人教版八年級數(shù)學上冊《多邊形的內角和》示范教學課件

人教版八年級數(shù)學上冊第十一章三角形多邊形的內角和知識回顧1.n邊形有多少條對角線？2.什么是正多邊形？3.三角形的內角和為多少度？4.三角形外角具有什么性質？教學目標1.了解并掌握多邊形內角和與外角和公式.2.理解多邊形內角和與外角和公式的推導過程.3.靈活運用多邊形的內角和與外角和定理解決實際問題.新知導入

通過前面的學習我們知道了三角形的內角總為180°，那么多邊形的內角和會有什么性質呢？問題1：正方形內角和為多少度？矩形（長方形）內角和為多少度？答：矩形和正方形的內角和都是360°.問題2：矩形和正方形都屬于四邊形，是不是所有四邊形的內角和都是360°呢？答：矩形和正方形雖然都是四邊形，但它們都具有特殊性，并不是每個四邊形的內角都是90°，所以我們只能說四邊形的內角和可能是360°，這還只是一個猜想。新知探究問題3：在探究三角形內角和時，我們首先用了什么方法進行探究？探究：請大家任意畫一個四邊形，用量角器量出四個內角的大小，并計算出四個內角的和是多少？多邊形的內角和知識點1新知探究經過測量發(fā)現(xiàn)四邊形的四個內角和為360°.問題4

能不能證明四邊形內角和為360°呢？上節(jié)課的這張圖給了我們什么啟發(fā)？

這張圖說明，多邊形可以被對角線分為若干個三角形，而每個三角形內角和的總和正好就是多邊形所有內角的和。新知探究解：∵對角線AC將四邊形分為△ACD和△ACB，∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.∴∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°，∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.即四邊形ABCD的內角和為360°.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，求：四邊形ABCD的內角和.ACBD是否還有其他解法？新知探究解法二：如圖，在AB邊上任取一點E，連接CE，DE，

∵在△ADE中，∠A+∠AED+∠ADE=180°

在△CDE中，∠CED+∠ECD+∠CDE=180°

在△BCE中，∠B+∠BCE+∠CEB=180°∴∠A+∠AED+∠ADE+∠CED+∠ECD+∠CDE+∠B+∠BCE+∠CEB=180°×3=540°∵∠AED+∠CED+∠CEB=180°∴∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=∠A+∠AED+∠ADE+∠CDE+∠CED+∠ECD+∠BCE+∠B+∠BEC–(∠AED+∠CED+∠BEC)=180°×3–180°=360°

.即四邊形ABCD的內角和為360°EACBD∠ADC∠BCD新知探究解法三：如圖，在四邊形ABCD內部取一點E，連接AE，BE，CE，DE，把四邊形分成四個三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四邊形ABCD內角和為：180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4–360°=360°.ABCDE新知探究ABCDP解法四：如圖，在四邊形外任取一點P，連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.∴四邊形ABCD內角和=△PAD內角和+△PCD內角和+△PBC內角和-△PAB內角和=180°×3–180°=

360°.這四種方法都運用了化歸思想，把四邊形分割成三角形，轉化到已經學了的三角形內角和求解.小結：四邊形內角和為360°新知探究問題5

類比四邊形內角和的計算方法，請嘗試計算下列多邊形內角和

從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以作出（）條對角線，它們將五邊形分成了（）個三角形，五邊形的內角和等于180°×（）.從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以作出（）條對角線，它們將六邊形分成了（）個三角形，六邊形的內角和等于180°×（）.233344新知探究n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內角和分割出三角形的個數(shù)從多邊形的一頂點引出的對角線條數(shù)圖形邊數(shù)······0n–31231234n–2（n–2）·180o1×180o=180o2×180o=360o

3×180o=540o4×180o=720o························由特殊到一般

新知小結多邊形的內角和公式：n邊形的內角和等于（n-2）×180°.

通過以上的探究，我們發(fā)現(xiàn)多邊形的內角和與邊數(shù)之間有密切的關系.從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作出（n-3）條對角線，它們將n邊形分成了（n-2）個三角形，n邊形的內角和等于（n-2）×180°.

新知典例例1

求下列圖形中x的值．解：圖1：四邊形的內角和為：（4﹣2）?180°＝360°，

則2x°+150°+80°＝360°，

解得x＝65；

圖2：五邊形的內角和為：（5﹣2）?180°＝540°，

則3x°+110°+160°+90°＝540°，

解得x＝60．新知典例例2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠A﹣∠C＝20°，求∠B的度數(shù)．解：∵∠B+∠D＝180°，∴∠A+∠C＝360°﹣180°＝180°，∵∠A﹣∠C＝40°，∴2∠A＝200°，∴∠A＝100°，∴∠C＝80°．由此題我們可以發(fā)現(xiàn)，當四邊形中有兩角互補時，另外兩角也互補課堂練習1．如圖，∠ABE是四邊形ABCD的一個外角，且∠ABE＝∠D．那么∠A與∠C互補嗎？為什么？解：∠A與∠C互補．∵∠ABE＝∠D，∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABC+∠D＝180°，又∵四邊形內角和等于360°，∴∠A+∠C＝180°．新知探究多邊形的外角和知識點2

三角形有外角，由三角形組成的多邊形當然也有外角，接下來我們就要探究一下多邊形的外角。如圖所示，與三角形外角相同，∠ABE就是四邊形ABCD的一個外角，顯而易見，也與三角形相同，多邊形的每一個外角與相鄰的內角互補。問題6

圖中四邊形有幾個外角？（每個頂點只取一個），五邊形呢？六邊形呢？答：

四邊形有4個外角，五邊形有5個外角，六邊形有6個外角。新知探究

也就意味著每個外角的度數(shù)是在變化的，外角的個數(shù)也是在隨著多邊形邊數(shù)在變化，那么外角和是否會像內角和一樣，與邊數(shù)n存在某種數(shù)量關系呢？EBCD123

45A思考：如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．求這個五邊形的外角和求五邊形的外角和，也就是求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？新知探究EBCD123

45A已知：五邊形ABCDE求：五邊形ABCDE外角和解：由題可知∠1+∠BAE=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BCD=180°∠4+∠CDE=180°∠5+∠AED=180°∴∠1+∠BAE+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠AED=180°×5∵五邊形內角和為180°×3∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°×5-180°×3=180°×2=360°n邊形的外角和為多少呢？新知探究在n邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和–(n–2)×180°=360°=n個平角–n邊形內角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n邊形的外角和又是多少呢？多邊形外角和與邊數(shù)n無關多邊形外角和等于360°新知典例例1

（1）已知一個多邊形每一個外角都是40°，則它是

邊形九解：∵360°÷40°＝9，∴這個多邊形的邊數(shù)是9．（2）正八邊形一個外角的大小為

度．45解：∵多邊形的外角和等于360°．∴360°÷8＝45°，故答案為：45．正多邊形每個外角都相等新知練習1.若一個多邊形的內角和與外角和共1260°，則這個多邊形的邊數(shù)是

.

7解：多邊形的內角和是：1260°﹣360°＝900°，設多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝900°，解得：n＝7，2.一個正多邊形的每一個內角比每一個外角的3倍還大20°，則這個正多邊形的邊數(shù)為

．9解：設每個外角為x°，則內角為（3x+20）°，∴x+3x+20＝180，解得x＝40，∴邊數(shù)＝360°÷40°＝9課堂歸納多邊形的內角和內角和計算公式(n–2)×180°(n≥3的整數(shù)）①邊數(shù)增加1，內角和增加180°；②內角和是180°的整倍數(shù).外角和多邊形的外角和等于360°特別注意：與邊數(shù)無關.正多邊形內角=，外角=新知練習1.若n邊形的內角和是五邊形的外角和的3倍，則n的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9C2.五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，如圖，DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，則∠P＝（）A．45° B．60° C．90° D．120°B新知練習3.如果正n邊形的一個內角與一個外角的比是3：2，則n＝

．4.如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分別是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為

．解：延長BA，DE，∵AB∥ED，∴∠4+∠5＝180°，根據(jù)多邊形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°5180°新知練習5.如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝

．360°解：∵∠7＝∠4+∠6，∠8＝∠1+∠5，

∠2+∠3+∠7+∠8＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．新知練習6．如圖，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù)解：由三角形內角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°新知練習7.如圖，沿圖中直線將一個多邊形按圖所示減掉一個角，所得多邊形的內角和為1800°，求原多邊形的邊數(shù)解：設多邊形截去一個角的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°＝1800°，解得n＝12，∵截去一個角后，邊數(shù)增加1，∴原來多邊形的邊數(shù)是12﹣1＝11新知練習8.如圖所示，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．解：∵∠1是△CE