初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

第一章《有理數(shù)》總復(fù)習(xí)

一、基本概念

1、正數(shù)和負(fù)數(shù)

①表示大小

②在實(shí)際中表示意義相反的量

③帶“-”號(hào)的數(shù)并不都是負(fù)數(shù)

1.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的概念

正數(shù)負(fù)數(shù)

0叫做零，0既不

象1、2.5、4、

1是正數(shù)也不是負(fù)

48等大于零的數(shù)象T、-2.5,3,數(shù)

叫正數(shù)-48等小于零的數(shù)

叫負(fù)數(shù)

1.對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡(jiǎn)潔的理解為：帶號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“一”號(hào)的數(shù)是負(fù)

數(shù)。

2.引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴(kuò)大為有理數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)的外延也由自然數(shù)擴(kuò)大為整數(shù)，整數(shù)也可

以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)，

3.到現(xiàn)在為止，我們學(xué)過(guò)的數(shù)細(xì)分有五類：正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、0、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，但探討問(wèn)

題時(shí)，通常把有理數(shù)分為三類：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，進(jìn)行探討。

4.通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)；負(fù)整數(shù)

和。統(tǒng)稱為非正整數(shù)。

分?jǐn)?shù)和小數(shù)的區(qū)分:

分?jǐn)?shù)（既約分?jǐn)?shù)）都可表示成小數(shù)，但不是全部的小數(shù)都能表示成分?jǐn)?shù)的。如圓周率不就不

能表示成分?jǐn)?shù)。

5.數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”.

2、數(shù)軸f

原點(diǎn)

①三要用正方向

單位長(zhǎng)度

應(yīng)用

定義二要素

數(shù)形結(jié)合

規(guī)定了原原點(diǎn)幫助理解有理數(shù)的

比較有理數(shù)大

點(diǎn)、正方概念，每個(gè)有理數(shù)

小，數(shù)軸上右

向、單位長(zhǎng)正方向都可用數(shù)軸上的點(diǎn)

邊的數(shù)總比左

度的直線表示，但數(shù)軸上的

邊的數(shù)要大

叫數(shù)軸單位長(zhǎng)度點(diǎn)并非都是有理數(shù)

1.數(shù)軸的概念

（1）規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

這里包含兩個(gè)內(nèi)容：一是數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度缺一不行.二是

這三個(gè)要素都是規(guī)定的.

（2）數(shù)軸能形象地表示數(shù)，全部的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的

數(shù)并不都是有理數(shù).

2.數(shù)軸的畫法

（1）畫直線（一般畫成水平的）、定原點(diǎn)，標(biāo)出原點(diǎn)“0”.

（2）取原點(diǎn)向右方向?yàn)檎较?，并?biāo)出箭頭.

（3）選適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，各點(diǎn)。

（4）標(biāo)注數(shù)字時(shí)，負(fù)數(shù)的次序不能寫錯(cuò)，

3.用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

（1）在數(shù)軸上表示的兩數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）由正、負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)都有大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)

數(shù)。

（3）比較大小時(shí)，用不等號(hào)順次連接三個(gè)數(shù)。

正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

因?yàn)檎龜?shù)都大于0,反過(guò)來(lái)，大于。的數(shù)都是正數(shù)，所以，我們可以用4>0,表示。是正

數(shù)；反之，知道。是正數(shù)也可以表示為。>0O

同理，4<0,表示。是負(fù)數(shù)；反之。是負(fù)數(shù)也可以表示為4<0o

3.正數(shù)軸常見(jiàn)幾種錯(cuò)誤

1）沒(méi)有方向

-3-2-10123

2）沒(méi)有原點(diǎn)

-3-2-1123

3）單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一

742-10123

②數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)

3、相反數(shù)

①只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0

②a的相反數(shù)

③a和b互為相反數(shù)0

相反數(shù)的意義

（1）只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)

（2）從數(shù)軸上看，位于原點(diǎn)兩旁，旦和原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

（3）0的相反數(shù)是0。也只有0的相反數(shù)是它的本身。

（4）相反數(shù)是表示兩個(gè)數(shù)的相互關(guān)系，不能單獨(dú)存在。

相反數(shù)的表示

在一個(gè)數(shù)的前面添上“一”號(hào)就成為原數(shù)的相反數(shù)。若。表示一個(gè)有理數(shù)，則。的相反數(shù)表

示為一no在一個(gè)數(shù)的前面添上“+”號(hào)仍和原數(shù)相聯(lián)系同。例如，+7=7,特殊地，+0=0,-

0=0o

相反數(shù)的特性

若db互為相反數(shù)，則=0,反之若4+6=0,則db互為相反數(shù)。相反數(shù)是它

本身的數(shù)是0

4.多重符號(hào)化簡(jiǎn)

(1)相反數(shù)的意義是筒化多重符號(hào)的依據(jù)。如一(T)是一1的相反數(shù)，而一1的相反數(shù)為

+1,所以o

(2)多重符號(hào)化簡(jiǎn)的結(jié)果是由“一”號(hào)的個(gè)數(shù)確定的。假如“一”號(hào)是奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為

負(fù)；假如是偶然數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正?？珊?jiǎn)寫為“奇負(fù)偶正”。

化簡(jiǎn)一個(gè)數(shù)就是把多重符號(hào)化成單一符號(hào)，若結(jié)果是“+”號(hào)，一般省略不寫。

5、確定值

①一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)和原點(diǎn)距離，表示成|a|。

a(a20)

②Ia|二

(aWO)

1.確定值的代數(shù)定義

一個(gè)正數(shù)的確定值是它本身：一個(gè)仇數(shù)的確定值是它的相反數(shù)：零的確定值是零.

2.確定值的幾何定義

在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的確定值.

3.確定值的主要性質(zhì)

(a；

⑴代數(shù)定義表達(dá)式：lal=(a<0)

(2)一個(gè)實(shí)數(shù)的確定值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即20,因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，確定值最小的數(shù)是零.

⑶任何實(shí)數(shù)都有理一絕對(duì)值,并且任何一個(gè)買數(shù)都不大于它的絕時(shí)值，即K同.

(4)兩個(gè)相反數(shù)的確定值相等.

運(yùn)用確定值比較有理數(shù)的大小

1.兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的比較，因?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：確定值較大的負(fù)數(shù)確定在

確定值較小的負(fù)數(shù)左邊，所以，兩個(gè)負(fù)數(shù)，確定值大的反而小.

比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的方法步驟是：

(1)先分別求出兩個(gè)負(fù)數(shù)的確定值；

(2)比較這兩個(gè)確定值的大小；

(3)依據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，確定值大的反而小”作出正確的推斷.

2.兩個(gè)正數(shù)大小的比較，和小學(xué)學(xué)習(xí)的方法一樣，確定值大的較大.

6、倒數(shù)：

學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)

①乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫作互為倒數(shù)。即：則互為倒數(shù)。

②a的倒數(shù)是,(aWO)

a

③a和b互為倒數(shù)1

關(guān)于倒數(shù)的求法要留意：

(1)求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可.

(2)正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)仍是負(fù)數(shù).

(3)負(fù)倒數(shù)的定義：乘積是一1的兩個(gè)數(shù)互為負(fù)倒數(shù).

(4)0沒(méi)有倒數(shù)

①倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1②確定值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)

③平方等于它本身的數(shù)是0，1④立方等于經(jīng)本身的數(shù)是±1,0

數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

7、乘方

1.求外個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方.

?一］:I--指數(shù)

底數(shù)

乘方的結(jié)果叫做幕，相同的因數(shù)叫做底數(shù)，相同的因數(shù)的個(gè)數(shù)叫做指數(shù).一般地，在中,

。取隨意有理數(shù)，考取正整數(shù).

留意：乘方是一種運(yùn)算，第是乘方運(yùn)算的結(jié)果.1看作是。的理次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作。的

k次累.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，，(片為正整數(shù))；

(2)當(dāng)

（3）當(dāng)。?0時(shí)，（%為正整數(shù)）；

（4）戶?（"）"（勿為正整數(shù)）；

/I，-?！?（勿為正整數(shù)）；

20（月為正整數(shù)，a為有理數(shù)）.

①乘方和暴的區(qū)分.

②（-°y和一?！龅膮^(qū):分.

乘方符號(hào)法則

負(fù)數(shù)的積次賽是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次第是正數(shù)，正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕

都是0

8、科學(xué)記數(shù)法

①把一個(gè)確定值大于10的數(shù)表示成aXIOn（其中IaIV10,n為正整數(shù)）

②指數(shù)n和原數(shù)的整數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系。

9、近似數(shù)和有效數(shù)字

①精確數(shù)、近似數(shù)、精確度

.精確到萬(wàn)位

②精確圖精確到0.001

保留三個(gè)有效數(shù)字

③近似數(shù)的最終一位是什么位，這個(gè)數(shù)就精確到哪位。

④有效數(shù)字

⑤如何求較大數(shù)的近似數(shù)，有兩種方法，一種用單位，一種用科學(xué)記數(shù)法

10、有效數(shù)字：一般地，一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)數(shù)精確到哪一位，這時(shí)，

從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確的數(shù)位止，全部的數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

明確近似數(shù)的有效數(shù)字需留意的兩點(diǎn)：一是從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)起；二是從左邊第一個(gè)不

是零的數(shù)起，到精確的位數(shù)止，全部的數(shù)字，

假如是整數(shù)有效數(shù)字是構(gòu)成整數(shù)的個(gè)數(shù)

假如是小數(shù)，有效數(shù)字是這個(gè)小數(shù)從左邊的第一個(gè)非0的數(shù)字?jǐn)?shù)起到未位為止

二、有理數(shù)的分類

1、按整數(shù)和分?jǐn)?shù)分

■正整數(shù)

（整數(shù)0

負(fù)整數(shù)

有理或

正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù).

負(fù)分?jǐn)?shù)

2、按正負(fù)分

正整數(shù)

正有理率

正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)0

［負(fù)整數(shù)

負(fù)有理收

負(fù)分?jǐn)?shù)

三、有理數(shù)的運(yùn)算

學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)

1有理數(shù)加法法則：

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)，并把確定值相加.

（2）確定值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取確定值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的確定值減去較小

的確定值，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.

（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)

假如是同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，并把確定值相加。假如是異號(hào)兩數(shù)相加，應(yīng)先判別確定值的

人小關(guān)系，假如確定值相等，則和為0;假如確定值不相等，則和的符號(hào)取確定值較人的加數(shù)的

符號(hào)，和的確定值就是較大的確定值和較小的確定值的差。一個(gè)數(shù)和0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

加法交換律：

加法結(jié)合律：（）（）

2有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).a一（—6）

引入相反數(shù)后，加減混合運(yùn)算匕以統(tǒng)一為加法運(yùn)算

—0

學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)

加《法我一成加總就式

加液過(guò)合運(yùn)苴

加法運(yùn)直闞應(yīng)用

學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)

3有理數(shù)乘法法則

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把確定值相乘

任何數(shù)同0相乘，都得0.

方法規(guī)律

先確定積的符號(hào)，再把各個(gè)乘數(shù)的確定值相乘，作為積的確定值

1.有理數(shù)乘法法則，事實(shí)上是一種規(guī)定。行程問(wèn)題是為了了解這種規(guī)定的合理性。

2.兩數(shù)相乘時(shí)，確定符號(hào)的依據(jù)是“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”.確定值相乘也就是小學(xué)學(xué)過(guò)

的算術(shù)乘法.

3.基礎(chǔ)較差的同學(xué)，要留意乘法求積的符號(hào)法則和加法求和的符號(hào)法則的區(qū)分。

4.幾個(gè)數(shù)相乘，假如有一個(gè)因數(shù)為0,那么積就等于0.反之，假如積為0,那么，至少有

一個(gè)因數(shù)為0.

5.小學(xué)學(xué)過(guò)的乘法交換律、結(jié)合律、安排律對(duì)有理數(shù)乘法仍適用，需留意的是這里的字母

a、b、c既可以是正有理數(shù)、0,也可以是負(fù)有理數(shù)。

6.假如因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，一般要將它化為假分?jǐn)?shù)，以便于約分。

乘法交換律：

乘法結(jié)合律：()()

安排律：a()

4有理數(shù)除法法則：1除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

2兩數(shù)相除，同號(hào)得十，異號(hào)得一，并把確定值相加。0除以任何一個(gè)不等于0的

數(shù)，都得0.

有理數(shù)除法有兩種法則。

法則1：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。是把除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)解決問(wèn)題。

法則2是把有理數(shù)除法納入有理數(shù)運(yùn)算的統(tǒng)一程序：一確定符號(hào)；二計(jì)算確定值。

5乘方符號(hào)法則：負(fù)數(shù)的積次嘉是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次嘉是正數(shù)，正數(shù)的任何次累都是正數(shù)，0的

任何正整數(shù)次幕都是0

五種運(yùn)算：

運(yùn)算：力口、減、乘、除、乘方；

運(yùn)算結(jié)果：和、差、積、商、塞;

混合運(yùn)算依次：

①三級(jí)（乘方）二級(jí)（乘除）一級(jí)（加減）;

②同一級(jí)運(yùn)算應(yīng)從左到右進(jìn)行；

③有括號(hào)的先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算；

④能簡(jiǎn)便運(yùn)算的應(yīng)盡量簡(jiǎn)便。

其次章《一元一次方程》總復(fù)習(xí)

一、主要概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：1、必需是等式的形式；2、只含一個(gè)未知數(shù)；3、未知數(shù)的次

數(shù)是1次；4、分母中不含未知數(shù).因此只有同時(shí)滿意以上四個(gè)特點(diǎn)的等式叫一元一次方程.

3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。

二、等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

這兩個(gè)分別是移項(xiàng)和去分母的依據(jù).

三、解一元一次方程的一般步驟及依據(jù)

1、去分母等式的性質(zhì)2

2、去括號(hào)安排律

3、移項(xiàng)等式的性質(zhì)1

4、合并安排律

5、系數(shù)化為1等式的性質(zhì)2

6、驗(yàn)根把根分別代入方程的左右邊看求得的值是否相等

四、解一元一次方程的留意事項(xiàng)

1、分母是小數(shù)時(shí)，依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分母轉(zhuǎn)化為整數(shù)；

2、去分母時(shí)，方程兩邊各項(xiàng)都乘各分母的最小公倍數(shù)，此時(shí)不含分母的項(xiàng)切勿漏乘，分?jǐn)?shù)線相

當(dāng)于括號(hào)，去分母后分子各項(xiàng)應(yīng)加括號(hào)；

3、去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào)；

4、移項(xiàng)時(shí)，切記要變號(hào)，不要丟項(xiàng)，有時(shí)先合并再移項(xiàng)，以免丟項(xiàng)；

5、系數(shù)化為1時(shí)，方程兩邊同乘以系數(shù)的倒數(shù)或同除以系數(shù)，不要弄錯(cuò)符號(hào)；

6、不要生搬硬套解方程的步驟，具體問(wèn)題具體分析，找到最佳解法。

7要留意所求得的解是否為原方程的解.即解完方程后，應(yīng)將所求得的解分別代入方程的左右

兩邊，假如左邊=右邊，說(shuō)明月二求的解是原方程的解；假如左邊W右邊，說(shuō)明求解過(guò)程有錯(cuò)誤,

應(yīng)細(xì)致檢查看是哪一步計(jì)算出了錯(cuò).這一步可以不寫在書(shū)面上，但是不行疏漏.

五、列方程解應(yīng)用題的一般步驟

1、審題

2、設(shè)未數(shù)

3、找相等關(guān)系

4、列方程

5、解方程

6、檢驗(yàn)

7、寫出答案

等式?方程?方程的解

1.等式和方程的區(qū)分

表示相等關(guān)系的式子叫做等式.含有未知數(shù)的等式叫做方程，可見(jiàn)方程必需具備兩個(gè)條件：

一是必需含有未知數(shù)，二是必需是一個(gè)等式.

2.等式性質(zhì)的應(yīng)用

應(yīng)用等式的性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行變形時(shí)，必需留意：（1）強(qiáng)調(diào)一個(gè)“都”字.性質(zhì)1告知我們，

等式兩邊都加上（或減去）同?個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果仍舊是等式；性質(zhì)2也有個(gè)“都”字，要求

對(duì)等式進(jìn)行變形的方式要保持對(duì)等，也就是說(shuō)，變形必需兩邊同時(shí)進(jìn)行.

3.方程的解和解方程

方程是一個(gè)有待于探討的等式，即探討這個(gè)等式中的未知數(shù)取什么確定數(shù)值時(shí)等式才成

立.解方程的任務(wù)就是“確定使方程左右兩邊相等的未知數(shù)所取的數(shù)值”，我們把這個(gè)值叫做方

程的解（一元方程的解又叫做“狼”）.這樣的值可能有一個(gè)或多個(gè)，也可能沒(méi)有，所以方程可

能有一解、多解，也可能無(wú)解.如35=43的解只有一個(gè)x=-8,方程27=5（37）的解就有多數(shù)

個(gè)，而方程23=22則無(wú)解.求方程的解或判定方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方程.利用等式的性質(zhì)，

通過(guò)確定的變形，就可以求出方程的解.

4.方程解的檢驗(yàn)方法

要檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是方程的解，其方法是：將這個(gè)數(shù)代入方程的左邊和右邊，計(jì)算其左、右

兩邊的值，假如左、右兩邊的值相等，那么這個(gè)數(shù)就是方程的解；假如左、右兩邊的值不等，

那么這個(gè)數(shù)就不是方程的解.

第三章《圖形初步相識(shí)》總復(fù)習(xí)

(一)多姿多彩的圖形

一、常見(jiàn)的立體圖形

(1)柱體：

①棱柱：有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是四邊形，并且每?jī)蓚€(gè)相鄰的四邊形的公共邊相互平

行，由這些面圍成的幾何體叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

②圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊圍繞它旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體

叫做圓柱

（2）錐體：

①棱錐:：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體

叫棱錐。如三棱錐、四棱錐、五棱錐等。

②圓錐：以直角三角形一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊圍繞它旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾

何體叫做圓錐。

（3）球體：

半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做球體。

（4）多面體：

圍成棱柱和棱錐的面是平的面，像這樣的立體圖形叫做多面體。

如圖：下列圖形分別為：棱柱（長(zhǎng)方體）、棱錐（三棱錐）、圓柱、球體、圓柱。

溫馨提示：空間想象實(shí)力的培育必需以日常視察為基礎(chǔ)，從不同的方向看立體圖形關(guān)鍵是要分

清晰物體各部分上下左右的關(guān)系。

二、平面圖形：

立體圖形是由平面圖形所圍成的，因此探討立體圖形往往要從平面圖行起先。

圓是由曲線圍成的封閉圖形，由線段圍成的封閉圖形叫做多邊形，它具有兩個(gè)基本性質(zhì)：①由

線段圍成，②是一個(gè)封閉的圖形。按邊數(shù)多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形等。

在多邊形中三角形是最基本的圖形，任何一個(gè)多邊形都可以分割為若干個(gè)三角形，特殊是從〃

邊形的一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身，可以將它分為（〃一2）三角形。

三、立體圖形的畫法一一三視圖法

①視圖的概念：

從正面、上面、左面三個(gè)方向看一物體，然后描繪出三張所看到的圖即視圖，這樣就把立體圖

形轉(zhuǎn)化為了平面圖形。

②正視圖、俯視圖、左視圖的概念：

從正面看到的圖形稱為正視圖；

從上面看到的圖形稱為俯視圖；

從左而看到的圖形稱為左視圖。

③視圖和立體圖形的聯(lián)系：

由立體圖形可以畫出該物體的三視圖，反之，由立體圖形的三視圖可以說(shuō)出立體圖形的形態(tài)。

四、立體圖形的綻開(kāi)圖：

（1）圓柱和圓錐的綻開(kāi)圖：

圓柱的側(cè)面綻開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為圓柱的高和底面周長(zhǎng)，圓錐綻開(kāi)是

一個(gè)扇形。

（2）棱柱和棱錐的綻開(kāi)圖：

棱柱和棱錐都是由平面圍成的多面體，沿它們的某些棱剪開(kāi)，所得到的平面圖形就是它們的平

面綻開(kāi)圖，對(duì)于同一個(gè)立體圖形當(dāng)我們按不同的方式綻開(kāi)式，得到的平面圖形是不同的。

（3）依據(jù)綻開(kāi)圖推斷立體圖形的規(guī)律：

①綻開(kāi)圖全是長(zhǎng)方形或正方形時(shí)，應(yīng)考慮長(zhǎng)方體或正方體；

②綻開(kāi)圖中有圓和長(zhǎng)方形時(shí)一般是圓柱；

③綻開(kāi)圖中有扇形時(shí)應(yīng)考慮是圓錐；

④綻開(kāi)圖中有三角形時(shí)應(yīng)考慮棱錐或棱柱，當(dāng)綻開(kāi)圖中有兩個(gè)三角形和3個(gè)長(zhǎng)方形應(yīng)為三棱柱,

假如全是三角形（4個(gè)）時(shí)應(yīng)為三棱錐。

多姿多彩的圖形導(dǎo)學(xué)

一、立體圖形

我們生活在立體三維世界中，隨時(shí)隨地看到和接觸到的物體都是立體的.有些物體，像石

頭、植物等呈現(xiàn)出極不規(guī)則的奇形怪狀.同時(shí)也有很多物體有較為規(guī)則的形態(tài).我們探討的是

一些具有較為規(guī)則形態(tài)的物體.如柱體、錐體、球體等.

1.常見(jiàn)的立體圖形

日常生活中，我們常見(jiàn)這幾種立體圖形：圓柱、圓錐、正方體、長(zhǎng)方體、棱柱、球.

說(shuō)明：I.長(zhǎng)方體和正方體都屬于棱柱，因?yàn)樗鼈儽容^常見(jiàn)，為大家所熟識(shí)，所以在此單

獨(dú)列出.

II.棱柱分為直棱柱和斜棱柱.

（1）柱體

①圓柱：底面是圓，側(cè)而是曲而（如圖）.

（2）錐體

①圓錐：底面是圓，側(cè)面是曲面（如圖）.

②棱錐：底面是多邊形，側(cè)面是三角形.棱錐有三棱錐、四棱錐、五棱錐、六棱錐等（如圖）.

（3）球體：封閉曲面組成的圖形.

（4）多面體：圍成立體圖形的面都是平的面，像這樣的立體圖形又稱為多面體.

2.棱柱和圓柱的區(qū)分及聯(lián)系

棱柱和圓柱有相同之處，又有很多差別，如何正確區(qū)分它們呢？

頂點(diǎn)棱側(cè)面底面形狀相同點(diǎn)

棱

有有平面多邊形

柱

都有兩個(gè)完全相同且互相平行的底面

圓

無(wú)無(wú)曲面圓

柱

3.圓柱和圓錐的區(qū)分及聯(lián)系

圓柱和圓錐能比較簡(jiǎn)潔地區(qū)分開(kāi)來(lái)，那么它們之間有什么相同或不同之處呢?

頂點(diǎn)底面?zhèn)€數(shù)高的條數(shù)相同點(diǎn)

圓柱無(wú)2無(wú)數(shù)條1.側(cè)面都是曲面

圓錐有11條2.底面都是圓

二、平面圖形

日常生活中，我們還會(huì)遇到很多平面圖形（）.長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓等都是一些

我們特別熟識(shí)的平面圖形.生活中常常遇到一些由簡(jiǎn)潔的平面圖形組合成的美麗圖案.

三、視圖

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近凹凸各不同.不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中.”這是宋代詩(shī)

人蘇軾的《題西林壁》.這首詩(shī)說(shuō)的是：從前面看，覺(jué)得廬山是一座又開(kāi)闊又高大的山嶺；從

側(cè)面看，又覺(jué)得廬山是一座險(xiǎn)峻陡峭的高峰；再?gòu)倪h(yuǎn)處和近處，從懶再4處看廬山,總覺(jué)得

它千姿百態(tài)，變更無(wú)窮.我實(shí)在說(shuō)不出究竟什么才是廬山也真面目，向缶矗邀在廬山中呀.

這首詩(shī)正是詩(shī)人從不同方向視察同一物體看到了不同的景觀贏桌上曲我巾也學(xué)著用詩(shī)

人的眼光去從不同方向視察同一物體.

從正面看

1.三視圖

主視圖：從正面看到的圖，

左視圖：從左面看到的圖，

俯視圖：從上面看到的圖.

下面我們看幾個(gè)由小正方體搭建成的圖如下圖所示:

當(dāng)我們從正面看就得到主視圖；從左面看就得到左視圖；從上面看就得到俯視圖.（如下圖

所示）

主視圖左視圖俯視圖

四、立體圖形的平面綻開(kāi)圖

很多立體圖形是由一些平面圖形圍城的，將它們適當(dāng)?shù)丶糸_(kāi)，就可以綻開(kāi)成平面圖形.這

就是我們以下要探討的立體圖形的平面綻開(kāi)圖（）.我們以正方體為例進(jìn)行探討.

將正方體展成一個(gè)平面圖形，是指正方形的六個(gè)面綻開(kāi)后所成的六個(gè)正方形中的每一個(gè)至

少有一條邊和其他的正方形的某條邊重合即相連.

那么，具體應(yīng)當(dāng)怎樣操作呢？

我們都知道，正方體有6個(gè)面，12條棱，假如把它展成平面圖形，6個(gè)正方形中的每一個(gè)

正方形至少有一邊和其他正方形相連.因此，我們從它的上底面入手，先將上底面中的四條棱

中剪開(kāi)三條，然后沿著和連著的棱有公共點(diǎn)的側(cè)棱順次剪下去，到達(dá)下底面，然后再將下底面

的四條棱中剪開(kāi)三條，便可得到正方體的平面綻開(kāi)圖.

如圖，我們給正方體的12條棱進(jìn)行編號(hào).

假如沿著棱②一③一④-*⑤f?一?一⑩剪開(kāi)，我們就得到綻開(kāi)圖（1）：

假如沿著②f③f④f⑤一⑨f⑩f?綻開(kāi)，就得到綻開(kāi)圖（2）；

假如沿著②一③一④一⑤一?一⑨一⑩綻開(kāi)就得到圖（3）

假如沿著②一③一④一⑤一?一?一⑨綻開(kāi)，就可得到圖（4）.

?3)(4)

綻開(kāi)的方法很多，剛才的綻開(kāi)圖，都是沿著和邊④有公共點(diǎn)的邊⑤剪開(kāi)的，假如沿著和邊

④也有公共點(diǎn)的邊⑥剪開(kāi)后，和以上四種綻開(kāi)圖差不多.

假如沿⑥接著剪開(kāi)，正方體的平面綻開(kāi)圖經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，平移等都可以得到以上四種綻開(kāi)圖，

因此，我們?cè)诖瞬豢紤]由于旋轉(zhuǎn)等造成的相對(duì)位置不同，將這種綻開(kāi)方式歸于前面一類.

同樣將上底面的②一③一④這三條棱綻開(kāi)，但接下來(lái)不沿著和①有公共點(diǎn)的棱⑤剪，而是

沿著和①無(wú)公共點(diǎn)的側(cè)棱⑦或⑧接著剪至下底面的三條棱，便可得到如下兩個(gè)平面綻開(kāi)圖（圖

（5）、圖（6））

(5)

我們可以視察以上六個(gè)立方體的平面綻開(kāi)圖，它們有規(guī)律可找尋嗎？

這六個(gè)平面綻開(kāi)圖有共同的特性，中間連排的四個(gè)正方形恰好是正方體的側(cè)面，而分布側(cè)

面兩邊的兩個(gè)正方形無(wú)論和四個(gè)側(cè)面中的哪一個(gè)相連，都能是正方體的平面綻開(kāi)圖.

那么，是不是消音的平平臂圖只七邛呢？

我們還像前面那露開(kāi)力點(diǎn)可贏做由，胴號(hào),假如沿著②一③一④剪開(kāi)后，再分別

沿著⑥一⑨一?和⑦剪開(kāi)，便可得到費(fèi)開(kāi)圖（79.類似的還可以得到圖（8）、（9）.

在以上的幾種綻開(kāi)圖中，是側(cè)面的三個(gè)或四個(gè)正方形相連，假如讓他們兩個(gè)兩個(gè)相連結(jié)果會(huì)如

何呢？

我們剪出六個(gè)同樣大小的正方形作為正方體的六個(gè)面，將這六個(gè)面攫成下面兩個(gè)圖的情形,

如圖（10）、（11）,然后將它們折疊，結(jié)果發(fā)覺(jué)這六個(gè)面圍成了一個(gè)正方體.

只要沿著②f③f④剪開(kāi)后，再分別沿⑤f和⑦以及⑨剪開(kāi)便可得到圖（10）.

沿著②一③f④剪開(kāi)后，再將⑥一⑩一和⑤剪開(kāi)，便得到綻開(kāi)圖（11）.

我們?cè)賮?lái)看，如圖（12）,這個(gè)平面圖形經(jīng)過(guò)折疊后能否圍成一個(gè)正方體.

答案是否定的.因?yàn)榘岩粋€(gè)正方體綻開(kāi)后6個(gè)正方形的每一個(gè)正方形至少有一邊和其他正

方形的某邊重合，在這個(gè)圖中，雖然滿意了上面的要求，但右上角的正方形和相鄰的三個(gè)正方

形相連的情形是無(wú)法折疊起來(lái)的，因此不能圍成一個(gè)正方體.

那么，將正方體的某些棱剪開(kāi)，展成一個(gè)平面圖形，須要剪開(kāi)幾條棱呢？

由于正方體有12條棱，6個(gè)面，將其表面展成一個(gè)平面圖形，其面和面之間相連的棱（即

未剪開(kāi)的棱）有5條，因此需剪開(kāi)7條棱.

五、點(diǎn)、線、面、體

幾何體也簡(jiǎn)稱體（）.我們學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是

幾何體.

包圍著體的是面（）.面有平的面和曲的面兩種.安靜的水面（如圖）給我們以平面的形

象，而酒杯（如圖）的凹槽則給我們以曲面的形象.

夜晚流星劃過(guò)天空時(shí)留下一道光明的光線（如圖），節(jié)日的焰火畫出的曲線組成美麗的圖

案（如圖），這些都給我們以線（）的形象.面和面相交的地方形成線.

天上的星星、世界地圖上的城市等都給我們以點(diǎn)（）的形象，線和線相交的地方是點(diǎn).

點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的,點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素.點(diǎn)、線、面、體經(jīng)過(guò)

運(yùn)動(dòng)變更，就能組合成各種各樣的幾何圖形，形成多姿多彩的圖形世界.

立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。

1、幾何圖形

平面圖形：三角形、四邊形、圓等。

［主（正）視圖從正面看

2、幾何體的三就圖側(cè)（左、右）視圖從左（右）邊看

〔俯視圖從上面看

（1）會(huì)推斷簡(jiǎn)潔物體（直棱柱、【員I柱、I員1錐、球）的三視圖。

（2）能依據(jù)三視圖描述基本兒何體或?qū)嵨镌汀?/p>

3、立體圖形的平面綻開(kāi)圖

（1）同一個(gè)立體圖形按不同的方式綻開(kāi)，得到的平現(xiàn)醫(yī)形不一樣的。

（2）了解直棱柱、圓柱、圓錐、的平面綻開(kāi)圖，能依據(jù)綻開(kāi)圖推斷和制作立體模型。

4、點(diǎn)、線、面、體

（1）幾何圖形的組成

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是兒何圖形最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：凡何體也簡(jiǎn)稱體。

（2）點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

一.快速識(shí)別正方體的平面綻開(kāi)圖

圖形分類

正方體的平面綻開(kāi)圖按綻開(kāi)圖中正方形所在的行數(shù)及正方形的個(gè)數(shù)，歸納起來(lái)有四情形.

1.1—4—1型：綻開(kāi)圖有3行，中間一行有4個(gè)正方形，其余兩行均1個(gè)正方形，如圖1中

②

⑤

圖1

2.2—3—1型：綻開(kāi)圖有3行，中間一行有3個(gè)正方形，第1行有2個(gè)正方形，第3行有1

個(gè)正方形，如圖2中所示.

3.2—2—2型：綻開(kāi)圖有3行，每一行均有2個(gè)正方形，如圖3所示.

圖3圖4

4.3—3型：綻開(kāi)圖有2行，每一行均有3個(gè)正方形，如圖4所示.

規(guī)律：這里給出幾種不是正方體的綻開(kāi)圖的狀況：

(1)出現(xiàn)“田”字格；

(2)出現(xiàn)1"1”的形態(tài)；

(3)連續(xù)四個(gè)正方形連成一行，而另外兩個(gè)都在這“一行”的同側(cè)；

(4)連續(xù)五個(gè)連成一行。

記住上面這四個(gè)規(guī)律，解答時(shí)采納解除法又快又準(zhǔn)。

二快速確定正方體的“對(duì)面”

如下圖，我們先來(lái)統(tǒng)一以下相識(shí)：把含有圖(1)所示或可由其作旋轉(zhuǎn)后的圖形統(tǒng)稱為

型圖；把所給平面圖中含有(2)、(3)、(4)所示或可由其作旋轉(zhuǎn)后的圖形統(tǒng)稱為型圖。

(2)(3)(4)

結(jié)論：假如給定的平面圖形能折疊成一個(gè)正方體，那么在這個(gè)平面圖形中所含的型圖或

型圖兩端的正方形(陰影部分)必為折成正方體后的對(duì)面。

應(yīng)用上面的結(jié)論，我們可以快速地確定出正方體的“對(duì)面”。

(二)直線、射線、線段

直線

1、直線的兩種表示方法：

(1)用直線上的兩個(gè)大寫字母表示.如圖：記作直線為5.

AB

表示直線的兩個(gè)大寫字母可以是直線上的隨意兩點(diǎn)，兩個(gè)字母的依次可以隨意排放

(2)用一個(gè)小寫字母表示,如圖：記作直線。.

若點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，則有三或22.

兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度.

直線的性質(zhì)

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。

簡(jiǎn)潔地：兩點(diǎn)確定一條直線。

點(diǎn)和直線的位置關(guān)系

(1)0點(diǎn)在直線上，如圖，敘述方法：點(diǎn)。在直線。上，或直線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。.

0

(2)0點(diǎn)在直線外，如圖，敘述方法：點(diǎn)。在直線。外，或直線。不經(jīng)過(guò)點(diǎn)。.

-----------a

0

相交直線

假如兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，我們叫這兩條直線相交.這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)，這兩條直線

叫相交直線.

1.直線的概念⑴一個(gè)小寫字母表示----a直線。

2.克線的表示方法1（2）兩個(gè)大寫字母表示「廣直線四

AD

J1）點(diǎn)在直線上彳一a（直線a過(guò)A點(diǎn)）

直3.點(diǎn)和直線的位置關(guān)系

線1（2）點(diǎn)在直線外-----a（直線a不過(guò)尸點(diǎn)）

4.直線公理:經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線（兩層意思”有一條并且只有■一條”）

相交線:兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)

射線

射線：直線上的一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線，這個(gè)點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn).

射線的表示方法

（1）可以用兩個(gè)大寫字母表示：代表端點(diǎn)的字母寫在前面。

（2）射線也可以用一個(gè)小寫字母表示.

線段

線段：直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之問(wèn)的部分叫做線段.這兩點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).4.線段的表示方

法

線段的兩種表示方法：1月、3為端點(diǎn)的線段，可以記作線段48或線段胡

對(duì)字母的排放依次沒(méi)有要求；

2也可以記作線段。.

線段的中點(diǎn)（二等分點(diǎn)）、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等

定義：把一條線段平均分成兩條相等線段的點(diǎn)。

圖形：

???

AMB

符號(hào)：若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則，22。

線段的性質(zhì)

兩點(diǎn)的全部連線中，線段最短。簡(jiǎn)潔地：兩點(diǎn)之間，線段最短。

線段的畫法

(1)畫線段時(shí)，要畫出兩個(gè)端點(diǎn)之間的部分，不要畫出向任何一方延長(zhǎng)的狀況.

(2)以后我們說(shuō)“連結(jié)店”就是指畫以4、B為端點(diǎn)的線段.說(shuō)明：“連結(jié)”是幾

何的專用名詞，專指畫出兩點(diǎn)間的線段的意思.

線段大小比較的兩種比較方法：

1重疊比較法將兩條線段的各一個(gè)端點(diǎn)對(duì)齊，看另一個(gè)端點(diǎn)的位置.步驟有三：

(1)將線段的端點(diǎn)A和線段的端點(diǎn)C重合.

(2)線段沿著線段的方向落下.

(3)若端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合，則得到線段等于線段，可以記.

若端點(diǎn)B落在D上，則得到線段小于線段，可以記作＜.

若端點(diǎn)B落在D外，則得到線段大于線段，可以記作〉.

2度量法

直線射線線段區(qū)分聯(lián)系

直線射線線段

圖形

直線上的一點(diǎn)直線上兩個(gè)點(diǎn)

和它一旁的部和它們之間的

定義分叫做射線：這部分叫做線

個(gè)點(diǎn)叫做射線段.這兩點(diǎn)叫做

的端點(diǎn).線段的端點(diǎn).

射線、線段都是直線的一部分，線段是直線的有

聯(lián)系

限部分.

直線無(wú)端點(diǎn)，長(zhǎng)度無(wú)限，向兩方無(wú)限延長(zhǎng).射線

區(qū)分只有一個(gè)端點(diǎn)，長(zhǎng)度無(wú)限，向一方無(wú)限延長(zhǎng).線

段有兩個(gè)端點(diǎn)，長(zhǎng)度有限.

端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)一個(gè)兩個(gè)

直線a線段a

表示法射線

直線()線段()

作線段a；

作直線；

作法敘述作射線作線段；

作直線a

連接

延長(zhǎng)線段；

延長(zhǎng)敘述不能延長(zhǎng)反向延長(zhǎng)射線

反向延長(zhǎng)線段

端點(diǎn)延長(zhǎng)方可否度表示方

相同點(diǎn)

個(gè)數(shù)向量法

線

2無(wú)能兩種

段都是直的，由多數(shù)個(gè)

射向一方點(diǎn)組成，沒(méi)有粗細(xì)之

1不能兩種

線延長(zhǎng)分，線段、射線都是

直向兩方直線的一部分。

0不能兩種

線延長(zhǎng)

1、直線沒(méi)有端點(diǎn)，他可以向兩方無(wú)限延長(zhǎng)，因此他的長(zhǎng)度是無(wú)限的，我們不能度量他的長(zhǎng)

度；射線有一個(gè)端點(diǎn)，他可以向一方無(wú)限延長(zhǎng)，因此他的長(zhǎng)度也是無(wú)限的；線段有兩個(gè)端點(diǎn)，

他不能向任何一方延長(zhǎng)，所以既可以度量他們的長(zhǎng)度，也可以用度量法或疊合法（即把其中一

條線段移到另一條線段上去）比較他們的大小。

另外，線段不能延長(zhǎng)，但他可以延長(zhǎng)，而直線和射線能延長(zhǎng)，卻不能延長(zhǎng)。特殊地，射線可

以反向延長(zhǎng)。

2、如圖，二兄弟都可以用一個(gè)小寫字母來(lái)表示，但用大小字母來(lái)表示時(shí)，就要留意：

AB6C--DE-

圖1圖2.圖3

①線段用表示端點(diǎn)的兩個(gè)字母來(lái)表示，圖1中的線段可表示為線段或線段；

②射線用表示端點(diǎn)的字母和表示射線上另一點(diǎn)的字母來(lái)表示的，這兩個(gè)字母有嚴(yán)格的先后依

次，必需把表示端點(diǎn)的字母寫在前面，圖2中的射線只能表示為射線；

③直線可以用它上面的隨意兩個(gè)點(diǎn)的字母來(lái)表示，圖3中的直線可表示為直線或直線。

3、如圖3,過(guò)點(diǎn)D和E有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，這里的“確定”和“有且

只有”的含義相同?！坝小笔侵钢本€的存在性，“只有”指直線的惟一性。不難看出，過(guò)點(diǎn)D、E

的線段和射線都是存在的，但他們都不是惟一的。

4、線段是三兄弟中最小的，他的故事卻是最多的，這里先向大家介紹兩個(gè):

（1）把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。如圖，若點(diǎn)C是線段的中

點(diǎn)，則有彳,或22。

（2）兩點(diǎn)之間，線段最短。

（三）角

1.角的相關(guān)概念及計(jì)算

4」靜止的定義

「正乂-轉(zhuǎn)的定義

一表不方法

—度量一度、分、秋進(jìn)位制60）

角一

」匕較與運(yùn)算

LddM「同危或等角）的余角相等

代角;1示定同角或等角）的補(bǔ)角相等

角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫角的

兩邊.

角：角還可以看成是一條射線從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

2、角的表示法（四種）:

⑥角的符號(hào)和三個(gè)大寫字母表示：

角

的如圖1中有4408,圖2中445c,乙始?等.

表

示②角的符號(hào)和一個(gè)大寫字母表示（條件：頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）

方

法如圖1中/。，圖3中NQ.

③角的符號(hào)和一個(gè)數(shù)字表示：如匡2中/I,/2.

（④角的符號(hào)和一個(gè)小寫希臘字母表示：如圖3中/a，/。?

平角、周角的概念

射線力繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，終止位置。8和起始位置。4成一條直線時(shí)，所成的角叫平角，如圖2

所示.同樣可表示為乙403,頂點(diǎn)。，兩邊為射線3和射線@.接著旋轉(zhuǎn)，回到起始位置

0A時(shí)，所成的角叫做周角，如圖3所示.周角的頂點(diǎn)為。，兩邊重合成一條射線.

直線上取點(diǎn)表示點(diǎn)在直線上的位置，而平角是由頂點(diǎn)和邊組成的角這一幾何圖形.

靜止的觀點(diǎn)：有公共端點(diǎn)的兩條射線蛆成的圖形

1.定W旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)：角可以看成是一條射線繞其端點(diǎn)，從

一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的覲

（1）用角的符號(hào)和三個(gè)大寫字母表示

（2）用角的符號(hào)和一個(gè)大寫字母表示

角《2?角的表示方法＜

（條件：頂點(diǎn)只有一個(gè)角）

（3）用角的符號(hào)和一個(gè)數(shù)字表示

（4）用角的符號(hào)和一個(gè)＜1匹希臘字母表示

（3.平角、周角的概念

3、角的度量單位及換算

度、分、杪的互換：假如一個(gè)角比1°還小，那么怎樣度量它的大??？為了更精密地度量角.我

們把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分記作1'；又把1'的角60等份，每一份叫做1

秒的角，1秒記作1''.即1°=60',1'=60''.這表明角的度、分、秒是60進(jìn)制的，這和計(jì)

量時(shí)間的時(shí)、分、秒是一樣的.

4、角的分類

Z銳角直角鈍角平角周角

P

范0<Z6<ZB90°<Z3<ZBZ8

圍90°=90°180°=180°=360°

學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)

「Q）登合法

1?角的b傲Im測(cè)量法

,缶）圖形的羊系］注意：幾何圖形的識(shí)圖

角的

\2.角的和差倍分1'角的和、差、倍、分的度數(shù)等于

比校

1（2）數(shù)量關(guān)系J它們的度數(shù)的和、差、倍、分

71）定義

13.角的平分線"

、（2）幾何符號(hào)語(yǔ)言表示

5角的大小的比較有兩種方法:

（1）重合法：即把要比較的兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一條邊重合，再比較另一條邊的位置：

①跖和8C重合，WDEF等于乙也。,記作“￡F?必C.

②EF落在乙也C的內(nèi)部，上DEF小于乙由。,記作〃.

③EF落在用C的外部，4DEF大于加。,記作.

在比較角的大小時(shí)，應(yīng)留意角的大小只和開(kāi)口的大小有關(guān)，而和角的邊畫出部分的長(zhǎng)短無(wú)

關(guān).這是因?yàn)榻堑倪吺巧渚€而非線段.若用射線旋轉(zhuǎn)成角的定義，也可以說(shuō)轉(zhuǎn)得較多的角較大.

（2）度量法：即比較兩個(gè)角的度數(shù).

利用比較角大小的上述兩種方法，就可以畫出角的和、差、倍、分，并進(jìn)而比較角的和、

差、倍、分的大小.

6角的和、差、倍、分

(1)G在N1內(nèi)部時(shí)，5C是4和乙的差，記作：乙哈.

(2)G在N1外部時(shí)，“EF是/I和/2的和，記作：“EF-Z1+Z2.

7、畫一個(gè)角等于已知角

(1)借助三角尺能畫出15。的倍數(shù)的角，在。?180。之間共能畫出11個(gè)角。

(2)借助量角器能畫出給定度數(shù)的角。

(3)用尺規(guī)作圖法。

8、角平分線

定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.

幾何語(yǔ)言表示：OC是乙4a的平分線，(或).

對(duì)于角平分線的概念，要留意以下兩點(diǎn)：

(1)它是角的內(nèi)部的一條射線，并且是一條特殊的射線，它把角分成了相等的兩部分.

(2)要駕馭角平分線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：若是48的平分線，則4比=248=乂3或

ZilOC-ZCOT-yZXCB.

學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)

9、互余、互補(bǔ)

(1)若/1+/2=90°,則N1和N2互為余角。其中N1是N2的余角，N2是/I的余角。

(2)若Nl+N2=180°,則N1和N2互為補(bǔ)角。其中N1是/2的補(bǔ)角，N2是/I的補(bǔ)角。

(3)余(補(bǔ))角的性質(zhì)：等角的補(bǔ)(余)角相等。

VZ1和N2互補(bǔ)，???4+4=180?即N2?⑻.

?.,/3和互補(bǔ)，.\Z3+Z4-18(r即N4-l8(T?/3.

?.?4。/3,?,./2=/4.

若兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，若兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做

互為補(bǔ)角.理解這兩個(gè)概念，要把握以下幾點(diǎn)：(1)必需具備兩個(gè)角；(2)兩個(gè)角的和是一

個(gè)定值：互余兩角的和是，互補(bǔ)兩角的和是：(3)和兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān)，只考慮兩角間的數(shù)

量關(guān)系.

10、方向角

（1）正方向

（2）北（南）偏東（西）方向

（3）東（西）北（南）方向

第四章數(shù)據(jù)的收集和整理

一、數(shù)據(jù)處理的一般過(guò)程

二、設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷的步驟

1、確定調(diào)查目的

2、選擇調(diào)查對(duì)象

3、設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)題

三、設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷時(shí)要留意

1、提問(wèn)時(shí)不涉及提者個(gè)人的觀點(diǎn)2、不要提人們不原意回答的問(wèn)題

3、供應(yīng)的答案要盡可能全面4、問(wèn)題應(yīng)簡(jiǎn)明5、問(wèn)卷應(yīng)簡(jiǎn)短

1.普查、抽樣調(diào)查的概念

為了確定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查.

普查可以干脆獲得總體的狀況，但有時(shí)總體中個(gè)體的數(shù)目較多，普查的工作量較大；有時(shí)受客

觀條件的限制，無(wú)法對(duì)全部個(gè)體進(jìn)行普查；有時(shí)普查具有破壞性，不允許普查，這時(shí)人們往往

從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查.

如何從總體中選取樣本比較合理

要想使樣本具有代表性，不偏向總體中的某些特性，有一個(gè)對(duì)每個(gè)個(gè)體都公允的方法，確定

哪些個(gè)體進(jìn)入樣本，這種志向的抽樣方法我們把它稱為簡(jiǎn)潔的隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，也叫純

隨機(jī)抽樣.其特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)

立，彼此間無(wú)確定的關(guān)聯(lián)性和排斥性.簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ).通常只是在總

體單位之間差異程度較小和數(shù)片較少時(shí)，才采納這種方法.為了確保調(diào)查結(jié)果的精確性，調(diào)查對(duì)

象在總體中要有代表性，樣本容量要足夠大.

如何進(jìn)行隨機(jī)抽樣

常見(jiàn)的隨機(jī)抽樣方式有以下幾種：

1.抽簽法

抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌勻

稱后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，登記號(hào)簽上的號(hào)碼，就得到一個(gè)容量為n的樣

本.

抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是筒潔易行；缺點(diǎn)是，當(dāng)總體的容量特別大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)勁又不便利.

2.隨機(jī)數(shù)表法

用抽簽法抽取樣本時(shí)，編號(hào)的過(guò)程有時(shí)可以省略（如用己有編號(hào)），但制簽的過(guò)程就難以省去

了，而且，制簽也比較麻煩.簡(jiǎn)化抽簽過(guò)程的一個(gè)有效方法就是制作一個(gè)表，其中的每個(gè)數(shù)都是

用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，這樣的表稱為隨機(jī)數(shù)表,于是，我們只需按確定的規(guī)則到隨機(jī)數(shù)表中選取號(hào)

碼就可以.這種抽樣方法叫隨機(jī)數(shù)表法.

用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟是：

①將總體中的全部的個(gè)體編號(hào)（每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一樣）；

②在隨機(jī)數(shù)表中任選一數(shù)作為起先；

③從選定的數(shù)起先按確定的方向讀下去，得到的數(shù)碼若不在編號(hào)中，則跳過(guò)，若在編號(hào)中，

則取出，假如得到的號(hào)碼前面已經(jīng)取出，也跳過(guò)，如此接著下去，直到取滿為止；

④依據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本.

除此之外還有計(jì)算機(jī)模擬法和運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件干脆抽取等方法.

2.總體、個(gè)體、樣本的概念

總體：普查時(shí)，所要考察對(duì)象的全體稱總體.

個(gè)體：普查時(shí)，組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體.

樣本：抽樣調(diào)查時(shí)，從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本.

3.為使所抽取的樣本具有代表性，常采納以下方法：

(1)隨機(jī)抽樣，這種方法常用于當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)；

(2)系統(tǒng)抽樣，當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)，按隨機(jī)抽樣很難，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，按

規(guī)則從每一部分抽取相同個(gè)數(shù)的個(gè)體；

(3)分層抽樣，當(dāng)總體由有明顯差異的幾個(gè)部分組成時(shí)，隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣其代表性均不

強(qiáng)，這時(shí)可將總體按差異狀況分成幾個(gè)部分，按各部分所占比例進(jìn)行抽樣.

4.抽樣調(diào)查的范圍小，節(jié)約時(shí)間、人力、物力，為了獲得較為精確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)既要

留意樣本的大小，同時(shí)又要留意樣本的代表性和廣泛性.

第5章《二元一次方程組》總復(fù)習(xí)

【回顧和思索】

方程、方程的解

方程有關(guān)概念-

d解方程

；有關(guān)概念I(lǐng)

一次方程卜「二元一次方程H解法步驟

有關(guān)概念

U二元一次方程兩訃T解法步驟

應(yīng)用

1.二元一次方程:

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.從定義中可

以看出：二元一次方程具備以下四個(gè)特征：

(1)是方程；

(2)有且只有兩個(gè)未知數(shù)；

(3)方程是整式方程，即各項(xiàng)都是整式；

(4)各項(xiàng)的最高次數(shù)為