高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正態(tài)分布》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正態(tài)分布》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.了解正態(tài)分布在實(shí)際生活中的意義和作用.2.了解正態(tài)分布的定義，正態(tài)曲線的特征，會(huì)求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率.3.記住正態(tài)總體在常用區(qū)間上的取值的概率，并能在一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用．正態(tài)分布1．定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up15(－eq\f(x－μ2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(4)曲線與x軸之間的面積為1.(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布越分散．3．正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.常/用/結(jié)/論正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝u，D(X)＝σ2.1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)正態(tài)分布是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言的．(√)(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．()(3)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)榍€對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)．()(4)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù)，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．(√)2．正態(tài)密度函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(,2π)σ)eeq\s\up15(－eq\f(x－μ2,2σ2))(μ<0)的圖象是()解析：∵f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x＝μ(μ<0)，又正態(tài)曲線位于x軸上方，∴由圖象知只有A適合．答案：A3．(2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是()A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等解析：對(duì)于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹吭谝淮螠y(cè)量中結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2，10.3)的概率不同，所以在一次測(cè)量中結(jié)果落在(9.9，10.2)的概率與落在(10，10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤．故選D．答案：D4．(2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.解析：因?yàn)閄～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.答案：0.14題型正態(tài)分布的性質(zhì)典例1(1)設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝eq\f(1,\r(,8π))·eeq\s\up15(－eq\f(x－102,8))(x∈R)，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()利用正態(tài)密度函數(shù)：f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up15(－eq\f(x－μ2,2σ2)).A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10(2)(多選)(2024·黑龍江哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．甲工廠生產(chǎn)的零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)的零件尺寸的平均值由正態(tài)曲線的對(duì)稱軸相等可知．B．甲工廠生產(chǎn)的零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)的零件尺寸的平均值C．甲工廠生產(chǎn)的零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙甲的正態(tài)曲線瘦高，即穩(wěn)定性高于乙．工廠生產(chǎn)的零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產(chǎn)的零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)的零件尺寸的穩(wěn)定性解析：(1)因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,\r(,8π))eeq\s\up15(－eq\f(x－102,8))(x∈R)，所以σ＝2，μ＝10，即正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為10與2.故選B．(2)X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象，可知μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產(chǎn)的零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)的零件尺寸的平均值，故A正確，B錯(cuò)誤；甲工廠生產(chǎn)的零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)的零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯(cuò)誤．故選AC．對(duì)X～N(μ，σ2)中的μ，σ的意義不清楚，特別是對(duì)μ的認(rèn)識(shí)不清楚，就會(huì)在解題時(shí)無(wú)從下手，導(dǎo)致隨便給出一個(gè)結(jié)果．這里μ是隨機(jī)變量X的均值，σ是標(biāo)準(zhǔn)差，直線x＝μ是正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸.對(duì)點(diǎn)練1(1)(多選)(2024·江蘇常州調(diào)研)已知在數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，某校學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布N(110,81)，其中90分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)()A．該校學(xué)生成績(jī)的期望為110B．該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為9C．該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為81D．該校學(xué)生成績(jī)的及格率超過(guò)95%(2)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，則E(2ξ＋1)與D(2ξ＋1)的值分別為()A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16解析：(1)因?yàn)樵撔W(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布N(110，81)，所以μ＝110，方差σ2＝81，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝9.因?yàn)棣蹋?σ＝110－2×9＝92，P(ξ≥90)>P(ξ≥92)＝P(ξ≥μ－2σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725>0.95，所以該校學(xué)生成績(jī)的期望為110，標(biāo)準(zhǔn)差為9，該校學(xué)生成績(jī)的及格率超過(guò)95%.所以A，B，D正確，C錯(cuò)誤．故選ABD．(2)由已知得E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故選D．答案：(1)ABD(2)D題型服從正態(tài)分布的概率計(jì)算典例2(1)(2024·陜西西安模擬)陜西洛川蘋果享譽(yù)國(guó)內(nèi)外，據(jù)統(tǒng)計(jì)，陜西洛川蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(70,52)，則直徑在(80,85]內(nèi)的概率為()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A．0.0214 B．0.0430C．0.8185 D．0.6826(2)(2024·福建泉州質(zhì)量監(jiān)測(cè))設(shè)隨機(jī)變量X～N(72，σ2)，若P(70<X<73)＝0.3，則P(71<X<74)＝________.解析：(1)由題可設(shè)直徑在(80,85]內(nèi)的概率為p，則p＝eq\f(Pμ－3σ≤X≤μ＋3σ－Pμ－2σ≤X≤μ＋2σ,2)由X～N(70,52)，知μ＝70，σ＝5.≈eq\f(0.9973－0.9545,2)＝0.0214.故選A．(2)由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，可知P(70<X<73)＝P(70<X≤72)＋P(72<X<73)＝P(72≤X<74)＋P(71<X<72)＝P(71<X<74)＝利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化．0．3.故答案為0.3.正態(tài)分布下的概率計(jì)算常見的兩類問(wèn)題(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，及曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1的性質(zhì)．(2)利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個(gè)．對(duì)點(diǎn)練2(1)(2024·寧夏大學(xué)附中月考)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，則k的值為()A．6 B．7C．8 D．9(2)(2024·上海模擬A卷)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，f(x)＝P(X≥x)，其中x>0，則下列等式成立的是()A．f(2x)＝2f(x)B．f(－x)＝1－f(x)C．P(X≤x)＝2f(x)－1D．P(|X|≥x)＝2－f(x)解析：(1)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5，4)，所以其圖象關(guān)于x＝5對(duì)稱，又因?yàn)镻(X>k)＝P(X<k－4)，所以eq\f(k＋k－4,2)＝5，解得k＝7.故選B．(2)對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(0,1)，所以此正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱．因?yàn)閒(x)＝P(X≥x)(x>0)，所以根據(jù)對(duì)稱性可得f(－x)＝P(X≥－x)＝P(X≤x)＝1－f(x)，所以B正確．對(duì)于A，由f(2x)＝P(X≥2x)，2f(x)＝2P(X≥x)，以及P(X≥2x)與2P(X≥x)不相等，可知A錯(cuò)誤．對(duì)于C，因?yàn)镻(X≤x)＝1－P(X≥x)＝1－f(x)，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)镻(|X|≥x)＝P(X≥x或X≤－x)＝2f(x)，所以D錯(cuò)誤．故選B．答案：(1)B(2)B題型正態(tài)分布的綜合應(yīng)用的多維研討維度1正態(tài)分布及其與條件概率的綜合應(yīng)用典例3(1)為了解高三學(xué)生復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試．若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)x近似服從正態(tài)分布N(100，17.52)．已知成績(jī)?cè)?17.5分以上的學(xué)生有μ＋σ80人，則此次參加考試的學(xué)生成績(jī)低于所占概率為eq\f(1－0.68,2)＝0.16?考生數(shù)為eq\f(80,0.16)＝500.82．5分的概率為________；如果成績(jī)大于μ－σ135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學(xué)考試成μ＋2σ績(jī)特別優(yōu)秀的大約有________人．(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.95)(2)(2024·河北張家口統(tǒng)考)某校舉辦乒乓球顛球比賽，現(xiàn)從高一年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生統(tǒng)計(jì)成績(jī)(單位：個(gè))，其中24名女生的平均成績(jī)eq\x\to(x)女＝70，標(biāo)準(zhǔn)差s女＝4；16名男生的平均成績(jī)eq\x\to(y)男＝80，標(biāo)準(zhǔn)差s男＝6.①高一年級(jí)全員參加顛球比賽的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若用這40名參賽同學(xué)的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和標(biāo)準(zhǔn)差s(四舍五入取整數(shù))分別作為μ，σ，估計(jì)高一年級(jí)顛球成績(jī)不超過(guò)60個(gè)的人數(shù)(四舍五入取整數(shù))；②顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學(xué)爭(zhēng)奪冠、亞軍，如果甲每局比賽獲勝的概率為eq\f(2,3)，在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率．附：若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9973.(1)解析：因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)x服從正態(tài)分布N(100，17.52)，則P(100－17.5≤x≤100＋17.5)＝P(82.5≤x≤117.5)≈0.68，所以此次參加考試的學(xué)生成績(jī)低于82.5分的概率為P(x<82.5)＝eq\f(1－P82.5≤x≤117.5,2)≈eq\f(1－0.68,2)＝0.16.又P(100－17.5×2≤x≤100＋17.5×2)＝P(65≤x≤135)≈0.95，所以數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為P(x>135)＝eq\f(1－P65≤x≤135,2)≈eq\f(1－0.95,2)＝0.025.又P(x<82.5)＝P(x>117.5)≈0.16，且成績(jī)?cè)?17.5分以上的學(xué)生有80人，則本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的人數(shù)大約是eq\f(80,0.16)×0.025≈13.故答案為0.1613.(2)解：①依題意，eq\x\to(x)＝eq\f(70×24＋80×16,40)＝74，即μ＝74，seq\o\al(2,女)＝eq\f(\i\su(i＝1,24,)xi－\x\to(x)女2,24)＝eq\f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,24)－24\x\to(x)\o\al(2,女),24)＝42，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,24)＝24×(16＋702)，同理得seq\o\al(2,男)＝eq\f(\i\su(i＝1,16,)yi－\x\to(y)男2,16)＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2)＋…＋y\o\al(2,16)－16\x\to(y)\o\al(2,男),16)＝62，【小技巧】題中分別給出男、女生的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差，無(wú)法直接應(yīng)用求總的方差，可以把方差的公式s2＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2,n)轉(zhuǎn)化為s2＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2,n)，即可將三者聯(lián)系起來(lái)．所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＋…＋yeq\o\al(2,16)＝16×(36＋802)，所以s2＝eq\f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,24)＋y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2)＋…＋y\o\al(2,16)－40\x\to(x)2,40)＝eq\f(24×16＋702＋16×36＋802－40×742,40)＝48，所以s＝eq\r(,48)≈7，即σ＝7.因?yàn)閄～N(74,72)，【易錯(cuò)提醒】X～N(μ，σ2)，則σ2＝72，不要誤以為σ2＝7.且P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545，所以P(X≤60)≈eq\f(1－0.9545,2)＝0.02275，所以0.02275×1000＝22.75≈23，即估計(jì)高一年級(jí)顛球成績(jī)不超過(guò)60個(gè)的人數(shù)為23.②設(shè)事件A表示“甲獲勝”，事件B表示“甲前2局獲勝”，所以P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(64,81)，【突破瓶頸】甲獲勝有3∶0,3∶1,3∶2三類，分別求對(duì)應(yīng)的概率．P(AB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(104,243)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(13,24)，所以在甲獲勝的條件下，其前2局獲勝的概率為eq\f(13,24).正態(tài)分布的特點(diǎn)可結(jié)合圖象記憶，并可根據(jù)μ和σ的不同取值得到不同的圖象，特別地，當(dāng)μ＝0時(shí)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．對(duì)點(diǎn)練3(1)(2024·河北唐山模擬)某種食鹽的袋裝質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(400,16)，隨機(jī)抽取10000袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間(396,408)的約有________袋．(質(zhì)量單位：g)附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.(2)(2024·八省聯(lián)考)對(duì)一個(gè)物理量做n次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差εn～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,n)))，為使誤差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要測(cè)量________次．(若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)解析：(1)由題意，知X～N(400,42)，所以P(396<X<404)≈0.6827，P(392<X<408)≈0.9545，得P(396<X<408)＝P(392<X<408)－P(392<X<396)＝P(392<X<408)－eq\f(1,2)[P(392<X<408)－P(396<X<404)]≈0.9545－eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.8186，所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間(396,408)的約有10000×0.8186＝8186(袋)．(2)根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知要使誤差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.9545，則(μ－2σ，μ＋2σ)?(－0.5，0.5)，又μ＝0，σ＝eq\r(,\f(2,n))，∴0.5≥2eq\r(,\f(2,n))?n≥32.答案：(1)8186(2)32維度2正態(tài)分布及其與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用典例4(2024·福建龍巖質(zhì)檢)為了讓中學(xué)生了解亞運(yùn)會(huì)，某市舉辦了一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到頻率分布表(見下表).分組(百分制)頻數(shù)頻率[0,20)100.1[20,40)200.2[40,60)300.3[60,80)250.25[80,100]150.15合計(jì)1001(1)由頻率分布表可認(rèn)為該市參加預(yù)賽的全體學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ>0)，其中μ可近似視為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，且σ2＝342.利用該正態(tài)分布，求P(X≥90)．(2)預(yù)賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生將參加復(fù)賽，現(xiàn)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從該市參加預(yù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：eq\r(,342)≈18.5.若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)由題意，知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為10×0.1＋30×0.2＋50×0.3＋70×0.25＋90×0.15＝53，由σ2＝342得σ＝eq\r(,342)≈18.5，所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈0.02275.【掃清障礙】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，知P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝P(X≤μ－2σ)，所以P(X≥90)＝eq\f(1,2)×[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]．(2)由題意，得隨機(jī)抽取2人進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,20)))，且Y的所有可能取值為0,1,2.P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,20)))2＝eq\f(289,400)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,20)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,20)))＝eq\f(51,200)，P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,20)))2＝eq\f(9,400).所以Y的分布列為Y012Peq\f(289,400)eq\f(51,200)eq\f(9,400)所以Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝0×eq\f(289,400)＋1×eq\f(51,200)＋2×eq\f(9,400)＝eq\f(3,10).【會(huì)檢驗(yàn)】這里需要檢驗(yàn)的有兩點(diǎn)：①檢驗(yàn)分布列中概率和是不是1，看分布列是否求錯(cuò)；②也可以根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式直接計(jì)算期望，得E(Y)＝2×eq\f(3,20)＝eq\f(3,10)，看期望是否求錯(cuò)．1．本題考查正態(tài)分布、概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命制的一道較為新穎的試題．正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)案例有些知識(shí)點(diǎn)是所謂的高考“冷點(diǎn)”，由于考生對(duì)這些“冷點(diǎn)”內(nèi)容的重視不夠，復(fù)習(xí)不全面，一旦這些“冷點(diǎn)”知識(shí)出了考題，雖然簡(jiǎn)單但也易錯(cuò)，甚至根本不會(huì)做，因而錯(cuò)誤率相當(dāng)高．此題告訴我們必須全面掌握每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．2．高考復(fù)習(xí)應(yīng)無(wú)縫隙銜接、全方位覆蓋．原來(lái)的冷點(diǎn)或許會(huì)變成將來(lái)的熱點(diǎn)！對(duì)點(diǎn)練4(2024·山東濟(jì)南模擬)為了切實(shí)加強(qiáng)學(xué)校體育工作，促進(jìn)學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，某高中學(xué)校計(jì)劃優(yōu)化課程，增加學(xué)生體育鍛煉時(shí)間，提高體質(zhì)健康水平．某體質(zhì)監(jiān)測(cè)中心抽取了該校10名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，得到如下表格.序號(hào)i12345678910成績(jī)xi(分)3841445154565