北師大版八年級上冊數(shù)學全冊教案圖文

逛4Mb9學

JINGGANGSHANUNIVERSITY

八年級數(shù)學上冊暑假

補

習

課

程

教

案

2016年7月

第一章勾股定理..................................................錯誤味指定書簽。

§1.1探究勾股定理（一）....................................錯誤味指定書簽。

§1.1探究勾股定理（二）................................錯誤味指定書簽。

§1.2確定是直角三角形嗎.................................錯誤味指定書簽。

§1.3.勾股定理的應(yīng)用.......................................錯誤!未指定書簽。

其次章實數(shù)......................................................錯誤!未指定書簽。

§2.1相識無理數(shù)（一）......................................錯誤!未指定書簽。

§2.1相識無理數(shù)（二）.....................................錯誤!未指定書簽。

§2.2平方根（一）........................................錯誤!未指定書簽。

§2.2平方根（二）........................................錯誤!未指定書簽。

§2.3立方根................................................錯誤!未指定書簽。

§2.4估算..................................................錯誤!未指定書簽。

§2.3用計算器開方........................................錯誤味指定書簽。

§2.6實數(shù)（一）...........................................錯誤味指定書簽。

§2.6實數(shù)（二）.............................................錯誤味指定書簽。

§2.7二次根式.............................................錯誤!未指定書簽。

第三章位置和坐標.............................................錯誤!未指定書簽。

§3.1確定位置.............................................錯誤!未指定書簽。

§3.1確定位置（二）......................................錯誤!未指定書簽。

§3.2平面直角坐標系（一）..............................錯誤味指定書簽。

§3.2平面直角坐標系（二）..............................錯誤!未指定書簽。

§3.2平面直角坐標系（三）..............................錯誤味指定書簽。

§3.3軸對稱和坐標變更（一）............................錯誤!未指定書簽。

§3.3軸對稱和坐標變更（二）............................錯誤!未指定書簽.

第四章一次函數(shù)................................................錯誤!未指定書簽。

§4.1函數(shù)..................................................錯誤!未指定書簽。

§4.2一次函數(shù)和正比例函數(shù)..............................錯誤味指定書簽。

§4.3.一次函數(shù)的圖象（一）..............................錯誤味指定書簽。

§4.3.一次函數(shù)的圖象（二）..............................錯誤味指定書簽。

§4.4一次函數(shù)的應(yīng)用（一）..............................錯誤!未指定書簽。

§4.4一次函數(shù)圖象的應(yīng)用（二）..........................錯誤味指定書簽。

第五章二元一次方程組........................................錯誤!未指定書簽。

§5.1相識二元一次方程組.................................錯誤!未指定書簽。

§5.2求解二元一次方程組（一）..........................錯誤!未指定書簽。

§5.2求解二元一次方程組（二）..........................錯誤味指定書簽。

§5.3應(yīng)用二元一次方程組雞兔同籠.......................錯誤!未指定書簽。

§5.4應(yīng)用二元一次方程組增收節(jié)支.......................錯誤!未指定書簽。

§5.5應(yīng)用二元一次方程組里程碑上的數(shù)..................錯誤味指定書簽。

§5.6二元一次方程和一次函數(shù)............................錯誤!未指定書簽。

§5.7用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式.............錯誤味指定書簽。

第六章數(shù)據(jù)的分析.............................................錯誤!未指定書簽。

§6.1平均數(shù)（一）........................................錯誤味指定書簽。

§6.1平均數(shù)（二）........................................錯誤味指定書簽。

§6.2中位數(shù)和眾數(shù)........................................錯誤!未指定書簽。

§6.3從統(tǒng)計圖分圻數(shù)據(jù)的集中趨勢.......................錯誤味指定書簽。

§6.4數(shù)據(jù)的離散程度......................................錯誤!未指定書簽.

第七章平行線的證明...........................................錯誤!未指定書簽。

§7.1為什么要證明........................................錯誤!未指定書簽。

§7.2定義和命題（一）...................................錯誤味指定書簽。

§7.2定義和命題（二）...................................錯誤味指定書簽。

§7.3平行線的判定........................................錯誤味指定書簽。

§7.4平行線的性質(zhì)........................................錯誤味指定書簽。

§7.5三角形內(nèi)角和定理（一）............................錯誤味指定書簽。

§7.5三角形內(nèi)角和定理（二）............................錯誤味指定書簽。

第一章勾股定理

§1.1探究勾股定理（一）

教學目標：

1、經(jīng)驗用數(shù)格子的方法探究勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推力意識，

主動探究的習慣，進一步體會數(shù)學和現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

2、探究并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進一步發(fā)展學生的說理和簡潔

的推理的意識及實力。

重點難點：

重點：了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡潔的問題。

難點：勾股定理的發(fā)覺

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)問題的情境，激發(fā)學生的學習熱忱，導入課題

出示投影1（章前的圖文P1）老師道白：介紹我國古代在勾股定理探討方面的

貢獻，并結(jié)合課本P5談一談，講解并描述我國是最早了解勾股定理的國家之一，

介紹商高（三千多年前周期的數(shù)學家）在勾股定理方面的貢獻。

出示投影2（書中的P2圖1—2）并回答：

1、視察圖1-2,正方形A中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形B中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形C中有個小方格，即A的面積為個單位。

2、你是怎樣得出上面的結(jié)果的？在學生溝通叵答的基礎(chǔ)上老師干脆發(fā)問：

3、圖1—2中，之間的面積之間有什么關(guān)系？

學生溝通后形成共識，老師板書，，接著提出圖1—1中的的關(guān)系呢？

二、做一做

出不投影3（書中P3圖1—4）提問:

1、圖1—3中，之間有什么關(guān)系？

2、圖1—4中，之間有什么關(guān)系？

3、從圖1—1,1—2,1—3,11—4中你發(fā)覺什么？

學生探討、溝通形成共識后，老師總結(jié)：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

三、議一議

1、圖1—1、1—2>1—3、1—4中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？

2、你能發(fā)覺直角三角形三邊長度之間的關(guān)系嗎？

在同學的溝通基礎(chǔ)上，老師板書：

直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是聞名的“勾股定

理”

也就是說：假如直角三角形的兩直角邊為,斜邊為c

那么L+/=c2

我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就

是勾股定理的由來。

3、分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度

（學生測量后問答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規(guī)律，對這個二

角形仍舊成立嗎？（回答是確定的：成立）

四、想一想

這里的29英寸（74厘米）的電視機，指的是屏幕的長嗎？只的是屏幕的款

嗎？那他指什么呢?

五、鞏固練習

1、錯例辨析：

△的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應(yīng)滿意c?=32+4?=25

即：5

辨析：（1）要用公股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角形這個必不行少的條件,

可本題

△并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。

（2）若告知△是直角三角形，第三邊C也不確定是滿意/+〃=/,題目中

并為交待C是斜邊

綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。

2、練習P7§1.11

六、作業(yè)

課本P7§1.12、3、4

§1.1探究勾股定理（二）

教學目標：

1.經(jīng)驗運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數(shù)學活動中發(fā)展學生的探

究意識和合作溝通的習慣。

2.駕馭勾股定理和他的簡潔應(yīng)用

重點難點:

重點：能嫻熟運用拼圖的方法證明勾股定理

難點：用面積證勾股定理

教學過程

七、創(chuàng)設(shè)問題的情境，激發(fā)學生的學習熱忱，導入課題

我們已經(jīng)通過數(shù)格子的方法發(fā)覺了直角三角形三邊的關(guān)系，原委是幾個實例，是

否具有普遍的意義，逐需加以論證，下面就是今日所要探討的內(nèi)容，下邊請大家

畫四個全等的直角三角形，并把它剪下來，用這四個直角三角形，拼一拼、擺一

擺，看看能否得到一個含有以斜邊C為邊長的正方形，并和同學溝通。在同學操

作的過程中，老師展示投影1(書中P7圖1—7)接著提問：大正方形的面積可

表示為什么？

22

(同學們回答有這幾種可能：(1)(a+b)(2))

在同學溝通形成共識之后，老師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起

來。

a2^b2=請同學們對上面的式子進行化簡，得到：

22

ci-4-b-=26ZZ?4-C-即a1+b=c

這就可以從理論上說明勾股定理存在。請同學們?nèi)ビ脛e的拼圖方法說明勾股定理。

八、講例

L飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛機飛到一個男孩頭頂正上方4000多米

處，過20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每時飛行多少千米？

分析：依據(jù)題意：可以先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中△的

Nc=9()o,AC=400()米，5000米，欲求飛機每小時飛行多少千米，就要知道飛機

在20秒的時間里的飛行路程，即圖中的的長，由于直角△的斜邊5000米，4000

米，這樣的就可以通過勾股定理得出。這里確定要留意單位的換算。

解：由勾股定理得=4/一4。2=52-4?=9（千米）

即3千米飛機20秒飛行3千米，那么它1小時飛行的距離為：

■^22x3=540（千米/小時）

20

答：飛機每個小時飛行540千米。

九、議一議

展示投影2（書中的圖1-9）

視察上圖，應(yīng)用數(shù)格子的方法推斷圖中的三角形的三邊長是否滿意/+〃=，

同學在爭論溝通形成共識之后，老師總結(jié)。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能運用勾股定理。

十、作業(yè)

1、1、課文P11§1.21、2

2、選用作業(yè)。

§1.2確定是直角三角形嗎

教學目標：

學問和技能

1.駕馭直角三角形的判別條件，并能進行簡潔應(yīng)用；

2.進一步發(fā)展數(shù)感，增加對勾股數(shù)的直觀體驗，培育從實際問題抽象出數(shù)學

問題的實力，建立數(shù)學模型.

3.會通過邊長推斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些叵題應(yīng)用哪

個結(jié)論.

情感看法和價值觀

敢于面對數(shù)學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用學問解決問題的勝利

閱歷，進一步體會數(shù)學的應(yīng)用價值，發(fā)展運用數(shù)學的信念和實力，初步形成主動

參和數(shù)學活動的意識.

教學重點

運用身邊熟識的事物，從多種角度發(fā)展數(shù)感，會通過邊長推斷一個三角形是

否是直角三角形，并會辨析哪些問題應(yīng)用哪個結(jié)論.

教學難點

會辨析哪些問題應(yīng)用哪個結(jié)論.

課前打算

標有單位長度的細繩、三角板、量角器、題篇

教學過程：

復習引入：

請學生復述勾股定理；運用勾股定理的前提條件是什么？

已知△的兩邊5,12,則13對嗎？

創(chuàng)設(shè)問題情景：由課前打算好的一組學生以小品的形式演示教材第9頁古埃

及造直角的方法，

這樣做得到的是一個直角三角形嗎？

提出課題：能得到直角三角形嗎

講授新課：

1.如何來推斷？（用直角三角板檢驗）

這個三角形的三邊分別是多少？(一份視為1)它們之間存在著怎樣的關(guān)系？

就是說，假如三角形的三邊為〃，明清猜想在什么條件下，以這三邊組

成的三角形是直角三角形？(當滿意較小兩邊的平方和等于較大邊的平方時)

2.接著嘗試：下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)這三組數(shù)都滿意a?22嗎？

(2)分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三

角形嗎？

3.直角三角形判定定理：假如三角形的三邊長a,b,c滿意422,那么這個

三角形是直角三角形.

滿意a?22的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

4.例1一個零件的形態(tài)如左圖所示，按規(guī)定這個零件中ZA和/都應(yīng)為

直角.工人師傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？

隨堂練習：

1.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

(3)12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知△中41,40,9,則此三角形為三角形，是最大角.

3.四邊形中已知3,4,12,13,且N90°,求這個四邊形的面積.

13C

A3^

4.習題1.3

課堂小結(jié)：

1,直角三角形判定定理：假如三角形的三邊長a,b,c滿意T22,那么這個

三角形是直角三角形.

2.滿意a?22的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股

數(shù).

§1.3.勾股定理的應(yīng)用

教學目標

教學學問點；能運用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解

決簡潔的實際問題.

實力訓練要求：1.學會視察圖形，勇于探究圖形間的關(guān)系，培育學生的空間觀念.

2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的實力及滲透

數(shù)學建模的思想.

情感和價值觀要求：L通過好玩的問題提高學習數(shù)學的愛好.

2.在解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學學習的好用性，體現(xiàn)人人都學有用的數(shù)學.

教學重點難點：

重點：探究、發(fā)覺給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實

際問題.

難點：利用數(shù)學中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實

際問題.

教學過程

1、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課:

前幾節(jié)課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如I：欲登12米高的建筑物，為平安須要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需

多長的梯子？

依據(jù)題意，（如圖）是建筑物，則12米，5米，是梯子的長度.所以在△中，

222=122+52=132；13米.

所以至少需13米長的梯子.

2、講授新課：①、螞蟻怎么走最近

___B___

i=>

AI-----------------------

出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓行柱的

底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上和A點相對的B點處的食物，須要爬行

的的最短路程是多少？（正的值取3）.

（1）同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路

途，你覺得哪條路途最短呢？(小組探討)

(2)如圖，將圓柱側(cè)面剪開綻開成一個長方形，從A點到B點的最短路途是

什么？你畫對了嗎？

(3)螞蟻從A點動身，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程

是多少？(學生分組探討，公布結(jié)果)

我們知道，圓柱的側(cè)面綻開圖是一長方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線'將圓

柱的側(cè)面綻開(如下圖).

我們不難發(fā)覺，剛才兒位同學的走法：

(l)A-A'-B；(2)A->BZf

(3)A->D->B；(4)A-->B.

哪條路途是最短呢？你畫對了嗎？

第⑷條路途最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.

②、做一做：教材14頁。李叔叔隨身只帶卷尺檢測，是否和底邊垂直，也就是要

檢測Z90°,N90°,連結(jié)或，也就是要檢測△和△是否為直角三角形.很明顯，

這是一個需用勾股定理的逆定理來解決的實際問題.

③、隨堂練習

出示投影片

1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8：00甲先動身，他以6

千米/時的速度向東行走.1時后乙動身，他以5千米/時的速度向北行進.

上午10：00,甲、乙兩人相距多遠？

2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有

一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根

鐵棒應(yīng)有多長？

1.分析：首先我們須要依據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型.

解：（如圖）依據(jù)題意，可知A是甲、乙的動身點，10：00時甲到達B點，貝42義

6二12（千米）；乙到達C點,則1X5=5（千米）.

在△中，222=52+122=169=132,所以13千米,即甲、乙兩人相距13千米.

2.分析：從題意可知，沒有告知鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個取

值范圍而不是固定的長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒最短

時是垂直于底面時.

解：設(shè)伸入油桶中的長度為x米，則應(yīng)求最長時和最短時的值.

（l）x2=l.52+22,x2=6.25,2.5

所以最長是2.5+0.5=3（米）.

（2）1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：這根鐵棒的長應(yīng)在2、3米之間（包含2米、3米）.

3.試一?試（課本P15）

在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一道好玩的問題，這個問題的意思是:

有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中心有一根新生的蘆葦,

它高出水面1尺.假如把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.

請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？

我們可以將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型.

解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為⑴尺，由勾股定理可求得

(1)22+52,X2+212+25

解得12

則水池的深度為12尺，蘆葦長13尺.

④、課時小結(jié)

這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題.我們從中

可以發(fā)覺用數(shù)學學問解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型.

⑤、課后作業(yè)

課本P25、習題1.52

其次章實數(shù)

§2.1相識無理數(shù)（一）

教學目標

（一）學問目標：

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性.

2.能推斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)；并能說出現(xiàn)由.

（二）實力訓練目標：

1.讓學生親自動手做拼圖活動，感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，培育大

家的動手實力和合作精神.

2.通過回顧有理數(shù)的有關(guān)學問，能正確地進行推理和推斷，識別某些數(shù)是否

為有理數(shù)，訓練他們的思維推斷實力.

（三）情感和價俏觀目標：

1.激勵學生主動參和教學活動，提高大家學習數(shù)學的熱忱.

2.引導學生充分進行溝通，探討和探究等教學活動，培育他們的合作和鉆研

精神.

3.了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)覺的學問，激勵學生大膽質(zhì)疑，培育他們?yōu)檎胬矶鴬^斗

的精神.

教學重點

1.讓學生經(jīng)驗無理數(shù)發(fā)覺的過程.感知生活中的確存在著不同于有理數(shù)的數(shù).

2.會推斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

教學難點

1.把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

2.推斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

教學方法

老師引導，主要由學生分組探討得出結(jié)果.

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］同學們,我們學過不計其數(shù)的數(shù),概括起來我們都學過哪些數(shù)呢？

［生］在小學我們學過自然數(shù)、小數(shù)、分數(shù).

［生］在初一我們還學過負數(shù).

［師］對，我們在小學學了非負數(shù)，在初一發(fā)覺數(shù)不夠用了，引入了負數(shù)，

即把從小學學過的正數(shù)、零擴充到有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，那么有

理數(shù)范圍是否就能滿意我們實際生活的須要呢？下面我們就來共同探討這個問

題.

二、講授新課

1.問題的提出

［師］請大家四個人為一組，拿出自己打算好的兩個邊長為1的正方形和剪

刀，仔細探討之后，動手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個大的正方形，好嗎?

［生］好.（學生特別興奮地投入活動中）.

［師］經(jīng)過大家的共同努力，每個小組都完成了任務(wù)，請各組把拼的圖展示

一下.

同學們特別踴躍地呈現(xiàn)自己的作品給老師.

［師］現(xiàn)在我們一齊把大家的做法總結(jié)一卜：

下面請大家思索一個問題，假設(shè)拼成大正方形的邊長為a,則a應(yīng)滿意什么條

件呢？

［生甲］a是正方形的邊長，所以d確定是正數(shù).

［生乙］因為兩個小正方形面積之和等于大正方形面積，所以依據(jù)正方形面

積公式可知於2.

［生丙］由於2可推斷a應(yīng)是1點幾.

［師］大家說得都有道理，前面我們已經(jīng)總結(jié)了有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，那

么，是整數(shù)嗎？a是分數(shù)嗎？請大家分組探討后回答.

［生甲］我們組的結(jié)論是：因為產(chǎn)=1,22=4,32=9,…整數(shù)的平方越來越大，

所以a應(yīng)在1和2之間，故a不行能是整數(shù).

［生乙］因為…兩個相同因數(shù)的乘積都為分數(shù)，

224339339

所以。不行能是分數(shù).

［師］經(jīng)過大家的探討可知，在等式於2中，a既不是整數(shù)，也不是分數(shù),

所以a不是有理數(shù)，但在現(xiàn)實生活中的確存在像a這樣的數(shù)，由此看來，數(shù)又不

夠用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

(1)在卜圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面枳是多少？

(2)設(shè)該正方形的邊長為A則b應(yīng)滿意什么條件？6是有理數(shù)嗎？

［師］請大家先回憶一下勾股定理的內(nèi)容.

［生］在直角三角形中，若兩條直角邊長為a,b,斜邊為。，則有才2)

［師］在這題中，兩條直角邊分別為1和2,斜邊為4依據(jù)勾股定理得Z；2=l2+22,

即則。是有理數(shù)嗎？請舉手回答.

［生甲］因為22=4,3M,4<5<9,所以。不行能是整數(shù).

［生乙］沒有兩個相同的分數(shù)相乘得5,故6不行能是分數(shù).

［生丙］因為沒有一個整數(shù)或分數(shù)的平方為5,所以5不是有理數(shù).

［師］大家分析得很精確，像上面探討的數(shù)分6都不是有理數(shù)，而是另一類

數(shù)一一無理數(shù).關(guān)于無理數(shù)的發(fā)覺是付出了昂貴的代價的.早在公元前，古希臘數(shù)

學家畢達哥拉斯認為萬物皆“數(shù)”，即“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)

之比”，也就是一切現(xiàn)象都可用有理數(shù)去描述.后來，這個學派中的一個叫希伯索

斯的成員發(fā)覺邊長為1的正方形的對角線的長不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示，這

個發(fā)覺動搖了畢達哥拉斯學派的信條，據(jù)說為此希伯索斯被投進了大海，他為真

理而獻出了珍貴的生令，但真理是不行戰(zhàn)勝的，后來古希臘人最終正視了希伯索

斯的發(fā)覺.也就是我們前面談過的於2中的a不是有理數(shù).

我們現(xiàn)在所學的學問都是前人給我們總結(jié)出來的，我們一方面應(yīng)主動地學習

這些閱歷，另一方面我們也不能死搬教條，要大膽質(zhì)疑，如不這樣科學就會恒久

停留在某處而不前進，要向古希臘的希伯索斯學習，學習他為捍衛(wèi)真埋而勇于獻

身的精神.

三、課堂練習

（一）課本P“隨堂練習

如圖，正三角形的邊長為2,高為。力可能是整數(shù)嗎？可能是分數(shù)嗎？

解：由正三角形的性質(zhì)可知1,在△中，由勾股定理得萬二3不行能是整數(shù)，

也不行能是分數(shù).

（二）補充練習

為了加固一個高2米、寬1米的大門，須要在對角線位置加固一條木板，設(shè)

木板長為a米，則由勾股定理得才=「+22,即4=5,a的值大約是多少？這個值可

能是分數(shù)嗎？

解：a的值大約是2.2,這個值不行能是分數(shù).

四、課堂小結(jié)

1.通過拼圖活動，經(jīng)驗無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景，讓學生感受有理數(shù)又不夠用

了.

2.能推斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.1相識無理數(shù)（二）

教學目標

（一）學問目標：

1.借助計算器探究無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會無限靠近的思想.

2.會推斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).

（二）實力訓練目標：

1.借助計算器進行估算，培育學生的估算實力，發(fā)展學生的抽象概括實力，

并在活動中進步發(fā)展學生獨立思索、合作溝通的意識和實力.

2.探究無理數(shù)的定義，以及無理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)分，并能辨別出一個數(shù)是無

理數(shù)還是有理數(shù)，訓練大家的思維推斷實力.

（三）情感和價值觀目標：

1.讓學生理解估算的意義，駕馭估算的方法，發(fā)展學生的數(shù)感和估算實力.

2.充分調(diào)動學生的主動性，培育他們的合作精神，提高他們的辨識實力.

教學重點

1.無理數(shù)概念的探究過程.

2.用計算器進行無理數(shù)的估算.

3.了解無理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)分，并能正確地進行推斷.

教學難點

1.無理數(shù)概念的建立及估算.

2.用所學定義正確推斷所給數(shù)的屬性.

教學方法

老師指導學生探究法

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］同學們，我們在上節(jié)課了解到有理數(shù)又不夠用了，并且我們還發(fā)覺了

一些數(shù)，如于二2吐5中的必。既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，那么它們原委是什么數(shù)

呢？本節(jié)課我們就來揭示它的真面也

二、講授新課

1.導入：［師］請看圖

大家推斷一下3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的理由.

［生］因為3個正方形的面積分別為1,2,4,而面積又等于邊長的平方，所

以面積大的正方形邊長就大.

［師］大家能不能推斷一下面積為2的正方形的邊長d的大致范圍呢？

［生］因為才大于1且才小于4,所以a大致為1點幾.

［師］很好確定比1大而比2小，可以表示為l〈aV2.那么a原委是1點幾

呢？請大家用計算器進行探究，首先確定特別位，特別位原委是幾呢？如

1.t^l.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,1.52=2,25,而養(yǎng)2,故a應(yīng)比1.4

大且比1.5小，可以寫成1.4VaV1.5,所以3是1點4幾，即特別位上是4,請

大家用同樣的方法確定百分位、千分位上的數(shù)字.

［生］因為1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以應(yīng)比1.41大且比L42小,

所以百分位上數(shù)字為1.

［生］因為1.4112=1.990921,1.412』.993744,1.4132=1.996569,

1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以a應(yīng)比1.414大而比1.415小，即千分

位上的數(shù)字為4.

［生］因為1.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,所以a應(yīng)比1.4142

大且比1.4143小，即萬分位上的數(shù)字為2.

［師］大家特別聰慧，請一位同學把自己的探究過程整理一下，用表格的形

式反映出來.

［生］我的探究過程如下.

邊長a面積S

l<a<21VSV4

1.4—VL51.96<5<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2.0164

1.414<a<1,4151.999396VSV2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164VSV2.00024449

［師］還可以接著下去嗎？

［生］可以.

［師］請大家接著探究，并推斷&是有限小數(shù)嗎？

［生］1.41421356…，還可以再接著進行，且a是一個無限不循環(huán)小數(shù).

［師］請大家用上面的方法估計面積為5的正方形的邊長。的值.邊長。會不

會算到某一位時，它的平方恰好等于5?請大家分組合作后回答.（約4分鐘）

［生］2.236067978…，還可以再接著進行，6也是一個無限不循環(huán)小數(shù).

［生］邊長6不會算到某一位時，它的平方恰好等于5,但我不知道為什么.

［師］好.這位同學很坦誠，不會就要大膽地提出來，而不要冒充會，這樣才

能把學問學扎實，學透，大家應(yīng)當向這位同學學習.這個問題我來回答.假如。算

到某一位時，它的平方恰好等于5,即。是一個有限小數(shù)，那么它的平方確定是

一個有限小數(shù)，而不行能是5,所以匕不行能是有限小數(shù).

2.無理數(shù)的定義

請大家把下列各數(shù)表示成小數(shù).

3,,并看它們是有限小數(shù)還是無限小數(shù)，是循環(huán)小數(shù)還是不循環(huán)小數(shù).大家可

以每個小組計算一個數(shù)，這樣可以節(jié)約時間.

AS?

［生］3=3.0,1=0.8,1二0.5,

［生］3,士是有限小數(shù)，是無限循環(huán)小數(shù).

5

［師］上面這些數(shù)都是有理數(shù)，所以有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小

數(shù)表示.反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

像上面探討過的a2=22=5中的a,力是無限不循環(huán)小數(shù).

無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)().

除上面的a,6外，圓周率"=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小數(shù)，

0.5S5S8588s5…(相鄰兩個5之間8的個數(shù)逐次加1)也是一個無限不循環(huán)小數(shù),

它們都是無理數(shù).

3.有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)分

(1)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).

(2)任何一個有理數(shù)都可以化為分數(shù)的形式，而無理數(shù)則不能.

4.例題講解

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

A??

3.14,0.57,0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1).

3

解：有理數(shù)有3.14,0.57.無理數(shù)有0.1010010001….

3

三、課堂練習

(一)隨堂練習

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

.]

0.4583,3.7,--7,——,18.

7

解:有理數(shù)有0.4583,3.7,18.無理數(shù)有一兀

7

(二)補充練習

投影片(§2.1.2A)

推斷題

(1)有理數(shù)和無理數(shù)的差都是有理數(shù).

(2)無限小數(shù)都是無理數(shù).

(3)無理數(shù)都是無限小數(shù).

(4)兩個無理數(shù)的和不確定是無理數(shù).

解：⑴錯.例是無理數(shù).

(2)錯.例七是有理數(shù).

(3)對.因為無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無限小數(shù).

(4)對.因為兩個符號相反的無理數(shù)之和是有理數(shù).例l乃二0.

投影片(§2.1.2B)

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

0.351,3.14159,一5.2323332…，123456789101112…（由相繼的正整

數(shù)組成）.

解：有理數(shù)有0.35L3.14159,

無理數(shù)有一5.2323332…,123456789101112-.

無理數(shù)集合填一開，--0.323323332….

2

四、課時小結(jié)

本節(jié)課我們學習了以下內(nèi)容.

1.用計算器進行無理數(shù)的估算.

2.無理數(shù)的定義.

3.推斷一個數(shù)是無理數(shù)或有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.2平方根(一)

教學目標:

1、了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根。

2、會求一個正數(shù)的算術(shù)平方根。

3、了解算術(shù)平方根的性質(zhì)。

教學重點：算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)，會用根號表示一個正數(shù)的算術(shù)平方根。

教學難點：算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)。

教學過程：

一、問題引入

1.老師活動：回顧上節(jié)課的拼圖活動及探究無理數(shù)的

過程，提出問題：面積為13的正方形的邊長原委是多

少？

學生活動:

(1)完成課本P32的填空:

a22,

c22e2,f2

(2)a,b,c,d,e,f中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？你能表示它們嗎？

2.師生互動

集體溝通后，說明無理數(shù)也須耍一種表示方法。

二、講授新課：

算術(shù)平方根的概念：一般地，假如一個正數(shù)x的平方等于即那么，這

個正數(shù)工就叫做。的算術(shù)平方根。記為：讀做根號。。特殊地，0的算術(shù)平

方根是0。

那么/=2,則a=&b-3,則代；……

這樣的話，一個非負數(shù)的算術(shù)平方根就可以表示為右。

例1分別寫出下列各數(shù)的算術(shù)平方根

4

81,—,0.09,1,23,-5,0

25

（要求一個數(shù)的算術(shù)平方根，一般的方法是先按平方的概念來找哪個數(shù)的平方

等于這個數(shù)。）

例2自由下落物體的高度h（米）和下落時間工（秒）的關(guān)系為4.9t2.有一鐵球從

19.6米高的建筑物上自由下落，到達地面須要多長時間？

學生活動：一個同學在黑板上板演，其他同學在練習本上做，然后溝通。

師生互動：完成引例中的爐=13,則］=713,以后我們可以利用計算器求出這

個數(shù)的近似值。

三、隨堂練習：P391

四、小結(jié)：

（1）內(nèi)容總結(jié)：

①算術(shù)平方根的定義、表示；

②右的雙重非負性。

（2）方法歸納：

轉(zhuǎn)化的數(shù)學方法：即將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟識的問題解決。

五、作業(yè)：

P40習題2.312

§2.2平方根（二）

教學目標：

1、了解平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根。

2、會求一個正數(shù)的平方根。

3、了解平方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)。

4、了解乘方和開方是互逆運算，會利用這個互逆運算求某些非負數(shù)的算術(shù)

平方根和平方根。

教學重點：了解平方根和開平方的概念、性質(zhì)，會用根號表示一個正數(shù)的算術(shù)平

方根和平方根。

教學難點：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)分。負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平

方運算。

教學過程：

一、復習提問

1、算術(shù)平方根的概念，任何一個有理數(shù)都有算術(shù)平方根嗎？算術(shù)平方根有什

么性質(zhì)。

2、9的算術(shù)平方根是,3的平方是,

還有其他的數(shù)的平方是9嗎？

二、講授新課：

1.想一想

平方等于巴的數(shù)有幾個？平方等于0.64的數(shù)呢？

25

學生活動：學生思索，然后溝通，得出平方根的定義。

2.老師活動：

一般地，假如一個數(shù)x的平方等于。，即/=〃，那么，這個數(shù)x就叫做。的平

方根。也叫做二次方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有兩個3和一3；9的算術(shù)平方根只有一

個，是3。

3.學生活動：

求出下列各數(shù)的平方根。

4

16,0,—，—23,

9

三、議一議：

（1）一個正數(shù)的有幾個平方根？

（2）0有幾個平方根？

（3）負數(shù)呢？

★老師活動：

一個正數(shù)有兩個平方根，0只有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根。

☆學生活動：

正數(shù)的兩個平方根有什么關(guān)系嗎？

探討，溝通得出：

一個正數(shù)〃有兩個平方根，一個是，的算術(shù)平方根，“右”，另一個是“-6”，

它們互為相反數(shù)。這兩個平方根合起來，可以記做“土，？'，讀作"正、負根號

開平方：求一個數(shù)。的平方根的運算，叫做開平方。其中。叫做被開方數(shù)。（已

知指數(shù)和轅，求底數(shù)的運算是開方運算）

★老師活動

開平方和平方互為逆運算，我們可以利用平方運算來求平方根。

四、例題精析：

例1求下列各數(shù)的平方根：

、49、

(1)64,(2)―,(3)0.0004,

121

(4)(-25)、⑸“

留意書寫格式。

五、隨堂練習：P361、2

例2若-+4()2=4已求不；

★老師活動：

通過例2,要學生進一步明白平方根和算術(shù)平方根在應(yīng)用上的區(qū)分。

六、想一想

⑴(瘋尸等于多少等于多少?

(2)(、/7攵丫等于多少?

⑶對于正數(shù)等于多少?

師生互動，探討溝通得出：(&)2=。(。20)

七、小結(jié)：

1.平方根的定義、表示方法、求法、性質(zhì)。平方根和算術(shù)平方根的區(qū)分和聯(lián)系。

2.使學生學到由特殊到一般的歸納法。

八、作業(yè)：

P36習題2.4和試一試P533

§2.3立方根

教學目標

1.使學生了解一個數(shù)的立方根概念，并會用根號表示一個數(shù)的立方根；

2.理解開立方的概念；

3.明確立方根個數(shù)的性質(zhì)，分清一個數(shù)的立方根和平方根的區(qū)分.

教學重點和難點

重點：立方根的概念及求法.

難點：立方根和平方根的區(qū)分.

教學過程設(shè)計

一、復習：請同學回答下列問題：

(1)什么叫一個數(shù)a的平方根?如何用符號表示數(shù)a(20)的平方根？

(2)正數(shù)有幾個平方根?它們之間的關(guān)系是什?么？負數(shù)有沒有平方根。0平方根

是什么？

(3)當a20時，式子a,—a,±a,的意義各是什么？

答：(1)假如一個數(shù)x的平方等于a,即x2,那么x叫做a的平方根，表示為

±a.

(2)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，負數(shù)沒有平方根，0的平方根是0.

(3)a>0,a表示a的算術(shù)平方根，一a表示a的負平方根，±a表示a的平

方根.

二、引入新課

1.計算下列各題：

(1)0.13；(2)(UR(3)0\

答：⑴O./R.G01；(2)(-23)3=-S27；(3)0=0.

指出：上面各題是已知底數(shù)和乘方指數(shù)求三次幕的運算，也叫乘方運算.

怎樣求下列括號內(nèi)的數(shù)?各題中已知什么？求什么？

(1)()3=18;(2)()3=-27125;(3)()3=0.

答：已知乘方指數(shù)和3次幕，求底數(shù)，也就是“已知某數(shù)的立方，求某數(shù)”.

設(shè)某數(shù)為x,則(1)式為1=18,求x；(2)式為/二一27125,求x；(3)

式為x3=0求Xo

2.立方根的概念.

一般地，假如一個數(shù)的立方等于a,這個數(shù)就叫做a的立方根(也叫做三次方

根).

用式子表示，就是，假如那么x叫做a的立方根.數(shù)a的立方根用符號

y表示，讀作“三次根號a,其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù).(留意：根指

數(shù)3不能省略).

3.開立方.

求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.開立方和立方也是互為逆運算，因此

求一個數(shù)的立方根可以通過立方運算來求.

三、講解例題：

例1求下列各數(shù)的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一個數(shù)的立方根，我們可以通過立方運算來求.

解(1)因為2三8,所以8的立方根是2,即我=2.

問：除2以外，還有什么數(shù)的立方等于8?也就是說，正數(shù)8還有別的立方根

嗎？

答：除2以外，沒有其它的數(shù)的立方等于8,也就是說，正數(shù)8的立方根只

有一個.

(2)因為(-2兄=8,所以一8的立方根是一2即"二一2

問：除一2以外，還有什么數(shù)的立方等于8?,也就是說，負數(shù)一8還有別的

立方根嗎？

答：除一2以外，沒有其他的數(shù)的立方等于一8,也就是說，一8的立方根只

有1個.

⑶因為0.53=0.125,所以0,125的立方根是0.5,即V0.125=0.5.

(4)因為(一”33二一2部7，所以一27125的立方根是一35,即二一：3?

JA乙JJ

(5)因為O、。，所以0的立方根是0,即如二0.

問：一個正數(shù)有幾個立方根?一個負數(shù)有幾個立方根?零的立方根是什么？

答：正數(shù)有一個正的立方根；負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根照舊是零.

指出：立方根的個數(shù)的性質(zhì)可以概括為立方根的唯一性，即一個數(shù)的立方根

是唯一的.

例2求下列各式的值：

(1)V27；(2)V^64；(3).

解(1)327=3：(2)V^64=-4：

四、隨堂練習

1.推斷題：

(1)4的平方根是2；()(2)8的立方根是2；()

(3)—0.064的立方根是一0.4；((4)127的立方根是±13()

(5)一1的平方根是±4；()；(6)—12是144的平方根.()

10

2.選擇題：

(1)數(shù)0.000125的立方根是().

A.0.5B.±0.5C.0.05D.0.005

⑵下列推斷中錯誤的是()

A.一個數(shù)的立方根和這個數(shù)的乘積為非負數(shù)

B.一個數(shù)的兩個平方根之積負數(shù)

C.一個數(shù)的立方根未必小于這個數(shù)

D.零的平方根等于零的立方根

3.求下列各數(shù)的立方根：

⑴27；(2)—38；(3)1；(4)0.

4.求下列各式的值：

(1)100；(2)Viooo；(3)；(4)；(5)VT；

五、小結(jié)

請思索下面的問題：

1.什2叫一個數(shù)的立方根?怎樣用符號表示數(shù)a的立方根的取值范圍是什么？

2.數(shù)的立方根和數(shù)的平方根有什么區(qū)分？

答：1.假如一個數(shù)的立方等于a,這個數(shù)就叫做a的立方根，用符號3a表示,

a為隨意數(shù).

2.正數(shù)只有一個正的立方根，但有兩個互為相反數(shù)的平方根；負數(shù)有一個負

的立

方根，但沒有平方根.

3.求一個數(shù)的立方根，可以通過立方運算來求.

六、作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.4估算

教學目標

(一)教學學問點

1.能通過估算檢驗計算結(jié)果的合理性，能估計一個無理數(shù)的大致范圍，并能

通過估算比較兩個數(shù)的大小.

2.駕馭估算的方法，形成估算的意識，發(fā)展學生的數(shù)感.

(二)實力訓練要求

1.能估計一個無理數(shù)的大致范圍，培育學生估算的意識.

2.讓學生駕馭估算的方法，訓練他們的估算實力.

教學重點

1.讓學生理解估算的意義，發(fā)展學生的數(shù)感.

2.駕馭估算的方法，提高學生的估算實力.

教學難點

駕馭估算的方法，并能通過估算比較兩個數(shù)的大小.

教學過程

一.導入新課

同學們，請大家說出咱們班男生和女生的平均身高,你又是怎樣得出結(jié)果的

呢？

（我猜的.）

“猜”字的意思就是依據(jù)自己的推斷而估計得出的結(jié)果，它并不是精確值，

但也不是無中生有，是有確定的理論依據(jù)的，本節(jié)課我們就來學習有關(guān)估算的方

法.

二.講授新課

問題：某地開拓了一塊長方形的荒地，新建一個以環(huán)保為主題的公園，已知這塊

荒地的長是寬的2倍，它的面積為400000米；

（1）公園的寬大約是多少？它有1000米嗎？

⑵假如要求誤差小于10米，它的寬大約是多少？

（3）該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是米2,你能估計它的半徑嗎？（誤

差小于1米）

提示：要想知道公園的寬大約是多少，首先應(yīng)依據(jù)已知條件求出已知量和未知

量的關(guān)系式，那么它們之間有怎樣的聯(lián)系呢？

（因為已知長方形的長是寬的2倍，且它的面積為40000米之，依據(jù)面積公式

就能找到它們的關(guān)系式.可設(shè)公園的寬為X米，則公園的長為2x米，由面積公式

得：

2A400000J*=200000。所以公園的寬x就是面積200000的算術(shù)平

方根).

在估算時我們首先要大致確定數(shù)的范圍，因此有必要做一些打算JJ乍.請大家

先計算出20以內(nèi)正整數(shù)的平方和10以內(nèi)正整數(shù)的立方.并加以記憶，對我們的估

算很有幫助.

12=1；2M；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；

12^144；132=169；142二196；15-225；16^256；17?=289；182=324；192=381；20M00.

13=1；2，=8；33=27；4巳64；53=125；63=216；7~343；83=512；93=729；103=1000.

下面我們可以進行估算，請同學們分組探討而后回答.

(1)公園的寬沒有1000米，因為1000的平方是1000000,而200000小于

1000000,所以它沒有1000米寬.

大家能不能詳細確定一下公園的寬是幾位數(shù)呢？

因為100的平方是10000,1000的平方是1000000,而200000大于10000小

于1000000,所以公園的寬比100大而比1000小，是三位數(shù).

大家在估算時就可用這樣的方法大致估算一下是幾位數(shù)，這樣使范圍縮小，

為下一步的估算作打算由此看來公園的寬大約是幾百米，下面請大家接著探討做