2025高考數(shù)學(xué)壓軸專(zhuān)項(xiàng)題型專(zhuān)題9利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題含答案及解析

專(zhuān)題9利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題一、考情分析與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問(wèn)題,在高考中常以解答題形式考查,且難度較大,它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識(shí),因而備受命題者青睞.解題時(shí)要緊緊抓住圓錐曲線的定義與性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用,其中把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值與值域是最常用的方法之一．二、解題秘籍(一)利用函數(shù)思想最值與范圍問(wèn)題求解方法與策略1.解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍．2.利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值或范圍,首先要把待求量用某個(gè)（些）量來(lái)表示,然后把待求量看作關(guān)于這個(gè)量的函數(shù),再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求最值與范圍,其中利用二次函數(shù)配方求最值是最常用的方法,有時(shí)也可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.【例1】（2023屆四川省成都市高三上學(xué)期10月月考）已知點(diǎn)是拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線,記切點(diǎn)分別為,求面積的最大值.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為,即,橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為,所以,,所以橢圓方程為.（2）拋物線的方程為,即,對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得,設(shè)點(diǎn),,,直線的方程為,即,即,同理可知,直線的方程為,由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn),則,所以點(diǎn),的坐標(biāo)滿足方程,所以直線的方程為,聯(lián)立,可得,由韋達(dá)定理可得,,所以,點(diǎn)到直線的距離為,所以,因?yàn)?由已知可得,所以當(dāng)時(shí),面積的最大值為.【例2】（2023屆新高考高中畢業(yè)班“啟航”適應(yīng)性練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線M：．P,Q,R為M上相異的三點(diǎn),且,與負(fù)半軸交于點(diǎn)A,RQ,PQ分別與正半軸交于點(diǎn)B,C,記點(diǎn)．(1)證明：；(2)若B為M的焦點(diǎn),當(dāng)最大時(shí),求的值．【解析】（1）證明：因?yàn)?所以直線OP和OQ斜率之積為－1,設(shè)PQ：,且,,聯(lián)立,得,且恒成立,所以,,記直線OP、OQ的斜率分別為,,所以,即,所以,設(shè)：,且,聯(lián)立,得,且恒成立,得,同理設(shè)：,得,所以,即；（2）因?yàn)锽為M的焦點(diǎn),所以,且,,,又,不妨設(shè),,則,記,,則,,令,則,且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且在上單調(diào)遞增,所以當(dāng),即時(shí),最大,最大．(二)利用距離公式把距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值與距離或線段長(zhǎng)度有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題通常是把相關(guān)距離或線段長(zhǎng)度利用距離公式表示成一個(gè)變量的函數(shù),若被開(kāi)放式為二次函數(shù)類(lèi)型,可通過(guò)配方求最值與范圍.【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,求的最大值.【解析】（1）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),其離心率為．,,,,故橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí),M與O重合,不合題意,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè),,,則有,,直線的斜率為,,兩點(diǎn)在橢圓上,有,,兩式相減,,即,得,化簡(jiǎn)得,,∴當(dāng)時(shí),的最大值為(三)把面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題求解的基本思路通常是把面積用另一個(gè)量（如點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),直線的斜率等）,把求面積最值與范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或值域,若函數(shù)式可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類(lèi)型,可利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【例4】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上,右頂點(diǎn)為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得,,解得,所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號(hào),所以直線不垂直于軸,故可設(shè),由可得,,所以,,而,即,化簡(jiǎn)可得,,化簡(jiǎn)得,所以或,所以直線或,因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).設(shè)定點(diǎn),因?yàn)?所以,設(shè),所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即面積的最大值為.(四)與斜率有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題與斜率有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題的思路一是設(shè)出動(dòng)點(diǎn).是利用斜率定義表示出斜率,然后利用函數(shù)知識(shí)求解,二是設(shè)出直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系或題中條件整理關(guān)于斜率的等式,再利用函數(shù)思想求解.【例5】已知橢圓,過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,且兩切線垂直.(1)求；(2)已知點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（不與重合）,求直線斜率的取值范圍.【解析】（1）由題可知,切線斜率存在,則設(shè)切線,聯(lián)立得,即,相切得：,即,所以由兩切線垂直得：（2）由（1）得,橢圓方程為由題可知,直線的斜率存在,設(shè),聯(lián)立得設(shè),由韋達(dá)定理得：由題意為直徑的圓過(guò)點(diǎn),①又代入①式得：或（舍去）,所以過(guò)定點(diǎn),,隨的增大而增大,,即直線斜率范圍(五)通過(guò)換元把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題通常是所得結(jié)果比較復(fù)雜,通過(guò)換元把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.【例6】已知橢圓C：的離心率為,,分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),過(guò)且與x軸垂直的直線與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于不同于右頂點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn),且,求的最大值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為,所以①．將代入,得,所以,則,即②．由①②及,得,,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知,直線l的斜率不為0,則不妨設(shè)直線l的方程為．聯(lián)立得消去x得,,化簡(jiǎn)整理,得．設(shè),,則,．因?yàn)?所以．因?yàn)?所以,,得,將,代入上式,得,得,解得或（舍去）,所以直線l的方程為,則直線l恒過(guò)點(diǎn),所以．設(shè),則,,易知在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,為．又,所以．(六)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題后再借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍該類(lèi)問(wèn)題通常是所得函數(shù)為分式函數(shù)或高次函數(shù),又不具備使用均值不等式的條件,只能借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍.【例7】（2023屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次檢測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形為菱形,它的邊長(zhǎng)為,面積為,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)（M,N兩點(diǎn)不在x軸上）,直線l的方程為：,過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線l交于點(diǎn)E．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的最大值．【解析】（1）由題意可得：,解得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）可得：,即由題意可設(shè)直線,則聯(lián)立方程,消去x可得：∴,則∴直線的斜率,則直線的方程為令,則可得即直線過(guò)定點(diǎn)∴面積為令,則令,則當(dāng)時(shí)恒成立∴在單調(diào)遞減,則,即∴面積的最大值為(七)利用橢圓的參數(shù)方程把把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值與范圍此類(lèi)問(wèn)題通常是把橢圓上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)為,再利用輔助角公式及弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求最值與范圍.【例8】已知橢圓過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓C的左頂點(diǎn)A與y的負(fù)半軸交于點(diǎn)E,連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓的上頂點(diǎn)B,與x的正半軸交于點(diǎn)F,記四邊形的面積為,的面積為,,求的取值范圍．【解析】（1）依題意,得,故C的方程為．（2）依題意,,設(shè),則,所以直線,令,則．直線,令．則,又易知,所以四邊形的面積．由題意可知的直線方程為,再設(shè)橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù),則動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離,,化簡(jiǎn)得．∵,∴,的面積,∴．∵,∴,即．三、跟蹤檢測(cè)1.（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知雙曲線E：（,）一個(gè)頂點(diǎn)為,直線l過(guò)點(diǎn)交雙曲線右支于M,N兩點(diǎn),記,,的面積分別為S,,.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),的值為.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若l交y軸于點(diǎn)P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2．（2023屆陜西省咸陽(yáng)市武功縣高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),的最大面積為,.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),、為橢圓上兩點(diǎn),且,求的最大值.3．已知橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求面積最大時(shí)直線的方程．4．如圖所示,、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,與橢圓交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.5．已知橢圓的離心率為,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,直線交橢圓于兩點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,已知.①求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為,求的最大值.6．（2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期測(cè)試）已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線、與直線分別交于點(diǎn)、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.7．（2022屆上海市行知中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知曲線上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為,過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn),．(1)求曲線的方程；(2)動(dòng)弦滿足：,求點(diǎn)的軌跡方程；(3)求的取值范圍．8．（2023屆河南省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓的離心率為,左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,直線且交橢圓于P,Q,求的面積最大時(shí),l的方程.9．已知一條動(dòng)直線,直線l過(guò)動(dòng)直線的定點(diǎn)P,且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長(zhǎng)為12；②△AOB的面積為6．若存在,求出直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求直線l的方程．10．如圖,已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F的右側(cè),記,的面積分別為,．(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)A點(diǎn)縱坐標(biāo)為,求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(3)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．11.（2022屆河南省中原頂級(jí)名校高三上學(xué)期1月聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為1時(shí),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖,若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,求四邊形的面積的最大值.12.（2022屆浙江省紹興市高三上學(xué)期12月月考）已知拋物線的焦點(diǎn)是,如圖,過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別是和,線段的中點(diǎn)為．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線軸；（3）以線段為直徑作圓,交直線于,求的取值范圍．13．（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期綜合測(cè)試）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的最大值.14．（2022屆貴州省遵義市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為和,且,,,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線和與直線分別交于G和H兩點(diǎn),設(shè)直線和的斜率分別為和,若線段GH的長(zhǎng)度小于,求的最大值.

專(zhuān)題9利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題一、考情分析與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問(wèn)題,在高考中常以解答題形式考查,且難度較大,它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識(shí),因而備受命題者青睞.解題時(shí)要緊緊抓住圓錐曲線的定義與性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用,其中把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值與值域是最常用的方法之一．二、解題秘籍(一)利用函數(shù)思想最值與范圍問(wèn)題求解方法與策略1.解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍．2.利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值或范圍,首先要把待求量用某個(gè)（些）量來(lái)表示,然后把待求量看作關(guān)于這個(gè)量的函數(shù),再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求最值與范圍,其中利用二次函數(shù)配方求最值是最常用的方法,有時(shí)也可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.【例1】（2023屆四川省成都市高三上學(xué)期10月月考）已知點(diǎn)是拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線,記切點(diǎn)分別為,求面積的最大值.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為,即,橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為,所以,,所以橢圓方程為.（2）拋物線的方程為,即,對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得,設(shè)點(diǎn),,,直線的方程為,即,即,同理可知,直線的方程為,由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn),則,所以點(diǎn),的坐標(biāo)滿足方程,所以直線的方程為,聯(lián)立,可得,由韋達(dá)定理可得,,所以,點(diǎn)到直線的距離為,所以,因?yàn)?由已知可得,所以當(dāng)時(shí),面積的最大值為.【例2】（2023屆新高考高中畢業(yè)班“啟航”適應(yīng)性練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線M：．P,Q,R為M上相異的三點(diǎn),且,與負(fù)半軸交于點(diǎn)A,RQ,PQ分別與正半軸交于點(diǎn)B,C,記點(diǎn)．(1)證明：；(2)若B為M的焦點(diǎn),當(dāng)最大時(shí),求的值．【解析】（1）證明：因?yàn)?所以直線OP和OQ斜率之積為－1,設(shè)PQ：,且,,聯(lián)立,得,且恒成立,所以,,記直線OP、OQ的斜率分別為,,所以,即,所以,設(shè)：,且,聯(lián)立,得,且恒成立,得,同理設(shè)：,得,所以,即；（2）因?yàn)锽為M的焦點(diǎn),所以,且,,,又,不妨設(shè),,則,記,,則,,令,則,且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且在上單調(diào)遞增,所以當(dāng),即時(shí),最大,最大．(二)利用距離公式把距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值與距離或線段長(zhǎng)度有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題通常是把相關(guān)距離或線段長(zhǎng)度利用距離公式表示成一個(gè)變量的函數(shù),若被開(kāi)放式為二次函數(shù)類(lèi)型,可通過(guò)配方求最值與范圍.【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,求的最大值.【解析】（1）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),其離心率為．,,,,故橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí),M與O重合,不合題意,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè),,,則有,,直線的斜率為,,兩點(diǎn)在橢圓上,有,,兩式相減,,即,得,化簡(jiǎn)得,,∴當(dāng)時(shí),的最大值為(三)把面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題求解的基本思路通常是把面積用另一個(gè)量（如點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),直線的斜率等）,把求面積最值與范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或值域,若函數(shù)式可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類(lèi)型,可利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【例4】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上,右頂點(diǎn)為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得,,解得,所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號(hào),所以直線不垂直于軸,故可設(shè),由可得,,所以,,而,即,化簡(jiǎn)可得,,化簡(jiǎn)得,所以或,所以直線或,因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).設(shè)定點(diǎn),因?yàn)?所以,設(shè),所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即面積的最大值為.(四)與斜率有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題與斜率有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題的思路一是設(shè)出動(dòng)點(diǎn).是利用斜率定義表示出斜率,然后利用函數(shù)知識(shí)求解,二是設(shè)出直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系或題中條件整理關(guān)于斜率的等式,再利用函數(shù)思想求解.【例5】已知橢圓,過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,且兩切線垂直.(1)求；(2)已知點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（不與重合）,求直線斜率的取值范圍.【解析】（1）由題可知,切線斜率存在,則設(shè)切線,聯(lián)立得,即,相切得：,即,所以由兩切線垂直得：（2）由（1）得,橢圓方程為由題可知,直線的斜率存在,設(shè),聯(lián)立得設(shè),由韋達(dá)定理得：由題意為直徑的圓過(guò)點(diǎn),①又代入①式得：或（舍去）,所以過(guò)定點(diǎn),,隨的增大而增大,,即直線斜率范圍(五)通過(guò)換元把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題通常是所得結(jié)果比較復(fù)雜,通過(guò)換元把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.【例6】已知橢圓C：的離心率為,,分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),過(guò)且與x軸垂直的直線與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于不同于右頂點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn),且,求的最大值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為,所以①．將代入,得,所以,則,即②．由①②及,得,,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知,直線l的斜率不為0,則不妨設(shè)直線l的方程為．聯(lián)立得消去x得,,化簡(jiǎn)整理,得．設(shè),,則,．因?yàn)?所以．因?yàn)?所以,,得,將,代入上式,得,得,解得或（舍去）,所以直線l的方程為,則直線l恒過(guò)點(diǎn),所以．設(shè),則,,易知在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,為．又,所以．(六)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題后再借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍該類(lèi)問(wèn)題通常是所得函數(shù)為分式函數(shù)或高次函數(shù),又不具備使用均值不等式的條件,只能借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍.【例7】（2023屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次檢測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形為菱形,它的邊長(zhǎng)為,面積為,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)（M,N兩點(diǎn)不在x軸上）,直線l的方程為：,過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線l交于點(diǎn)E．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的最大值．【解析】（1）由題意可得：,解得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）可得：,即由題意可設(shè)直線,則聯(lián)立方程,消去x可得：∴,則∴直線的斜率,則直線的方程為令,則可得即直線過(guò)定點(diǎn)∴面積為令,則令,則當(dāng)時(shí)恒成立∴在單調(diào)遞減,則,即∴面積的最大值為(七)利用橢圓的參數(shù)方程把把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值與范圍此類(lèi)問(wèn)題通常是把橢圓上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)為,再利用輔助角公式及弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求最值與范圍.【例8】已知橢圓過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓C的左頂點(diǎn)A與y的負(fù)半軸交于點(diǎn)E,連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓的上頂點(diǎn)B,與x的正半軸交于點(diǎn)F,記四邊形的面積為,的面積為,,求的取值范圍．【解析】（1）依題意,得,故C的方程為．（2）依題意,,設(shè),則,所以直線,令,則．直線,令．則,又易知,所以四邊形的面積．由題意可知的直線方程為,再設(shè)橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù),則動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離,,化簡(jiǎn)得．∵,∴,的面積,∴．∵,∴,即．三、跟蹤檢測(cè)1.（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知雙曲線E：（,）一個(gè)頂點(diǎn)為,直線l過(guò)點(diǎn)交雙曲線右支于M,N兩點(diǎn),記,,的面積分別為S,,.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),的值為.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若l交y軸于點(diǎn)P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）由題意得,,則當(dāng)l與x軸垂直時(shí),不妨設(shè),由,得,將代入方程,得,解得,所以雙曲線E的方程為．（2）設(shè),,,由與,得,即,,將代入E的方程得：,整理得：①,同理由可得②．由①②知,,是方程的兩個(gè)不等實(shí)根．由韋達(dá)定理知,所以為定值．（3）又,即,整理得：,又,不妨設(shè),則,整理得,又,故,而由（2）知,,故,代入,令,得,由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增,得,所以m的取值范圍為．.2．（2023屆陜西省咸陽(yáng)市武功縣高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),的最大面積為,.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),、為橢圓上兩點(diǎn),且,求的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為,,,的最大面積為,,,,橢圓的方程為；（2）由題知,設(shè)直線的方程為,,,聯(lián)立,消去并整理得：,∴,得,,,∴,設(shè),,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),,故.3．已知橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求面積最大時(shí)直線的方程．【解析】（1）由題意得：,且,解得：,所以,所以橢圓方程為；（2）聯(lián)立與橢圓方程可得：,由,解得：；設(shè),則,,由弦長(zhǎng)公式可得：,點(diǎn)到直線的距離為,則的面積為,其中,令,,則,由于,所以,,令得：,令得：,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,也是最大值,,所以當(dāng)時(shí),面積取得最大值,此時(shí)直線的方程為．4．如圖所示,、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,與橢圓交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.【解析】（1）由已知可得：,解得：,,∴橢圓的方程為：.（2）∵,設(shè)的直線方程為：,,,聯(lián)立方程：,整理得：,∴,,∵,,,即,,,,整理得,解得或（舍去）,∴,,∴,令,則,由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)最大值為.5．已知橢圓的離心率為,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,直線交橢圓于兩點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,已知.①求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為,求的最大值.【解析】（1）由題意,解得,所以橢圓C的方程為．（2）①依題意,設(shè),若直線的斜率為0則P,Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),必有,不合題意．所以直線斜率必不為0,設(shè)其方程為,與橢圓C聯(lián)立,整理得：,所以,且因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn),即,所以,則,即因?yàn)?所以,此時(shí),故直線恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)．②由①得：,所以,而,當(dāng)時(shí)的最大值為．6．（2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期測(cè)試）已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線、與直線分別交于點(diǎn)、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）,由題意,得,解得,,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得,設(shè),,,聯(lián)立,得,即,則,,直線,的方程分別為,,令,則,,則,,所以因?yàn)?所以,,即的取值范圍為.7．（2022屆上海市行知中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知曲線上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為,過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn),．(1)求曲線的方程；(2)動(dòng)弦滿足：,求點(diǎn)的軌跡方程；(3)求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為,所以曲線是以,為焦點(diǎn)的橢圓,,,所以,,所以曲線的方程為；（2）因?yàn)?所以為中點(diǎn),設(shè),當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí),將,代入橢圓方程中得：兩式相減得,故故得,所以,所以,整理得；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗(yàn)?時(shí),或,出滿足；所以點(diǎn)的軌跡方程是；（3）,其中,,分別為點(diǎn)到直線：的距離,因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為,設(shè),,則可設(shè),所以,其中,所以．8．（2023屆河南省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓的離心率為,左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,直線且交橢圓于P,Q,求的面積最大時(shí),l的方程.【解析】（1）由題意得,化簡(jiǎn)得,則.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得,故,即,所以,故橢圓C的方程為.（2）由（1）得,設(shè),l的方程為,代入橢圓方程,整理得,則,,解得且.故,點(diǎn)到直線l的距離為,則.令,則.當(dāng)t變化時(shí),的變化情況如下表：t+-+-比較與知,當(dāng)時(shí),面積取最大,此時(shí),l的方程為.9．已知一條動(dòng)直線,直線l過(guò)動(dòng)直線的定點(diǎn)P,且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長(zhǎng)為12；②△AOB的面積為6．若存在,求出直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求直線l的方程．【解析】（1）,即,由,解得,故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)．設(shè)直線l的方程為,將代入得．①由A（a,0）,B（0,b）,△AOB的周長(zhǎng)為12,面積為6,得,令a＋b＝t,則,所以,即,化簡(jiǎn)得24t＝168,解得t＝7,所以有,解得或．其中不滿足①,滿足①．所以存在直線l的方程為,即3x＋4y－12＝0滿足條件．（2）由（1）可知直線l過(guò)定點(diǎn),直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),所以直線l的傾斜角,所以,,所以,②令,因?yàn)?所以,所以,所以．則,因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù),所以在上為增函數(shù),故當(dāng),即時(shí),取得最小值．此時(shí)直線l的方程為,即3x＋3y－10＝0．10．如圖,已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F的右側(cè),記,的面積分別為,．(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)A點(diǎn)縱坐標(biāo)為,求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(3)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),所以,即,準(zhǔn)線方程.