高考數學總復習《基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積》專項測試卷帶答案

第第頁高考數學總復習《基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積》專項測試卷帶答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．(2024·天津模擬)已知一個圓錐的母線長為4，且其側面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為()A．πB.eq\f(3π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,2)2．一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()A.eq\f(\r(2),4)a2 B．2eq\r(2)a2C.eq\f(\r(2),2)a2 D.eq\f(2\r(2),3)a23．(2024·江蘇徐州模擬)如圖，一個底面邊長為eq\f(2\r(3π),3)cm的正四棱柱形狀的容器內裝有部分水，現將一個底面半徑為1cm的鐵制實心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm.若該容器的厚度忽略不計，則該圓錐的側面積為()A.eq\r(17)πcm2 B．4πcm2C．3eq\r(2)πcm2 D．2eq\r(3)πcm24．如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12)D.eq\f(\r(6),4)5．(2024·山東青島質檢)如圖，一個直三棱柱形狀的容器中盛有水，側棱AA1＝4，若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，當底面ABC水平放置時，水面的高為()A．2B.eq\f(5,2)C．3D.eq\f(7,2)6．(2024·重慶八中模擬)中國古代數學的瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分)．現有一個如圖所示的曲池，其高為3，AA1⊥底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為eq\f(π,2)，弧AD長度為弧BC長度的3倍，且CD＝2，則該曲池的體積為()A.eq\f(9π,2) B．6πC.eq\f(11π,2) D．5π7．(2024·廣東肇慶質檢)如圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內切，則此銅鏃的體積約為()A．0.25cm3 B．0.65cm3C．0.15cm3 D．0.45cm38．(2024·山東聊城模擬)“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”．若該多面體的棱長為1，則經過該多面體的各個頂點的球的體積為()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(5\r(2)π,3)C．4π D．8π9．如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)，則這個圓錐的體積為()A.eq\f(\r(15)π,3) B.eq\f(32\r(35)π,27)C.eq\f(128\r(2)π,81) D.eq\f(8\r(3)π,3)二、多項選擇題10．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側面AA1C1C的中心為O，點E是側棱BB1上的一個動點，則下列判斷正確的是()A．直三棱柱的側面積是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱的體積是eq\f(1,3)C．三棱錐E-AA1O的體積為定值D．AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)三、填空題與解答題11．(2024·廣東珠海模擬)一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．12．(2024·四川遂寧模擬)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若一個直角圓錐的體積為9π，則它的側面積為________．13．(2024·河北邯鄲模擬)如圖1，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的體積公式為V＝eq\f(π,3)(3R－h(huán))h2，其中R是球的半徑，h是球缺的高．某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖2所示(單位：cm)．則該機械插件中間部分的體積約多少？(π≈3)圖1圖2高分推薦題14．(2024·河北唐山模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱BB1的中點，平面A1DM將該正方體分成兩部分，其體積分別為V1，V2(V1<V2)，則eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(5,19)B.eq\f(1,3)C.eq\f(7,17)D.eq\f(1,2)解析版一、單項選擇題1．(2024·天津模擬)已知一個圓錐的母線長為4，且其側面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為()A．πB.eq\f(3π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,2)解析：設圓錐的底面半徑為r，高為h，根據題意，則4×eq\f(1,2)×2rh＝πrl，又母線l＝4.所以h＝eq\f(π,4)×4＝π.答案：A2．一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()A.eq\f(\r(2),4)a2 B．2eq\r(2)a2C.eq\f(\r(2),2)a2 D.eq\f(2\r(2),3)a2解析：根據斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若設原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×S＝eq\f(\r(2),4)S.本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.故選B.答案：B3．(2024·江蘇徐州模擬)如圖，一個底面邊長為eq\f(2\r(3π),3)cm的正四棱柱形狀的容器內裝有部分水，現將一個底面半徑為1cm的鐵制實心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm.若該容器的厚度忽略不計，則該圓錐的側面積為()A.eq\r(17)πcm2 B．4πcm2C．3eq\r(2)πcm2 D．2eq\r(3)πcm2解析：依題意可得圓錐的體積V＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3π),3)))2＝eq\f(4π,3)(cm3)，又V＝eq\f(1,3)π×12×h(其中h為圓錐的高)，則h＝4cm，則圓錐的母線長為eq\r(12＋42)＝eq\r(17)(cm)，故圓錐的側面積為eq\r(17)πcm2.答案：A4．如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12)D.eq\f(\r(6),4)解析：易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為1×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案：A5．(2024·山東青島質檢)如圖，一個直三棱柱形狀的容器中盛有水，側棱AA1＝4，若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，當底面ABC水平放置時，水面的高為()A．2B.eq\f(5,2)C．3D.eq\f(7,2)解析：當側面AA1B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱，底面是梯形，面積為S，此時水的體積V＝S·AA1＝4S，當底面ABC水平放置時，水的形狀為三棱柱，設水面高為h，此時水的體積V＝S△ABC·h，又S＝eq\f(3,4)S△ABC，∴h＝eq\f(4S,S△ABC)＝3，故選C.答案：C6．(2024·重慶八中模擬)中國古代數學的瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分)．現有一個如圖所示的曲池，其高為3，AA1⊥底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為eq\f(π,2)，弧AD長度為弧BC長度的3倍，且CD＝2，則該曲池的體積為()A.eq\f(9π,2) B．6πC.eq\f(11π,2) D．5π解析：不妨設弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長度為弧BC長度的3倍可知，R＝3r，又CD＝R－r＝2r＝2，得r＝1，R＝3.故該曲池的體積V＝eq\f(π,4)×(R2－r2)×3＝6π.答案：B7．(2024·廣東肇慶質檢)如圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內切，則此銅鏃的體積約為()A．0.25cm3 B．0.65cm3C．0.15cm3 D．0.45cm3解析：因為正三棱錐的底面邊長為1cm，所以其內切圓半徑為eq\f(\r(3),6)cm，由三棱錐體積與圓柱體積公式可得V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×sin60°×2＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))2×0.6≈0.45(cm3)．故選D.答案：D8．(2024·山東聊城模擬)“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”．若該多面體的棱長為1，則經過該多面體的各個頂點的球的體積為()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(5\r(2)π,3)C．4π D．8π解析：將該多面體放入正方體中，如圖所示．因為多面體的棱長為1，所以正方體的棱長為eq\r(2)，因為該多面體是由棱長為eq\r(2)的正方體連接各棱中點所得，所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點，其外接球直徑等于正方體的面對角線長，即2R＝eq\r(2)×eq\r(2)，所以R＝1，所以該多面體外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3).答案：A9．如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)，則這個圓錐的體積為()A.eq\f(\r(15)π,3) B.eq\f(32\r(35)π,27)C.eq\f(128\r(2)π,81) D.eq\f(8\r(3)π,3)解析：作出該圓錐的側面展開圖，如圖中陰影部分所示，該小蟲爬行的最短路徑為PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4eq\r(3)，∴由余弦定理可得cos∠P′OP＝eq\f(OP2＋OP′2－PP′2,2OP·OP′)＝－eq\f(1,2)，∴∠P′OP＝eq\f(2π,3).設底面圓的半徑為r，圓錐的高為h，則有2πr＝eq\f(2π,3)×4，∴r＝eq\f(4,3)，∴h＝eq\r(42－r2)＝eq\f(8\r(2),3)，∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(128\r(2)π,81).答案：C二、多項選擇題10．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側面AA1C1C的中心為O，點E是側棱BB1上的一個動點，則下列判斷正確的是()A．直三棱柱的側面積是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱的體積是eq\f(1,3)C．三棱錐E-AA1O的體積為定值D．AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)解析：因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，側面全是矩形，所以其側面積為1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，故A正確；直三棱柱的體積V＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正確；因為BB1∥平面AA1C1C，且點E是側棱BB1上的一個動點，所以三棱錐E-AA1O的高為定值eq\f(\r(2),2)，S△AA1O＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×2＝eq\f(\r(2),2)，所以V三棱錐E-AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，為定值，故C正確；由該棱柱的側面展開圖易知(圖略)，AE＋EC1的最小值為eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1B1＋B1C12)＝eq\r(22＋1＋12)＝2eq\r(2)，故D正確．答案：ACD三、填空題與解答題11．(2024·廣東珠海模擬)一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．解析：設六棱錐的高為h，底面積為S，則V＝eq\f(1,3)Sh，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6×h＝2eq\r(3)，解得h＝1.設六棱錐的斜高為h′，則h2＋(eq\r(3))2＝h′2，故h′＝2.所以該六棱錐的側面積為eq\f(1,2)×2×2×6＝12.答案：1212．(2024·四川遂寧模擬)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若一個直角圓錐的體積為9π，則它的側面積為________．解析：設圓錐的底面半徑為r，因為圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的高為r，母線長為eq\r(2)r，所以eq\f(1,3)πr3＝9π，解得r＝3，則圓錐的高為3，母線長為3eq\r(2)，則圓錐的側面積為S＝πrl＝π×3×3eq\r(2)＝9eq\r(2)π.答案：9eq\r(2)π13．(2024·河北邯鄲模擬)如圖1，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的體積公式為V＝eq\f(π,3)(3R－h(huán))h2，其中R是球的半徑，h是球缺的高．某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖2所示(單位：cm)．則該機械插件中間部分的體積約多少？(π≈3)圖1圖2解：過球心和“球缺”的底面圓的圓心作該幾何體的截面，可得截面圖如圖：由已知可得AB＝14，設D為AB的中點，則AD＝7，由已知可得2×(OD＋AE)＝58，又AE＝5，所以OD＝24，由球的截面性質可得△ODA為以OA為斜邊的直角三角形，所以OA＝eq\r(OD2＋AD2)＝25，即球的半徑R＝25，所以以O為球心，OA為半徑的球的體積V1＝eq\f(4,3)πR3＝eq