革的

前沿課程之-O這?課程的成功開(kāi)設(shè)，為學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)教育的重要性以及數(shù)學(xué)學(xué)科與其它諸多專(zhuān)業(yè)課之

間的內(nèi)在聯(lián)系有著非常重要的作用——它是學(xué)生在學(xué)期間彌合基礎(chǔ)理論與各應(yīng)用學(xué)科之間鴻溝的一座僑梁，

同時(shí)，作為數(shù)學(xué)教育的一門(mén)重要的輔助課程，這門(mén)課程的開(kāi)設(shè)也為整合大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不同數(shù)學(xué)課程所

可能留給初學(xué)者的各自孤立甚至極為瑣碎的印象成為可能。因此，如果在教學(xué)中處理得當(dāng)，對(duì)這門(mén)課程在本

科生教育中的重要意義作什么樣的肯定性估價(jià)均不會(huì)過(guò)分。

北京郵電大學(xué)較早地將數(shù)學(xué)模型課作為全校公共選修課在本科生中開(kāi)設(shè)，迄今已逾十載。期間，有多位

老師對(duì)本課程的教學(xué)以及課程建設(shè)做出了大量而又細(xì)致的工作，更兼期間校院領(lǐng)導(dǎo)對(duì)本課程教學(xué)的重視，應(yīng)

當(dāng)說(shuō)這門(mén)課程在我校的教學(xué)實(shí)踐是相當(dāng)成功的——愈來(lái)愈多的學(xué)生注冊(cè)選修本課程和參加有關(guān)的數(shù)學(xué)建模

競(jìng)賽活動(dòng)。特別，我校學(xué)生在最近幾年參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中連饃取得

了非常出色的成績(jī)。

本課件的開(kāi)發(fā)可以被看作過(guò)對(duì)我校地近幾年在數(shù)學(xué)模型課課程教學(xué)以及數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的開(kāi)展過(guò)程中所

枳累下來(lái)的資料所進(jìn)行的一次發(fā)為全面的整理，其內(nèi)容包括：1）賀祖國(guó)老師數(shù)學(xué)模型課教學(xué)以及組織培訓(xùn)

參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽隊(duì)員過(guò)程中所編寫(xiě)的講義、有關(guān)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的交流文稿或科研論文等；2）1997年以來(lái),

我校學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)所完成的參賽論文，甚至包括一些隊(duì)員

在學(xué)習(xí)期間完成的與數(shù)學(xué)建模有關(guān)的科研論文（這些論文有的在一些比較有影響的學(xué)術(shù)征文中獲獎(jiǎng)）：3）

其它像數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目、部分賽題的優(yōu)秀參賽論文等學(xué)習(xí)資料。

本課件凝結(jié)了許多人的勞動(dòng)和才智，其中王曉霞副教授（北方交通大學(xué)）在課程講義的組織整理過(guò)

程中做r大量的工作，孫洪祥、羅守山兩位教授為課件的內(nèi)容組成以及框架構(gòu)思提供「許多寶貴的建議。當(dāng)

然，應(yīng)當(dāng)特別題及的是在我們身邊的許多參加數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)和競(jìng)賽活動(dòng)的同學(xué)，沒(méi)有他們的勞動(dòng)這項(xiàng)工作將

黯然失色一一這里資料的原創(chuàng)稅有相當(dāng)大部分是歸他們的：網(wǎng)頁(yè)是由董乘宇、袁楠、劉冰等幾位同學(xué)合力設(shè)

計(jì)完成的。

我們的全部工作幾乎均起步于零，因此也決定了課件的許多功能和表現(xiàn)是有缺陷的，任何建設(shè)性的

批評(píng)和建議我們都會(huì)誠(chéng)懇地聽(tīng)取，我們會(huì)對(duì)之進(jìn)行不斷的完善！

如果有一件實(shí)實(shí)在在的可以添飽肚子的“窩窩頭”和一件飄溢著香味兒的虛擬“漢堡包”要我們選

擇，我看乖前者一一這事實(shí)上是在開(kāi)發(fā)這一課件的整個(gè)過(guò)程中我和我的伙伴、學(xué)生所一直堅(jiān)持的，因此盡管

我為這?作品所存在的許多欠盡人意的地方尤存不安，但對(duì)那些具有旺盛求知欲望的年輕人來(lái)講，仍然愿意

承諾我們的作品不是虛擬的“漢堡包”，我希望你們愛(ài)我的課程！

賀祖國(guó)（于2003年夏）

第一章課程概述

§1.1數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

一.基本概念

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。其產(chǎn)生以及許多重大發(fā)

展都是和現(xiàn)實(shí)世界的生產(chǎn)活動(dòng)和其他相應(yīng)學(xué)科的需要密切相關(guān)的；同時(shí)，作為認(rèn)

識(shí)和改造世界的強(qiáng)有力的工具，乂促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)建設(shè)的發(fā)展。特別在當(dāng)

今時(shí)代，由于計(jì)算機(jī)軟硬件的迅速發(fā)展和普及，數(shù)學(xué)方法被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐、

社會(huì)管理的各個(gè)領(lǐng)域和層面。對(duì)具體的應(yīng)用問(wèn)題或問(wèn)題類(lèi)進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化假設(shè)以

及適當(dāng)?shù)某橄蟛⒆罱K表述為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即我們?cè)谶@里討論的數(shù)學(xué)模型，是現(xiàn)

代生產(chǎn)實(shí)踐與社會(huì)生活實(shí)現(xiàn)優(yōu)化決策和科學(xué)管理的必要環(huán)節(jié)。而數(shù)學(xué)建模則是指

根據(jù)實(shí)際需要或最終管理目標(biāo)，對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行分析求解,

并最終將模型解翻譯為決策方案應(yīng)用于實(shí)際的一個(gè)由諸多環(huán)節(jié)組成的一個(gè)完整過(guò)

程。

為理解現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系，以下給出數(shù)學(xué)建模的一個(gè)流程圖：

二.（引例1）椅子的平穩(wěn)放置問(wèn)題

將（四腳）椅子置于不平的地面，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)；然而只需

稍挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了一一這是我們?cè)谌粘Ｉ钪杏龅?/p>

的一件很普通的事實(shí)。這一現(xiàn)象是偶然的呢，還是有其必然性呢？

一.模型假設(shè)：

1.椅了四條腿樣及，椅腳與地而接觸處可視為?點(diǎn)，四腳的連線呈正方形；

2.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)臺(tái)階）。即地面可視

為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；

3.對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，使椅子在任何位置上

至少有三只腳同時(shí)著地。

將椅子的四只腳逆時(shí)針?lè)较蛞来尉幪?hào)A、B、C、D,選定某初始位置，如圖,

規(guī)定CA所在直線為x軸，CA中點(diǎn)為原點(diǎn)。。且設(shè)：

4.挪動(dòng)椅子時(shí)，保持四腳椅中心與。正對(duì)，可以用CA與“軸正向夾角6來(lái)表示

椅子位置；以八夕）、以⑶分別表示（A,C）、（B,D）兩組點(diǎn)離開(kāi)地面的豎直距離。

二.模型建立與求解：

1）〃e），g（e）No,且在[0,2加上連續(xù)；

2）/（e）.g（G）^0,（Vee[0,271]）.

3）由于四腳椅中心對(duì)稱(chēng)，所以/（e+%/2）=g（。）、g（e+%/2）=/（e）；

易知椅子放穩(wěn)的條件為〃仍=g（e）=o,因此可將椅子的平穩(wěn)放置問(wèn)題歸結(jié)

為，是否存在“￡[°加,滿足

B

圖I-2變量。表示椅子的位置

進(jìn)一步討論，若〃0）=或0）=°,即椅子的最初放置是平穩(wěn)的；否則，不妨

設(shè)〃0）＞鼠0）=0,構(gòu)造M6）=/（夕）-g（e）,它同樣在［0，2加上連續(xù)，則有

版0）＞0,而皿%/2）=/（%/2）-g（%/2）=g（0）-/（0）=-M0）v0。所以，存在

8ow［o,2乃］,滿足Me°）=/（%）-g（%）=。，結(jié)合/（0o），g（e（＞）=。，得

/（%）=?（%）=°,即椅子在轉(zhuǎn)動(dòng)先后被穩(wěn)定地放置在地面上。

思考題i.四腳椅呈矩形時(shí)的放置情形。

思考題2.一人一日早8:00開(kāi)車(chē)由A市出發(fā)，至下午5:00達(dá)B市；第二天早8:00

出發(fā)沿原路返回，下午5:00回A市。問(wèn)沿途是否有一地，前后兩天，該人達(dá)該地

的時(shí)刻正好相同。

三.（引例2）商人過(guò)河

設(shè)有三名商人，各帶一個(gè)隨從，欲乘一小船渡河，小船只能容納兩人，須由

他們自己劃行。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺

人越貨。而如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們的手中。商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊?/p>

呢？

因這已經(jīng)是一個(gè)相當(dāng)清晰的理想化問(wèn)題，所以直接討論其模型描述以及模型

求解。這里將其描述為一個(gè)動(dòng)態(tài)決策問(wèn)題：

記第k次渡河前此岸的商人數(shù)為與，隨從數(shù)為外,k=l,…聲。將二維向量

品=（乙,力）定義為狀態(tài)，安全渡河條件下的狀態(tài)集合稱(chēng)為允許狀態(tài)集合，記作

SS=｛（x,j）|x=o,j=0,1,2,3;X=3,J=0,1,2,3；x=j=1,2｝

記第k次渡船上的商人數(shù)為人,隨從數(shù)為九,A=/,…,〃。將二維向量

4=（%，以）定義為決策?？紤]小船載人數(shù)的限制，（=（%/?）應(yīng)滿足

A+為=1或2，為非負(fù)整數(shù)，而稱(chēng)。=｛（〃,”1〃+羽=1,2；〃并為非負(fù)整數(shù)｝為

允許決策集合。

因?yàn)閕為奇數(shù)時(shí)，船從此岸駛向彼岸；女為偶數(shù)時(shí)，船從彼岸駛回此岸，所

以狀態(tài)品隨決策人的變化規(guī)律是心=品+（-?乙（狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律）。

仍然就其一些基本方法步驟（可先參閱人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型）歸納為如下框圖:

模型準(zhǔn)備：要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的，搜集建模必需的各種

信息、數(shù)據(jù)等；

模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化假設(shè),

是建模的關(guān)鍵一步,其基本內(nèi)在的決定了后續(xù)工作的展開(kāi)和整個(gè)建模過(guò)程之成敗。

因?yàn)橛绊懸粋€(gè)現(xiàn)實(shí)事件的因素通常是多方面的，我們只能選擇其中主要影響因素

以及它們中的重要矛盾予以考慮，但這種簡(jiǎn)化一定要合理，過(guò)分的簡(jiǎn)化會(huì)導(dǎo)致模

型距離實(shí)際太遠(yuǎn)而變得失去建模意義；

模型構(gòu)成：在前面工作的基礎(chǔ)上，將問(wèn)題涉及的各個(gè)量符號(hào)化，以及各變量

之間的內(nèi)在聯(lián)系形式化，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，將所關(guān)心的實(shí)際對(duì)象抽象為某個(gè)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?？梢允且粋€(gè)方程組的求解問(wèn)題，也可以是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，也可以是

其它。從簡(jiǎn)單的角度講，這一環(huán)節(jié)要求用盡可能簡(jiǎn)潔清晰的符號(hào)、語(yǔ)言和結(jié)構(gòu)將

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的問(wèn)題進(jìn)行整理性的描述，只要作到準(zhǔn)確和貼切即可。當(dāng)然考慮數(shù)學(xué)和

應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展已有大量和豐富的概念與方法積淀，因此所建立模型在表述

上應(yīng)盡可能符合一些已經(jīng)成熟的規(guī)范，從而也為建模者提出更高的要求；

模型求解：根據(jù)所建模型的特點(diǎn)，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算工具、計(jì)算方法，比方幾

何作圖、數(shù)值計(jì)算等，最終給出模型的解。考慮我們需要建模處理的通常解決的

是一大類(lèi)型的問(wèn)題，而數(shù)值計(jì)算通常是針對(duì)一個(gè)特定問(wèn)題的具體結(jié)果，因此像解

析法、歸納與演繹等邏輯方法的恰當(dāng)運(yùn)用會(huì)得到更為一般和有意義的結(jié)果；

模型分析：對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，比方要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)分析變量

間的依賴(lài)關(guān)系，根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào)，在解的局部對(duì)模型中各參數(shù)和

變量的微小擾動(dòng)進(jìn)行靈敏度、穩(wěn)定性分析，在數(shù)值計(jì)算時(shí)還應(yīng)對(duì)可能出現(xiàn)的誤差

進(jìn)行分析等等。

模型檢驗(yàn)：把數(shù)學(xué)分析的結(jié)果解釋為實(shí)際問(wèn)題的解或方案，并用實(shí)際的現(xiàn)象、

數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果模型的結(jié)果距離實(shí)際太遠(yuǎn)，應(yīng)

當(dāng)從改進(jìn)模型的假設(shè)入手，可能是因?yàn)閷⒁恍┲匾囊蛩乇缓雎粤耍部赡軐⒛?/p>

些變量之間的關(guān)系作了過(guò)分簡(jiǎn)化的假設(shè)。如此，進(jìn)入重新一輪的建模分析，直到

檢驗(yàn)結(jié)果獲得某重程度的滿意，并最終將結(jié)果付諸實(shí)踐，即模型的應(yīng)用。

人口增長(zhǎng)的建模

人類(lèi)文明發(fā)展到今天，人們?cè)絹?lái)越意識(shí)到地球資源的有限性，我們感受到“地

球在變小”，人口與資源之間的矛盾H漸突出，人口問(wèn)題己成為當(dāng)前世界上被最普

遍關(guān)注的問(wèn)題之一，當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及人口增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)對(duì)一個(gè)國(guó)家制

定比較長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃有著非常重要的意義。本節(jié)介紹幾個(gè)經(jīng)典的人口模型，也

以此試圖說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的一般步驟。

以尸㈤表示時(shí)刻，某地區(qū)（或國(guó)家）的人口數(shù)。

模型一：人口指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯Malthus,17667834）

一.模型假設(shè)

1.時(shí)刻，人口增長(zhǎng)的速率（即單位時(shí)間人口的增長(zhǎng)量）與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，即

人口的相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)，記之為人

2.設(shè)人口數(shù)尸（“足夠大，可以連續(xù)變量處理，且尸（。關(guān)于，連續(xù)可微。

一模型建立及求解.

一.據(jù)模型假設(shè)，?不K得到如下初值問(wèn)題：

小

[P（0）=A

解之得尸（￡）=居

三.模型檢驗(yàn)

1.19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好的吻合。19世紀(jì)以后的許

多國(guó)家，模型遇到了很大的挑戰(zhàn)。

limPert=+oo

2.-8°n。有限地球，不合常理。

模型二：阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic）

一個(gè)模型的缺陷，通?？梢栽谀Ｐ图僭O(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在一一或者說(shuō)，模

型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用，它決定了一個(gè)模型究竟可以走多

遠(yuǎn)。在指數(shù)增長(zhǎng)模型中，我們只考慮了人口數(shù)本身一個(gè)因素影響人口的增長(zhǎng)速率,

事實(shí)上影響人口增長(zhǎng)的另外一個(gè)因素就是資源，定性的分析，人口數(shù)與資源量對(duì)

人口增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的。

一.模型假設(shè)

1.地球上的資源有限，不妨設(shè)為1;而一個(gè)人的正常生存需要占用1/尸,（這里

事實(shí)上也內(nèi)在地假定了地球的極限承載人口為P"）;

2.在時(shí)刻，，人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)也假設(shè)它與當(dāng)時(shí)

的剩余資源量5=1-尸/P?成正比；比例系數(shù)，*表示人口的固有增長(zhǎng)率；

3.設(shè)人口數(shù)尸(〃足夠大，可以連續(xù)變量處理，且尸(。關(guān)于￡連續(xù)可微。

二.模型建立及求解

包=/?尸6

dt

s=l-P/P*

P(0)=痣

同樣不難得到其數(shù)學(xué)模型：，化簡(jiǎn)得如下初值問(wèn)題:

[―=r*P(l-P/r)

\dt

[p(0)=A

\，p*

1+(——1)?L"

解之得入

三.模型檢驗(yàn)：

從上圖可以看出，當(dāng)人口數(shù)的初始值外時(shí)，人口曲線(粉色)單調(diào)遞減,

而當(dāng)人口數(shù)的初始值?時(shí)，人口曲線(綠色)單調(diào)遞增，但當(dāng)，一＞8,它們

皆趨于P*0

阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足，可以被用來(lái)做相對(duì)

較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè)，而指數(shù)增長(zhǎng)模型在做人口的短期預(yù)測(cè)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)

單性也常被采用。

不論是指數(shù)增長(zhǎng)模型曲線，還是阻滯增長(zhǎng)模型曲線，它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，

即均為單調(diào)曲線。但我們可以從一些有關(guān)我國(guó)人口預(yù)測(cè)的資料發(fā)現(xiàn)這樣的預(yù)測(cè)結(jié)

果：在直到203()年這一段時(shí)期內(nèi)，我國(guó)的人口一直將保持增加的勢(shì)頭，到2030

年前后我國(guó)人口將達(dá)到最大峰值16億，之后，將進(jìn)入緩慢減少的過(guò)程一一這是一

條非單調(diào)的曲線，即說(shuō)明其預(yù)測(cè)方法不是本節(jié)提到的兩種方法的任何一種。還有

比指數(shù)增長(zhǎng)模型、阻滯增長(zhǎng)模型更好的人口預(yù)測(cè)方法嗎？

事實(shí)上，人口的預(yù)測(cè)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，影響人口增長(zhǎng)的因素除了人口

基數(shù)與可利用資源量外，還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素

有關(guān)，特別在做中短期預(yù)測(cè)時(shí)，我們希望得到滿足一定預(yù)測(cè)精度的結(jié)果，比如在

剛剛經(jīng)歷過(guò)戰(zhàn)爭(zhēng)或是由于在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等，這些因

素本身以及由此而引起的人口年齡結(jié)構(gòu)的變動(dòng)就會(huì)變的相當(dāng)重要，進(jìn)而需要必須

予以考慮。

§1.3認(rèn)識(shí)Mathematica

高性能計(jì)算機(jī)與優(yōu)良數(shù)學(xué)軟件的研發(fā)普及，使得數(shù)學(xué)學(xué)科地位的重要性地位

得到不斷地加強(qiáng)和鞏固。它使得數(shù)學(xué)方法能被廣泛有效地應(yīng)用于科學(xué)研究、工業(yè)

設(shè)計(jì)、社會(huì)管理等各個(gè)領(lǐng)域成為可能，甚至使得數(shù)學(xué)的學(xué)科面貌從學(xué)習(xí)的角度也

發(fā)生了非常巨大的變化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再局限于一張紙一支筆的咫尺天地當(dāng)中。特

別，像Mathematica、MatlabSas>Lingo系列（高版本）數(shù)學(xué)軟件的推出,為數(shù)

學(xué)的學(xué)習(xí)以及嘗試將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題提供了捷徑。

Mathematica（簡(jiǎn)記為Math）是一種數(shù)學(xué)分析型的軟件，功能豐富強(qiáng)大，

界面友好，其編程具有很好的“對(duì)話”式特點(diǎn)，易學(xué)易用，當(dāng)你輸入一個(gè)

有效的表達(dá)式或計(jì)算程序時(shí)，連擊“Shift”與“Enter”鍵，Math將完成

計(jì)算；

建議初學(xué)者首先以基本的算術(shù)表達(dá)式或簡(jiǎn)單的函數(shù)值計(jì)算作為練習(xí)來(lái)初步了

解Math軟件，循序漸近，逐步深入。

循序漸近

Math3.0以上的版本，在其主菜單“File”子菜單中的“Palettes”選項(xiàng)，

學(xué)習(xí)者可以從中選擇其中適當(dāng)?shù)淖舆x項(xiàng)，軟件將彈出相應(yīng)的“按紐”平板

（輸入平臺(tái)），上面有許多特殊的字符或符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式模板、常用的

內(nèi)部函數(shù)等，只需用鼠標(biāo)點(diǎn)擊相應(yīng)的“按紐”，在輸入窗口中即產(chǎn)生您所

要的數(shù)學(xué)字符或表達(dá)式格式。在輸入格式的空位中填入正確的數(shù)據(jù)或符

號(hào)，即可直觀的完成一個(gè)復(fù)雜數(shù)學(xué)表達(dá)式的輸入。這樣，使得Math程序

的編寫(xiě)和我們平時(shí)完成數(shù)學(xué)作業(yè)報(bào)告時(shí)所采用的形式達(dá)到最大限度的一

致——這也是Math軟件的又一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

PALETTES（?調(diào)色板，顏料），內(nèi)中有許多按鈕使得程序的編寫(xiě)更接近書(shū)寫(xiě)習(xí)慣

看，你可以很直觀地輸入一個(gè)矩陣，其它也一樣

3.充分的利用Math的“Help”菜單，將最大限度地排除您在學(xué)習(xí)該軟件時(shí)

可能遇到的障礙，檢索一個(gè)函數(shù)(命令)是便捷的，文件中附帶的相關(guān)例

子，使您能夠很容易地讀懂它們的用法。

Edit￡.11FormatinputFijidWindowM?lp

?-：4HelpBrovxer

To||PIOT日ack|HideCategories1

Built-inFunctionsAdd-onsTheMathemaTicaBook

GeningSidffed/Demo$|OtherinformdiionMasterindex

ZDPlots?H|：PTdt

AlgebraicComputation?3DPlotsrUstPlor

MdthemaTlcdlFunctions>ComourPlots?ParametrlcPlot

ListsandMatrices?DensityPlots?

SoundGeneraTion?

Programming?Comblnailons?

|inpuTandOUTPUT?二1BaslFOprions?2d

▲

Plot

■Plot(y'z(x,xmin,xmax}]generatesaplotoffasafunctionofxfromxmintoxmax.

■Plot[{/],力，???}/{彳，xmin,xmax)2plotsseveralfunctions

■PlnrAvnliia+aaitcArgirniAntninancruutandaYrlArtinnA4KVmiahniiMiiaaFwa1nafatn*va】”atatkatnKApb+tarlifr?n

safelybedonebeforespecificnumericalvaluesaresupplied.

■PlothasthesaneoptionsasGraphics,withthefollowingadditions1一

CompiledTruewhethertocompilethefunctiontoplot

MaxBend10.maximumbendbetweensegments

PlotDlvislon20.maximumsubdivisionfactorinsampling

PlotPoints25initialnumberofsamplepoints

Plotst.yleAueoiaat.icgraphicsdirectivestospecifythestyleforeachcurve

■PlocusesthedefaultsettingAxes->True.

■Plocinitiallyevaluates/atanumberofequallyspacedsamplepointsspecifiedbyPlocPolncs.Thenitusesanadaptivedgorithmtochooseadditional

samplepoints,attemptingtoprodweacurveinwhichthebendbetweensuccessivesegmentsiskssthanMaxBend.Itsubdividesagivenintervalbya

cFAtP1ermX7Ta5cn

_LI_______________i±r

充分利用“HELP”

4.Math可以作符號(hào)計(jì)算，用戶可以借助Math得到許多問(wèn)題的解析(符號(hào))

解；且只要用戶愿意，Math可以得到任意精度的數(shù)值解。

5.“表”是Math軟件處理的最基本的數(shù)據(jù)對(duì)象。

6.Math語(yǔ)句的語(yǔ)法單一，取消了函數(shù)、命令等概念的差別一一這同樣是

Math的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)；Math中定義了大量的內(nèi)部函數(shù)或命令,這樣使得Math

進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的編程效率極具優(yōu)勢(shì)。

7.您還可以自己定義函數(shù)。

8.Math(簡(jiǎn)單)編程。

9.Math函數(shù)作圖可能會(huì)吸引您。

10.特別提示：

1)“Shift”+“Enter”；

2)Math中區(qū)分字母的大小寫(xiě)，軟件內(nèi)部定義的函數(shù)命令，其首字母均大寫(xiě);

3)幾對(duì)括號(hào)的用法：“引”、“口”、“皿”、

4)幾個(gè)等號(hào)：“二”、“：=”、“=”；

5)“，”與“；”；

6)幾個(gè)常數(shù)："：Pi；e：E;IL:I;oo:Infinity;

7)取近似函數(shù)N[Pi]、N[Pi,100]；

8)數(shù)據(jù)引用：％、％%、％%%、％io、outnoboutr-io]：給變量(參數(shù))、

表達(dá)式的數(shù)據(jù)命名是一個(gè)好的編程習(xí)慣。

9)對(duì)方程(組)解的引用：

in[16]：=aa=Solve[2*x==1,x]

Jut[16]={{XT：}}

in[15]：=x/.aa[[l]]

1

Jut[15]=-I

2

10)隨機(jī)函數(shù)Random[]、Random[Reabxm]、Random[Reab{xm,xM}]、

Random[Integer>iM]；

下面的例子可以作為學(xué)習(xí)用Math語(yǔ)言定義一般（復(fù)雜）函數(shù)的例子，學(xué)生

在練習(xí)過(guò)程中除了學(xué)習(xí)Math編程外，還可以對(duì)近似計(jì)算的概念和特點(diǎn)形成初步

認(rèn)識(shí)：

例、設(shè)某函數(shù)為一分段常值函數(shù)，試根據(jù)其特點(diǎn)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)乃惴ǎ谥付ň?/p>

要求下，搜索其間斷點(diǎn)。不妨取

-1-co<x<0

0

f(x)=<1l<x<1.0001

21.0001<x<1.002

31.002<x<+oo

0.0001、0.00000001,在區(qū)間[-L4]內(nèi)搜

精度要求分別取0.1、0.01、0.001、

索函數(shù)/（x）的間斷點(diǎn)。

第二章初等數(shù)學(xué)方法建模

數(shù)學(xué)建模的核心是力求對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解決，而不在于所采用方法的深?yuàn)W

程度。事實(shí)上，在對(duì)一個(gè)問(wèn)題能夠做到完好解決的前提下，樸素性簡(jiǎn)潔性恰好是

構(gòu)成一個(gè)完美的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)建模過(guò)程的一個(gè)重要側(cè)面。本章介紹的幾個(gè)例子

即能夠用相對(duì)初等的方法得以很好地解決，這里強(qiáng)調(diào)選用怎樣的工具通常是由問(wèn)

題本身內(nèi)在決定的，切忌為了炫耀方法而使問(wèn)題的解決變的煩瑣一一這正如在良

醫(yī)的眼里，各種藥材的價(jià)值在其用并在行醫(yī)中總能做到對(duì)癥，而不在其名貴程度。

§2.1公平的席位分配

問(wèn)題：首先看一個(gè)小例子，討論一個(gè)學(xué)校中學(xué)生代表席位在不同院系之間的公平

分配問(wèn)題。問(wèn)題產(chǎn)生的原因在于人數(shù)是一個(gè)整型量，因此在通常情況下不能?chē)?yán)格

保證各個(gè)院系（團(tuán)體）最終分得的代表席位數(shù)與其人數(shù)取相同的比例。也即說(shuō)對(duì)

一個(gè)席位分配方案不能要求其在任何情況下均能作到絕對(duì)公平，但卻可要求其分

配結(jié)果的整體不公平程度盡可能降低。

在下表中反映的是當(dāng)總席位數(shù)分別為20、21時(shí)，參照慣例在人數(shù)分別為

(103,63,34)的三個(gè)不同系的分配結(jié)果「慣例”在這里是指首先計(jì)算各系按照比例

所應(yīng)該分得的席位，然后取其整數(shù)部分作為各系第一階段分到的席位，而在第二

階段將剩余的席位按照各系比例分配數(shù)的小數(shù)部分的大小取較大的幾個(gè)系，在已

分得席位的基礎(chǔ)上各增加1席。

系學(xué)生所占20個(gè)席位的分配21個(gè)席位的分配

別人數(shù)比例比例分配參照慣例比例分配參照慣例

的席位的結(jié)果的席位的結(jié)果

甲10351.510.31010.81511

乙6331.56.366.6157

丙3417.03.443.573

總20010020.02021.00021

和

從上表中發(fā)現(xiàn)，在總席位數(shù)為20席時(shí)丙系可分到4席，而當(dāng)總席位增加之后,

丙系分到的席位數(shù)反降為3席。這一“矛盾性結(jié)果”同樣不符合我們對(duì)一個(gè)好的

席位分配算法的預(yù)期：假定各系人數(shù)已確定，考慮總席位數(shù)增加時(shí)，一個(gè)席位分

配算法的結(jié)果至少須保證對(duì)每一系所最終分得的席位數(shù)不減。要解決這個(gè)問(wèn)題必

須舍棄所謂慣例，找到衡量公平分配席位的指標(biāo)，并由此建立新的分配方法。

一、A、B兩方席位的公平分配：

雙方人數(shù)分別記為小巴，占有席位記為〃「%，分別代表的人數(shù)應(yīng)為

%%

?若%=%,則公平。

通常，人數(shù)、席位都為整數(shù)，若/,/,

，則不公平。數(shù)值

較大的一方吃虧。

1.建立數(shù)量指標(biāo)：

標(biāo)準(zhǔn)I-絕對(duì)不公平指標(biāo)：不妨假設(shè)X>/.

⑴(4，舄)=(120,100),(%,/)=(10,10),則:/-P1/=12-10=2

lln

\/2.?

=102-100=2

/W1/W2

(2)(^,^)=(1020,1000),(%,%)=(10J0),則o

常識(shí)：(2)的公平程度比(1)大為改善了。

標(biāo)準(zhǔn)II?相對(duì)標(biāo)準(zhǔn):

若%

,則;稱(chēng)之為相對(duì)于B對(duì)A的相對(duì)

不公平值。

若,則：稱(chēng)之為相對(duì)于A對(duì)B的相對(duì)

不公平值。

?制定席位分配方案的原則是使它們盡可能小。

2.確定分配方案：

設(shè)（4,巴）固定，（%，％）已分好，總席位增加“1”。

不失一般性設(shè),即對(duì)A不公平，這時(shí)只會(huì)有如下兩種情形:

＞乙/

⑴若i+D/%,則增加席位給A；

＞+1）＜，則增加席位給A將變?yōu)閷?duì)B不公平，計(jì)算

（2）若

產(chǎn)2（%+1）1

這時(shí)顯然有+1）,則增加席位給B將對(duì)A更為不公平，計(jì)算

乙（勺,〃2+1）="2+1）一1

公平分配席位的原則是使得相對(duì)不公平值盡可能地小，所以若

/?/,（%+1,〃2）〈a5”叫+1）,則增加席位給A；反之增加席位給B。

二.Q-值法與m方的席位分配：

在A、B兩方公平分配席位的情況的討論中，我們可以將按照相對(duì)不公平指

2,=—^-

標(biāo)來(lái)確定新增1席的歸宿，等價(jià)于對(duì)6.（%+1）與〃2?（%+1）的比較,

則二數(shù)中大的所對(duì)應(yīng)的一方的席位加lo

不難將之推廣到m方的席位分配的問(wèn)題，歸結(jié)為如下的Q?值法：

p=yp

設(shè)有m個(gè)團(tuán)體，=l,?叫表示第1個(gè)團(tuán)體的人數(shù)，』'為總?cè)藬?shù)，

，虱i=L?M表示第i個(gè)團(tuán)體分得的席位數(shù)，N為總席位數(shù)。

_p,2

第一步：令%=麻（匕/尸）],計(jì)算".一"4+1）,這里i=Lm；

m

n:=/n

第二步：令.--iii,若〃=N,停，〃{=1?加）即為第i個(gè)團(tuán)體最終分得

的席位數(shù)；

第三步：選最小的廣，使得0.=林崗01"1?.,〃},勺.=%+1,

Pt

Q.=_____!____

勺.（勺.+1）,轉(zhuǎn)第二步。

作為Q―值法的應(yīng)用，本文給出的學(xué)生代表席位的分配問(wèn)題的結(jié)果為，（1163）

對(duì)應(yīng)總席位數(shù)為20,（11，6,4）對(duì)應(yīng)總席位數(shù)為21。

三.進(jìn)一步討論

事實(shí)上要我們說(shuō)Q?值法與參照“慣例”的算法孰優(yōu)孰劣是不適當(dāng)?shù)?，它們?/p>

循了兩種不同的“公平”標(biāo)準(zhǔn)：Q-值法關(guān)心一個(gè)團(tuán)體的席位在增加與不增加一個(gè)

席位對(duì)這個(gè)團(tuán)體中個(gè)體的心理感受，而參照“慣例”的算法卻從把一個(gè)團(tuán)體視為

一個(gè)整體來(lái)考察的。

而Q-值法的導(dǎo)出，是以其它團(tuán)體的席位分配為參照來(lái)衡量一個(gè)團(tuán)體席位分配

中的相對(duì)不公平程度，事實(shí)上當(dāng)總?cè)藬?shù)尸與總席位數(shù)N一定時(shí)，以P/N這一客

觀標(biāo)準(zhǔn)作參照應(yīng)當(dāng)更為合理，而由此導(dǎo)出的算法我們發(fā)現(xiàn)恰好是按照絕對(duì)不公平

指標(biāo)巨二尸=來(lái)決定新增加席位的歸宿，將Q?值法中的0都換為小，

得到的算法這里稱(chēng)之H.值法。就文中算例，（1°，6,4）對(duì)應(yīng)總席位數(shù)為20,（1074）

對(duì)應(yīng)總席位數(shù)為21。

我們也構(gòu)造了一個(gè)對(duì)席位分配方案不公平程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)

Max{Pi/ni\i=l..m],我們發(fā)現(xiàn)H.值法的結(jié)果優(yōu)于Q.值法。

尸=>尸

定理：設(shè)有m個(gè)團(tuán)體，々（”1”叫表示第1個(gè)團(tuán)體的人數(shù)，‘為總?cè)?/p>

數(shù)，N為總席位數(shù)，〃；（i=l?M）表示由H.值法給出第i個(gè)團(tuán)體分得的席位數(shù)，

*MiniMax{—\〃，為非負(fù)整數(shù)，益//,=N]-

則〃尸〃N=l..m）必是最優(yōu)化問(wèn)題〔七/=.

的最優(yōu)解。

在文中建立不公平程度數(shù)量指標(biāo)的討論中，曾舉例說(shuō)明絕對(duì)不公平指標(biāo)是有

缺陷的，為了克服其缺陷而建立了相對(duì)不公平指標(biāo)，并最終導(dǎo)出Q?值法；可是我

們最終的給出H.值法的結(jié)果優(yōu)于Q?值法的結(jié)論，當(dāng)然從簡(jiǎn)單性方面來(lái)考察H?值

法同樣優(yōu)于Q-值法。而H?值法事實(shí)上即是絕對(duì)不公平指標(biāo)，試著找到本文的論

證缺陷之所在。

四.評(píng)注：

學(xué)習(xí)者除了在尋找適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決席位的公平分配這一問(wèn)題本身建模

方法外，還應(yīng)當(dāng)從“從建立了相對(duì)不公平指標(biāo)、并最終導(dǎo)出Q?值法”這一過(guò)程得

到啟發(fā)一一盡管Q?值能否被發(fā)現(xiàn)并不影響席位分配的最終方案，但用Q?值法來(lái)

表述實(shí)現(xiàn)算法更加簡(jiǎn)潔有效，而且很容易將由兩個(gè)團(tuán)體席位分配的算法推廣到多

個(gè)團(tuán)體的情形，領(lǐng)會(huì)“內(nèi)容”與“形式”的辨證關(guān)系，認(rèn)真對(duì)待自己的每一次創(chuàng)

作；

至于H.值法的導(dǎo)出及其結(jié)果優(yōu)于Q-值法的結(jié)論，它也表明對(duì)一個(gè)數(shù)量大小

的衡量，在有客觀標(biāo)準(zhǔn)存在時(shí)，我們寧愿以客觀標(biāo)準(zhǔn)作為參照；另外，在對(duì)實(shí)際

應(yīng)用問(wèn)題分析建模的過(guò)程中，應(yīng)養(yǎng)成自覺(jué)的否定和自我否定精神，當(dāng)然這同樣應(yīng)

當(dāng)建立在嚴(yán)格求證的基礎(chǔ)之上。

§2.2雙層玻璃窗的功效

問(wèn)題：在北方城鎮(zhèn)的許多建筑物的窗戶是雙層的，即在窗戶上裝兩層玻璃旦中間

留有一定空隙，這樣就減緩室內(nèi)外熱量的交換，特別在冬天，這樣做的保暖效果

是很有效的。能否建立一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型分析其有效性，并給出相應(yīng)的實(shí)用設(shè)

計(jì)。

一、模型假設(shè)

1.熱量的傳播形式只考慮傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流，即假定窗戶的密封性能很好，兩

層玻璃之間的空氣是不流動(dòng)的。

2.室內(nèi)溫度方和室外溫度A保持不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿

熱傳導(dǎo)方向，單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量是常數(shù)。

3.玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)左，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)七。

二、模型建立

物理定律：厚度為d的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為47,則單位時(shí)間由溫度高

的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量°,與/T成正比，與d成反比，即

Q=k-

d,4為熱傳導(dǎo)系數(shù)。

這里分別表示玻璃以及中間夾層的厚度。

^-Ta=l：Ta-Th^Th-T2

Q=k}

由消去七’乙得

e=（r,-r2）0

因?yàn)槲У囊?guī)格通常是確定的，因此，在這里可將熱量。視為'的元函數(shù)。

三、模型求解

不難發(fā)現(xiàn)°⑺為一單調(diào)減函數(shù)，因此在建筑材料與設(shè)計(jì)美觀允許的前提下盡

可能加大兩層玻璃且中間的空隙總在使。⑺減小。

。（0）=尢,上汽

下面我們是從分析其功效的角度考慮的，我們以射作為參照,

h（l/d）=Vki/&

記/（啟常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)尤=4xlOT?8x10-3（焦耳/厘

米?秒?度)，做保守估計(jì)，取占=4x10-3(焦耳/厘米?秒?度)，干燥空氣的熱

傳導(dǎo)系數(shù)七=2.5xl()7(焦耳/厘米?秒.度)。這時(shí)

從上圖可看出，當(dāng)/由。增加時(shí)，曲線迅速下降，特別當(dāng)'=&/時(shí)，窗戶的散

熱速度降到了不做夾層的3%。而且，在通常的建筑規(guī)范就要求〃4x4。

思考題：只要是兩種材料，玻璃和空氣，二者總厚度小，一定，考慮多層玻璃層

空氣層相間，問(wèn)它們的組和厚度與熱傳導(dǎo)有無(wú)影響。

第三章非線性最優(yōu)化方法

§3.1最優(yōu)化問(wèn)題與建模

一.基本概念：

因?yàn)槿祟?lèi)所從事的一切生產(chǎn)或社會(huì)活動(dòng)均是有目的的，其行為總是在特定的

價(jià)值觀念或?qū)徝廊∠虻闹湎逻M(jìn)行的，經(jīng)常面臨求解一個(gè)可行的甚至是最優(yōu)的方

案的決策問(wèn)題?？梢哉f(shuō)，最優(yōu)化思想是教學(xué)建模的靈魂。而最優(yōu)化方法作為一門(mén)

特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科分支有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。

典型的最優(yōu)化模型可以被描述為如下形式：

Min{f(X)\XeD}

其中X=3，w…X”)，表示一組決策變量，芭&=1??〃)通常在實(shí)數(shù)域R內(nèi)取值，

稱(chēng)決策變量的函數(shù)八牙)為該最優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)；。為〃維歐氏空間肥的某

個(gè)子集，通常由一組關(guān)于決策變量的等式或不等式刻畫(huà)，形如：

Minf(X)

s.t,cf(X)>0(i=l.?/W1)

q(X)=0(i=，〃]+l..m)

這時(shí)，稱(chēng)模型中關(guān)于決策變量的等式或不等式q(x)No(i=1..人)、

Cj(X)=°(i=/%+LM為約束條件，而稱(chēng)滿足全部約束條件的空間R"中的點(diǎn)X

為該模型的可行解，稱(chēng)

。={XwA"[q(X)N0(1=1?.叫)且q(X)=0(/=叫+,即由所有可行解構(gòu)成

的集合為該模型的可行域。

稱(chēng)MwO為最優(yōu)化模型的(仝局)最優(yōu)解，若滿足：對(duì)

vxG。均有f（x?）&f（X）,這時(shí)稱(chēng)reD處的目標(biāo)函數(shù)值〃X'）的為最優(yōu)化模

型M加｛/（X）|Xe°｝的（全局）最優(yōu)值；稱(chēng)為最優(yōu)化模型

Min｛f（X）\X^D｝的局部最優(yōu)解，若存在b>0,對(duì)

VX6OC｛X€肥|岳天-工：了v㈤*

怡,均有/（X）?/（X）。

（全局）最優(yōu)解一定是局部最優(yōu)解，但反之不然，其關(guān)系可由下圖得到反映:

卜圖為函數(shù)丁二”4訶/）在區(qū)間［-2,3?5］卜的一段函數(shù)曲線（由Mathematica

繪制），如果考察最優(yōu)化問(wèn)題-加｛x?sin（x2）|-2WxM3.5｝,從圖中發(fā)現(xiàn)它有三個(gè)

局部最優(yōu)解再=735521、x2=2,1945x3=3.32277其中￡=3.32277是全局

最優(yōu)解,最優(yōu)值為“-331939”。

二.最優(yōu)化問(wèn)題的一些典型的分類(lèi)：

優(yōu)化方法涉及的應(yīng)用領(lǐng)域很廣，問(wèn)題種類(lèi)與性質(zhì)繁多，根據(jù)不同的原則可以

給出不同的分類(lèi)。從數(shù)學(xué)建模的角度，對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題的一些典型分類(lèi)及相關(guān)概念

的了解是有益的。

根據(jù)決策變量的取值類(lèi)型，可分為函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題與組合優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)決策變

量均為連續(xù)變量的最優(yōu)化問(wèn)題為函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題；若一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題的全部決策變

量均離散取值，則稱(chēng)之為組合優(yōu)化問(wèn)題。比方一些最優(yōu)化問(wèn)題的決策變量被限定

只能取整數(shù)值，即為組合最優(yōu)化問(wèn)題，這類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題通常被稱(chēng)為整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，

另外大多網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃問(wèn)題屬于組合最優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)然，也有許多應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)模

型表現(xiàn)為混合類(lèi)型的，即模型的部分決策變量為連續(xù)型的，部分決策變量為離散

型的；另外當(dāng)談?wù)撘粋€(gè)最優(yōu)化問(wèn)題是函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題還是組合優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，還需結(jié)

合我們對(duì)這一問(wèn)題的思考方式來(lái)進(jìn)行確定，比方后面介紹的線性規(guī)劃問(wèn)題的求解,

既有將其作為一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題而開(kāi)發(fā)的算法，也有將其作為一個(gè)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題

而開(kāi)發(fā)的算法；

另外的一種分類(lèi)方式是根據(jù)問(wèn)題中目標(biāo)、約束條件函數(shù)的形式或性質(zhì)來(lái)加以

劃分的：若一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)、約束條件函數(shù)均為決策變量的線性函數(shù)，則

稱(chēng)之為線性規(guī)劃問(wèn)題，否則稱(chēng)之為非線性最優(yōu)化問(wèn)題。線性規(guī)劃問(wèn)題的研究，理

論和方法都已發(fā)展的相當(dāng)成熟，方法被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和管理等領(lǐng)域；而對(duì)非線

性最優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)建模和算法設(shè)計(jì)的需要還有更進(jìn)一步的分類(lèi)；

在生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)與管理等領(lǐng)域中遇到的大量最優(yōu)決策問(wèn)題，對(duì)一個(gè)方案的評(píng)價(jià)

是多角度多指標(biāo)的，反映在數(shù)學(xué)模型中，優(yōu)化的目標(biāo)是關(guān)于決策變量的一個(gè)函數(shù)

組，我們稱(chēng)之為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。比如導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)，既要其射程遠(yuǎn)，又要消耗燃

料少，還要命中率高等；又如選擇新廠的廠址，除了要考慮地價(jià)、原料采購(gòu)的運(yùn)

費(fèi)等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)外，還需考慮對(duì)環(huán)境的污染等社會(huì)因素。

三.最優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的一階必要條件:

Minf（X）

s.t.q（X）NO（i=l.叫）

這里對(duì)形如q（x）=°?=嗎+1?切）的最優(yōu)化問(wèn)題的一階必要性

條件作簡(jiǎn)單介紹，它一方面可以將最優(yōu)化問(wèn)題和方程組問(wèn)題做某種形式的聯(lián)系，

另一方面它在最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)值求解算法的設(shè)計(jì)有重要的意義。

Minf（X）

s.t.cf（X）>0（i=l.jn,）

定理：設(shè)X'eR”為最優(yōu)化問(wèn)題c,（X）=°?=嗎+1?加的（局部）最

優(yōu)解，若滿足：

1）/（X）、q（X）（i=l..M在x*均可微；

2）W（X*）、=分別表示/（X）、q（XXi=L.M在X*的梯度向

量，向量組｛▽q（x*）|q（**）=（M=LM線性無(wú)關(guān)；

則m4Gmi=1?仙），滿足：

刑

V/（x?）=Z4.Vq（x?）

1）X

2）對(duì)于1=1??嗎均有4之0||4?Ci（X*）=0

22

Min—x1+2xt-x2

例、求解如下非線性規(guī)劃：s/?0<X2<X,<2。

解：目標(biāo)函數(shù)的梯度向量（函數(shù)）為（-2占+2,-24），而約束條件相當(dāng)于有三

個(gè)：/2°、。-/之。、2-它們分別對(duì)應(yīng)梯度向量（函數(shù)）（0,1）、

（1,-D、（-1,0），.

令（-2x,+2,-2x2）=2（（0,1）+2,（1,—1）+23（―1,0）x2=0

丸2?（苞_/）=0、4.（2_占）=0并要求4之0"=1,2,3）。解之得四組解：

1）占=占=2；4=0,九2=4,4=6；

2）x,=x2=0.2,=2,22=2,23=0；

3）x1=29X2=0.（=0,42=0,4=2；

4）占=1,/=°；=0,2,=0,2,=0；

計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)與=%=2為（全局）最優(yōu)解，最優(yōu)目標(biāo)函

數(shù)值為一4。

特別，對(duì)于無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，其一階最優(yōu)化條件如下:

定理：設(shè)為最優(yōu)化問(wèn)題的（局部）最優(yōu)解，若/（X）在￡均

可微,則〃x）在x*的梯度向量w（x*）為零向量,gPv/（r）=oe

§3.2無(wú)約束最優(yōu)化方法

在這里我們只是對(duì)一些典型的最優(yōu)化算法作簡(jiǎn)單介紹，以期那些初次接觸數(shù)

值計(jì)算方法的學(xué)習(xí)者能對(duì)最優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)思想有概貌性了解，能編寫(xiě)一些簡(jiǎn)單

的最優(yōu)化算法以處理學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題。而希望對(duì)最優(yōu)化方法有更深入的學(xué)習(xí)或

者欲處理相對(duì)復(fù)雜的最優(yōu)化問(wèn)題,需要參考更為專(zhuān)門(mén)的書(shū)籍或借助有關(guān)數(shù)學(xué)軟件。

一.一維搜索：

1.0.618法（黃金分割法）：

設(shè)單變量函數(shù)/（力在區(qū)間［凡”上有定義，若存在一點(diǎn)不￡（〃，口，使得

/3）在區(qū)間［凡上嚴(yán)格單調(diào)減，/3）在區(qū)間上，上嚴(yán)格單調(diào)增，則稱(chēng)/"）

是區(qū)間［凡以上的（下）單峰函數(shù)。顯然X*是/（X）在區(qū)間卜，上的唯一的極

小值點(diǎn)。

對(duì)（下）單峰函數(shù)，有如下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：設(shè)是區(qū)間［。，”上的（下）單峰函數(shù)，丁是/（刈在區(qū)間口，司上的

唯一的極小值點(diǎn)，對(duì)任意x（i=1,2,3）￡［〃，/?］,x1<x2<x3,若

/a）2/（々）,/（工3）2）5），則必有￡￡g，/］；

性質(zhì)2：設(shè)/a）是區(qū)間［〃，”上的（下）單峰函數(shù)，V是/（x）在區(qū)間上口上的

唯一的極小值點(diǎn)，對(duì)任意須（i=L2）€［4,b\xx<x2，若:（石）4/（%2），則必有

x"e［a,x2］；若〃石）”（電），則必有b］o

根據(jù)（下）單峰函數(shù)所具看的性質(zhì)，對(duì)在某區(qū)間卜，”上的（下）單峰函數(shù)/"）

可采用0.618法（黃金分割法）進(jìn)行搜索其在區(qū)間上”內(nèi)的極小值點(diǎn)。方法只

需計(jì)算函數(shù)值，用途很廣。

0.618法：

這里設(shè)/"）為區(qū)間［a,⑶上的單峰函數(shù)，。=與（即黃金分割數(shù)，=0.618,

算法由此得名），

步1：令〃:=a,/?:=/?,c:=b—a（b—a）,d=a+b—c,C:=f（c）,D:=f（d）,

以及精度要求￡>0；

步2：若〃-輸出：審為近似最優(yōu)解，/（歲）為近似最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值,

停止；

步3：若C>D,a:=c,c:=cl,d:=a+<y（b-a）,C:=DyD:=f（d）,轉(zhuǎn)步

2；

步4：b:=d,d:=c,c:=b-cr（b—a）,D:=C,C:=f（c）,轉(zhuǎn)步2；

易知，按照如上算法，每次迭代，只需計(jì)算一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，均使解的存在

區(qū)間以1-°的比率縮?。欢谒泄潭ǚ謩澅鹊膮^(qū)間分割法中，以上特點(diǎn)為黃

金分割法所獨(dú)有，其余，每次迭代，需計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值。從計(jì)算相同的函數(shù)

值數(shù)目而使最優(yōu)解的存在區(qū)間長(zhǎng)度所能達(dá)到的縮小比率考慮，黃金分割法在所有

固定分劃比的區(qū)間分割法中是最優(yōu)的，這里將黃金分割法連續(xù)迭代兩次，最優(yōu)解

的存在區(qū)間長(zhǎng)度所能達(dá)到的縮小比率為1-(叵二近二1。0.618,而其它所

有具有固定分劃比的區(qū)間分割法每次迭代所達(dá)到的縮小比率小于0.5。因此黃金分

割法在所有固定分劃比的區(qū)間分割法中是最優(yōu)的。

例：用0.618法求解M加，，解的初始存在區(qū)間取[—1J00],這里要求在近似解的

誤差不超過(guò)￡=。

解：用0.618法編程求解，經(jīng)29步迭代，得該問(wèn)題的近似解及其目標(biāo)函數(shù)值為

S

x=-0.0000723312f(-0.0000723312)=5.2318x10"：0

2.牛頓法與拋物線法：

在所有函數(shù)中，討論二次多項(xiàng)式函數(shù)的極小(大)值問(wèn)題最為典型。對(duì)一元

二次多項(xiàng)式q(x)=+c,當(dāng)a〉0ll寸，易知￡=2是無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)

2a

題M加/(幻的最優(yōu)解。而對(duì)一般函數(shù)最優(yōu)解的求解，可以利用對(duì)一些點(diǎn)處目標(biāo)函

數(shù)的函數(shù)值、一階或二階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)在一點(diǎn)局部或者在一定范圍內(nèi)的二

次多項(xiàng)式逼近模型，以逼近模型的最優(yōu)解作為求解原最優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)迭代點(diǎn)。

稱(chēng)這類(lèi)方法為(二次)插值法。

對(duì)一元函數(shù)，二次多項(xiàng)式逼近模型的建立通常有四種方式：其一是利用函數(shù)

在一點(diǎn)處函數(shù)值、一階及二階導(dǎo)數(shù)值；其二是利用三個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值；其三是

利用兩個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值以及它們中一點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值；其四是利用兩個(gè)不同點(diǎn)

的一階導(dǎo)數(shù)值以及它們中一點(diǎn)的函數(shù)值。這里只介紹前兩種，而稱(chēng)基于第一種方

式構(gòu)造的算法為牛頓法，稱(chēng)基于第一種方式構(gòu)造的算法為拋物線法。

設(shè)xk{k=1,2,3...)為Minf{x}的某算法的迭代點(diǎn)列，在牛頓法中，迭代公式采

用：

而在拋物線法中，迭代公式采用：

1—尤2)，f(Xk-3)+(XA-3~Xk-l)'f(Xk-2)+(Xk-2~Xk-3)'f(Xk-\)

xk--------------------------------------------------------------------

2(