概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案第6章

經濟數(shù)學—概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案第6章統(tǒng)計推斷授課序號01教學基本指標教學課題第6章第1節(jié)點估計課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點點估計、估計量與估計值的概念、估計量的無偏性、有效性和一致性的概念、、估計量的相合性、矩估計法（一階、二階距）和最大似然估計法。教學難點矩估計法（一階、二階距）和最大似然估計法。參考教材《經濟數(shù)學—概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）》作業(yè)布置課后習題大綱要求1．理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念；了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性；會利用大數(shù)定律證明估計量的相合性。2．掌握矩估計法（一階、二階距）和最大似然估計法。教學基本內容一．矩估計法1.矩估計法的基本思想是替換原理，即用樣本矩去替換相應的總體矩，這里的矩可以是原點矩也可以是中心距。我們知道，矩是由隨機變量的分布唯一確定的，而樣本來源于總體，由大數(shù)定律，樣本矩在一定程度上反映總體矩的特征。2．矩估計法：用樣本矩來估計總體矩的估計方法稱為矩估計法.3．矩估計法的步驟：設總體X的分布中包含m個未知參數(shù)1，2，…，m，為來自總體X的樣本，如果總體的k階原點矩存在，并設，相應的k階樣本原點矩為，以替代，即可得到關于1，2，…，m的方程組 方程組的解，稱為參數(shù)k的矩估計量.4．若代入一組樣本觀測值，則稱為參數(shù)k的矩估計值.二．最大似然估計法 1．最大似然估計的步驟： 若總體X的分布中含有k個未知待估參數(shù)1，2，…，k，則似然函數(shù)為解似然方程組，或者對數(shù)似然方程組，即可得到參數(shù)的最大似然估計。2．定理：若為參數(shù)的最大似然估計，為參數(shù)的函數(shù)，則是的最大似然估計.三．點估計的評價標準1.無偏性：設是未知參數(shù)的估計量，若，則稱為的無偏估計。2.有效性：設均為參數(shù)的無偏估計量，若則稱有效。3.相合性（一致性）：設為未知參數(shù)的估計量，若對任意的，都有，即依概率收斂于參數(shù)，則稱為的相合（一致）估計。4.定理：設為的估計量，若,則為的相合（一致）估計.四．例題講解例1．設X為某零配件供應商每周的發(fā)貨批次，其分布律為其中是未知參數(shù)，假設收集了該供應商8周的發(fā)貨批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計值.例2．設X為投資者對于某種金融產品的持有時間，其概率密度為其中未知參數(shù)，為來自總體X的簡單隨機樣本，求的矩估計量.例3．已知某項銀行業(yè)務的審批時間X在(a,b)上服從均勻分布，其中a,b未知，設抽查了n位辦理該業(yè)務的顧客，他們的審批時間分別為，試用矩估計法估計a,b.例4．設袋中放有很多的白球和黑球，已知兩種球的比例為1:9，但不知道哪種顏色的球多，現(xiàn)從中有放回地抽取三次，每次一球，發(fā)現(xiàn)前兩次為黑球，第三次為白球，試判斷哪種顏色的球多。例5．求出例2中未知參數(shù)的最大似然估計量.例6．，其中是未知參數(shù)，設是樣本觀測值，求的最大似然估計.例7．某種電子郵箱建議用戶設置增強密碼以保護賬戶的安全，假設p是該電子郵箱的全體用戶中設置增強密碼的比例?，F(xiàn)隨機抽取了20位用戶，發(fā)現(xiàn)其中有3位有增強密碼.（1）求p的最大似然估計；（2）接著再抽5位用戶，求他們都沒有增強密碼的概率的最大似然估計.例8．設樣本來自正態(tài)總體XN(，2)，其中，2未知，求和2的最大似然估計。例9．設總體X的k階矩存在，證明:不論X服從什么分布，樣本的k階矩是的無偏估計。例10．已知，都是總體方差的估計量，問哪個估計量更好？例11．設總體的概率密度為，其中是未知參數(shù),為來自總體X的簡單樣本，選擇適當常數(shù)c，使得是的無偏估計.例12．設某種產品的壽命X服從指數(shù)分布，其概率密度為，其中為未知參數(shù)，是來自總體的樣本，設有的估計量，，問哪一個最優(yōu)？例13．設是總體X的樣本均值，則當作為總體期望E(X)的估計量時，是E(X)的相合估計量。例14．試證明是的相合估計量.授課序號02教學基本指標教學課題第6章第2節(jié)區(qū)間估計課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點置信區(qū)間、區(qū)間估計、單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學難點置信區(qū)間、區(qū)間估計、單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。參考教材《經濟數(shù)學—概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）》作業(yè)布置課后習題大綱要求1．掌握建立未知參數(shù)的（雙側和單側）置信區(qū)間的一般方法；2．了解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學基本內容一．區(qū)間估計的概念1．置信區(qū)間：設為總體的未知參數(shù)，若對于給定的（0<<1），存在統(tǒng)計量和，使得,則稱隨機區(qū)間為參數(shù)的置信度（或置信水平）為1-的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和置信上限。 2．樞軸量:稱滿足下述三條性質的量Q為樞軸量.（1）是待估參數(shù)和估計量的函數(shù)；（2）不含其他未知參數(shù)；（3）其分布已知且與未知參數(shù)無關。3．求置信區(qū)間的一般步驟:（1）根據(jù)待估參數(shù)構造樞軸量Q,一般可由未知參數(shù)的良好估計量改造得到；（2）對于給定的置信度1-，利用樞軸量Q的分位點確定常數(shù)a，b，使；（3）將不等式恒等變形為，即可得到參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間.二．正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計單個正態(tài)總體的情形：設總體，是取自總體的樣本(1)已知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(2)未知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(3)未知，方差的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.以上關于正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計的討論可以列表1和表2如下：四．例題講解例1．設X1，…，Xn為來自正態(tài)總體XN(，2)，其中2已知，未知,試求出的置信度為1-的置信區(qū)間。例2．假設投資者在總投資額中，針對某種金融產品的投資比例為X（%），其中X服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機調查了40位投資者,得知他們對該金融產品的投資比例的樣本均值為5.426（%），求m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例3．為估計某種漢堡的脂肪含量，隨機抽取了10個這種漢堡，測得脂肪含量（%）如下：25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5.假設該種漢堡的脂肪含量（%）服從正態(tài)分布，求平均脂肪含量m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例4．已知某種鋼絲的折斷力服從正態(tài)分布，從一批鋼絲中任意抽取了10根，測得折斷力數(shù)據(jù)（單位：kg）如下：578，572，570，568，572，570，570，596，584，572，求和的置信度為0.9的置信區(qū)間。授課序號03教學基本指標教學課題第6章第3節(jié)假設檢驗課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點顯著性檢驗的基本思想、假設檢驗的基本步驟、假設檢驗可能產生的兩類錯誤、正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗教學難點假設檢驗的基本步驟參考教材《經濟數(shù)學—概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）》作業(yè)布置課后習題大綱要求1．理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤。2.了解單個正態(tài)總體均值和方差的假設檢驗。教學基本內容一．假設檢驗的基本思想1．假設檢驗的基本思想：假設檢驗規(guī)則的制定有多種方式，其中一種較為通俗易懂，該方式所依據(jù)的是人們在實踐中普遍采用的一個原理——實際推斷原理，也稱小概率原理，即“小概率事件在一次試驗中幾乎不會發(fā)生”.按照這一原理，首先需要依據(jù)經驗或過往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)對總體的分布參數(shù)作出假設，稱為原假設，其對立面稱為備擇假設，記為。然后，在為真的前提下，構造一個小概率事件，若在一次試驗中，小概率事件居然發(fā)生了，就完全有理由拒絕的正確性，否則就沒有充分的理由拒絕，從而接受，這就是假設檢驗的基本思想。2．拒絕域：在假設檢驗中，將小概率事件稱為拒絕域或者否定域。二．假設檢驗的基本步驟1.建立假設根據(jù)題意合理地建立原假設H0和備擇假設H1，如；2.選取檢驗統(tǒng)計量選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量Q，要求在H0為真時，統(tǒng)計量Q的分布是已知的；3.確定拒絕域按照顯著性水平，由統(tǒng)計量Q確定一個合理的拒絕域；4.作出判斷由樣本觀測值，計算出統(tǒng)計量的觀測值q，若q落在拒絕域內，則拒絕H0，否則接受H0.三．假設檢驗的兩類錯誤1．原假設確實成立，而檢驗的結果是拒絕，這類錯誤稱為第一類錯誤或“棄真”錯誤；2．原假設確實不成立，而檢驗的結果是接受，這類錯誤稱為第二類錯誤或“取偽”錯誤．四．單個正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗設總體，是取自總體的一個樣本，給定顯著性水平為（0<<1），下面介紹幾種常見的檢驗類型：1．已知，關于的檢驗建立假設，選取檢驗統(tǒng)計量，按照顯著性水平，確定拒絕域，由樣本觀測值求出統(tǒng)計量的觀測值u，然后作判斷，由于我們選取的檢驗統(tǒng)計量為，故稱其為U檢驗法.2.未知，關于的檢驗首先建立假設，選取檢驗統(tǒng)計量在H0為真時，統(tǒng)計量Tt(n-1)；按照顯著性水平，確定拒絕域.由樣本觀測值求出統(tǒng)計量的觀測值t，然后作判斷，由于選取的檢驗統(tǒng)計量為故該檢驗法稱為T檢驗法.3.未知，關于的檢驗檢驗假設H0：2=02，H1：202，在H0為真時，檢驗統(tǒng)計量為，按照顯著性水平，可得拒絕域上述檢驗法選取的檢驗統(tǒng)計量是，稱為2檢驗法.五．單側檢驗設總體，是取自總體的一個樣本，給定顯著性水平為（0<<1），若2已知，檢驗是否增大？首先建立假設,或者選取檢驗統(tǒng)計量，當為真時，不應太大，則U偏大時應拒絕，故按照顯著性水平，構造小概率事件為，即拒絕域.由樣本觀測值求出U的觀測值u，然后作判斷.六.例題講解例1．設某種特殊類型的集成電路所用硅晶圓片的目標厚度為245（單位：），在正常情況下，產品厚度應該服從正態(tài)分布我們抽取了50個硅晶圓片樣品，并測定了每個硅晶圓片的厚度，得到了樣品的平均厚度為246.18（），這些數(shù)據(jù)是否表明實際的硅晶圓片平均厚度與目標值有顯著差異?例2．設總體服從正態(tài)分布，是該總體的樣本，對于檢驗假設，已知拒絕域為，問此檢驗犯第一類錯誤的概率是多少？若，則犯第二類錯誤的概率是多少？例3．某消防設備制造商聲稱，他們生產安裝的辦公樓自動噴水滅火系統(tǒng)的平均激活溫度是54℃.現(xiàn)隨機抽取了該制造商的9個系統(tǒng)，經測試得到的平均激活溫度為54.57℃。如果激活溫度服從正態(tài)分布，且標準差為0.85℃，則顯著性水平時，該樣本數(shù)據(jù)是否與制造商的聲明相矛盾？例4．葡萄酒中除了水和酒精外，占比最多的就是甘油。甘油是酵母發(fā)酵的副產品，它有助于提升葡萄酒的口感和質地，因而經常需要對葡萄酒中的甘油含量進行檢測。假設某品牌葡萄酒的甘油含量X（mg/mL）服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機抽查了5個樣品，測得它們的甘油含量分別為，若顯著性水平，問是否有理由認為該品牌葡萄酒的平均甘油含量為4（mg/mL）?例5．某供貨商聲稱，他們提供的金