題型07 3類導(dǎo)數(shù)綜合問題解題技巧（端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）、函數(shù)的凹凸性、洛必達(dá)法則）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型073類導(dǎo)數(shù)綜合問題解題技巧（端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）、函數(shù)的凹凸性、洛必達(dá)法則）技法01技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧技法02函數(shù)凹凸性解題技巧技法03洛必達(dá)法則解題技巧技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見的方法有:導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見的方法有:①分離參數(shù)（全分離或半分離）＋函數(shù)最值;②直接（或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化）求導(dǎo)＋分類討論.但以上兩種方法都有缺陷，首先對(duì)于方法①可能會(huì)出現(xiàn)參數(shù)分離困難或是無法分離，抑或函數(shù)最值點(diǎn)無法取到，即無定義，這時(shí)就需要用到超綱的方法：洛必達(dá)法則。其次，對(duì)于方法②直接分類討論可能會(huì)出現(xiàn)在某些區(qū)間無法討論下去，或是無法排除原問題在該區(qū)間是否恒成立，即討論界點(diǎn)不明。基于以上兩點(diǎn)，我們今天這講就來解決這兩個(gè)不足之處，基本對(duì)策就是先必要后充分的思想。該思想就是當(dāng)參變分離較為困難、帶參討論界點(diǎn)不明時(shí)，含參不等式問題還可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些關(guān)鍵點(diǎn)（區(qū)間端點(diǎn)，可使不等式部分等于零的特殊值等），將關(guān)鍵點(diǎn)代入不等式解出參數(shù)的范圍，獲得結(jié)論成立的必要條件，再論證充分性，從而解決問題.知識(shí)遷移端點(diǎn)效應(yīng)的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或,則或.例1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【法一】端點(diǎn)效應(yīng)一令，得，且在上恒成立畫出草圖根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng),需要滿足，而則,令,得當(dāng)時(shí),由于,只需證即可，而含有參數(shù),故可對(duì)進(jìn)行放縮即令,其中，設(shè)，則令，則,故在上遞減,得則,得在上單調(diào)遞增,則，即,滿足成立當(dāng)時(shí)，，故存在,使得在上,所以在上單調(diào)遞增,則,不成立，特上所述:.【法二】【法三】見解析版1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．技法02函數(shù)凹凸性解題技巧函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來,以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來,以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.知識(shí)遷移凹函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.凸函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.例2-1．在中,求的最大值.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù),則即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),取等號(hào).上述例題是三角形中一個(gè)重要的不等式:在中,例2-2（2021·黑龍江模擬）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．因?yàn)椋?，，因?yàn)樵谏蠟椤巴购瘮?shù)”，所以對(duì)于恒成立，可得對(duì)于恒成立，令，則，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以，所以，【答案】C1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.3．（陜西·高考真題）已知函數(shù).(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)k的值;(2)設(shè)x>0,討論曲線y＝f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)設(shè)a<b,比較與的大小,并說明理由.技法03洛必達(dá)法則解題技巧洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說明，能備考使用即可.洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說明，能備考使用即可.知識(shí)遷移洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。例3．（全國(guó)高考）已知恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,在單調(diào)遞增,且所以時(shí),時(shí),即在