2023-2024學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，若直線與垂直，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的傾斜角為，斜率，因?yàn)?，所以，即，故選:C．2.已知數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A3.橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)所成的面為橢球面，橢球面鏡一般指橢球面反射鏡,老花眼鏡、放大鏡和膠片電影放映機(jī)聚光燈的反射鏡等鏡片都是這種橢球面鏡片.從橢球面鏡的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢球面鏡反射后，必經(jīng)過橢球面鏡的另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一個(gè)軸截面長軸長為的橢球面鏡,從其一焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)兩次反射后返回原焦點(diǎn)，所經(jīng)過的路程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓的定義可知光線從一個(gè)焦點(diǎn)經(jīng)反射經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，其路程為長軸長，再由第二個(gè)焦點(diǎn)經(jīng)反射返回第一個(gè)焦點(diǎn)的路程仍為長軸長，所以經(jīng)過的路程總共為．故選:B．4.四棱錐的底面為矩形，平面，在棱上，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，設(shè)，可得，則，所以．故選：B．5.已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】如圖，不妨設(shè)為左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，法一：設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)P在頂點(diǎn)時(shí)取等號），所以，即，；法二：，，，當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最小值，故，得.故選：A．6.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則使的最小整數(shù)（）A.12 B.13 C.24 D.25【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，且，得，所以，則數(shù)列的公差，所以數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以使成立的最小的為24，故選：C．7.已知，若直線上有且只有一點(diǎn)滿足，則（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】設(shè)動點(diǎn)，由題意得，化簡可得，故動點(diǎn)的軌跡方程為．動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，且在直線上，因?yàn)橹本€上有且只有一點(diǎn)滿足，所以直線與圓相切，且切點(diǎn)為，由，得，所以或，故選：D．8.棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，若，則的最大值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】C【解析】如圖，取中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，平面，所以；，，，所以，所以，，，所以；’可證，所以平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，的四等分點(diǎn)滿足，的四等分點(diǎn)滿足，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；由已知有：，，所以，，，，所以，所以，平面，平面，平面；平面，平面，可證平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫娼?jīng)過的中點(diǎn)，由已知可得點(diǎn)軌跡為四邊形的邊界（不包括內(nèi)部和點(diǎn)），所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取最大值，為。故選：C．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.已知圓和圓，則（）A.兩圓的公共弦所在的直線方程為B.圓上到直線的距離為1的點(diǎn)恰有2個(gè)C.圓的內(nèi)部與圓的內(nèi)部的公共部分的周長為D.若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則的最大值為6【答案】AD【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑；可得，即，可知兩圓相交.對于選項(xiàng)A：兩圓的公共弦所在的直線方程為：，即，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)閳A心到直線的距離，且圓半徑為2，可知圓與直線相交，而垂直且到距離為，由知軸與圓相切，故是圓被所截劣弧上唯一到距離為1的點(diǎn)；過作直線的平行線，則和軸是平面上到距離為1的所有點(diǎn)的集合，而和圓相交于點(diǎn)和點(diǎn)；如下圖示，所以共3點(diǎn)符合題意，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：直線與軸交于點(diǎn)，交兩圓于S，T，在中，則，可得，即，可得弓形TOS的周長為，故所求公共部分周長為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)M，N和兩圓圓心共線，且在兩圓心的兩側(cè)時(shí)，最大，所以最大值為圓心距和兩個(gè)半徑的和，故D正確．故選：AD．10.已知空間向量，則（）A.B.在上的投影向量為C.若向量，則點(diǎn)在平面內(nèi)D.向量是與平行的一個(gè)單位向量【答案】ABD【解析】由已知可得，A正確；由于，所以在上的投影向量即為，B正確；若在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x，y，使得，而,所以，上述方程組無解，故點(diǎn)E不在平面ABC內(nèi)，C錯(cuò)誤;由，故，且，所以正確．故選：ABD．11.已知分別是數(shù)列的前項(xiàng)和,，,則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以.故A正確.對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，，兩式作差可得，，所以，.所以，從第2項(xiàng)開始，是以2為公比的等比數(shù)列，所以，.檢驗(yàn)，時(shí)，，所以，.故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以?故C正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)恒成立，所以，，當(dāng)時(shí)恒成立.又時(shí)，滿足，所以，.故D正確.故選：ACD.12.已知曲線（非零常數(shù)），則（）A.原點(diǎn)是的對稱中心B.直線與恒有兩個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，直線是的漸近線D.當(dāng)時(shí)，直線為的對稱軸【答案】ACD【解析】對于A中，在上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)代入方程得，故點(diǎn)在上，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以A正確；對于B中，聯(lián)立方程，整理得，可得，當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤；對于C中，當(dāng)時(shí)，曲線，整理為，在曲線上任取一點(diǎn)，則到直線的距離，當(dāng)逐漸增大時(shí)，逐漸減小，當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近0，則直線是的漸近線，所以C正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，曲線整理為，在上任取一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，且，即，則，即，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在上，所以直線為的對稱軸，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡相應(yīng)位置.13.直線恒過定點(diǎn)______.【答案】【解析】由直線，可化，聯(lián)立方程組，解得，所以直線恒過定點(diǎn)．故答案為：．14.已知是拋物線上縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)，則與的焦點(diǎn)的距離為______.【答案】【解析】由C：可得的橫坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：由拋物線的定義可得，與的距離．故答案為：．15.在空間直角坐標(biāo)系中，若平面過點(diǎn)，且以向量不全為零為法向量，則平面的方程為．已知平面的方程為，則點(diǎn)到平面平面的距離為______.【答案】【解析】由平面的方程為，可得平面過點(diǎn)，且其法向量為，又由點(diǎn)，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：16.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,,且,,，則______.【答案】582【解析】由已知可得所以，于是．故，即，所以，所以故答案為：．四、解答題：本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知，圓為的外接圓．（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線被截得的弦長為，求直線的方程．解：（1）法一：設(shè)圓方程為，把點(diǎn)代入方程得，解得.故圓的方程為．法二：由與可得線段的中點(diǎn)為，由直線的斜率，則線段的中垂線的斜率不存在，可得線段AB的中垂線為，同理可得線段BC的中垂線為，聯(lián)立方程，解得.所以圓心為，半徑，故圓的方程為．法三：直線AC的斜率，直線BC的斜率，所以，即直線，故線段為圓的直徑．故圓心為，半徑，所以圓的方程為．（2）法一：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則的方程為，此時(shí)，直線與圓相交于點(diǎn)和，所以直線與圓相交的弦長為，符合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，圓的方程，所以圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交的弦長為，所以設(shè)圓心到直線的距離，則，即，解得，綜上，直線的方程為或．法二：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則的方程為，此時(shí)，直線與圓相交于點(diǎn)和，所以直線與圓相交的弦長為，符合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，即，設(shè)直線與圓相交P，Q兩點(diǎn)，其中，所以，故，因?yàn)?，所以解得，滿足：，綜上，直線的方程為或．法三：為原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線被截得的弦長為PQ，因?yàn)閳A的方程，所以圓心為，半徑．由于，故在圓上，由知滿足條件的直線有2條，如下圖：由，圓與軸交于可知，所以直線符合題意．因?yàn)閳A與軸正半軸交于，則在中，，所以直線也符合題意，解得直線即．綜上，直線的方程為或．18.已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，為和的等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）法1：設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)闉楹偷牡缺戎许?xiàng)，可得，即，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．法2：設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)闉楹偷牡缺戎许?xiàng)，可得，即，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，可得，設(shè)，可得，則，可得，兩式相減可得，所以，則．19.已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且與直線相切，記該動圓圓心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）設(shè)，動圓的半徑，整理可得．故曲線的方程為.（2）法一：設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由可得，由已知直線斜率必不為0，故可設(shè)直線，聯(lián)立方程，可得，故，解得，故，．法二：設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由可得，若直線的斜率不存在，則，不符合題意，舍去；設(shè)直線，聯(lián)立方程可得，，解得，，，解得．原點(diǎn)到直線的距離，故的面積.20.三棱臺中，．（1）若與交于點(diǎn)，求證：平面；（2）若平面平面與底面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）法1、連接，設(shè)與交于點(diǎn)，在三棱臺中，可得因，所以，同理，因?yàn)?，所以與重合，即，在中，，且平面，平面，所以平面.法2、在三棱臺中，可得，因?yàn)?，所以，同理，則，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面ABED，所以平面，取中點(diǎn)，連接，可得，所以平面，所以與底面所成角為，在直角中，，所以，因?yàn)?，所以，所以，過作，垂足為，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又由，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.21.第二十四屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動會開幕式上的主火炬如圖一，這是歷史上第一座由所有參賽國家和地區(qū)的名字匯聚成的大雪花．沒有天馬行空的點(diǎn)火方式，也沒有赫赫炎炎的劇烈燃燒，但卻清晰地傳遞了低碳環(huán)保理念，一朵雪花照亮了“雙奧之城”北京，也將照亮全人類的綠色未來．如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法是從一個(gè)正三角形開始，把每條邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個(gè)“雪花”狀的圖案．已知原正三角形（圖二①）的邊長為3，并將圖二中的第個(gè)圖的面積記為．（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并探究是否存在超過圖二①面積2倍的圖形．解：（1）根據(jù)三角形面積公式得，．（2）圖二中的①，②，③，④，中的圖形依次記為，它的邊數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則圖形的邊數(shù)為；從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)為；從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是．所以，即．所以當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，符合上式，所以．若存在，得，整理得，顯然矛盾，所以不存在超過圖二①面積2倍的圖形22.已知橢圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上不同于的點(diǎn).（1）若直線的斜率分別為，求的最小值；（2）已知直線，直線分別交于P、Q兩點(diǎn)，為PQ中點(diǎn)．試判斷直線MN與的位置關(guān)系．解：（1）取代入可得，所以，設(shè)，則.法一：所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）所以的最小值為1．法二：則，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．所以的最小值為1．（2）如下圖，由題意可知，法一：直線，直線取代入可得，則即又因?yàn)?，所以，則直線的斜率，則直線，整理得，即將與聯(lián)立得：，則，所以直線與橢圓相切.法二：由直線，令，則則，同理所以中點(diǎn)為，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即．將與聯(lián)立得：，即，即，即，得到唯一解，所以直線與橢圓相切.福建省泉州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，若直線與垂直，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的傾斜角為，斜率，因?yàn)?，所以，即，故選:C．2.已知數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A3.橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)所成的面為橢球面，橢球面鏡一般指橢球面反射鏡,老花眼鏡、放大鏡和膠片電影放映機(jī)聚光燈的反射鏡等鏡片都是這種橢球面鏡片.從橢球面鏡的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢球面鏡反射后，必經(jīng)過橢球面鏡的另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一個(gè)軸截面長軸長為的橢球面鏡,從其一焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)兩次反射后返回原焦點(diǎn)，所經(jīng)過的路程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓的定義可知光線從一個(gè)焦點(diǎn)經(jīng)反射經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，其路程為長軸長，再由第二個(gè)焦點(diǎn)經(jīng)反射返回第一個(gè)焦點(diǎn)的路程仍為長軸長，所以經(jīng)過的路程總共為．故選:B．4.四棱錐的底面為矩形，平面，在棱上，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，設(shè)，可得，則，所以．故選：B．5.已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】如圖，不妨設(shè)為左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，法一：設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)P在頂點(diǎn)時(shí)取等號），所以，即，；法二：，，，當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最小值，故，得.故選：A．6.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則使的最小整數(shù)（）A.12 B.13 C.24 D.25【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，且，得，所以，則數(shù)列的公差，所以數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以使成立的最小的為24，故選：C．7.已知，若直線上有且只有一點(diǎn)滿足，則（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】設(shè)動點(diǎn)，由題意得，化簡可得，故動點(diǎn)的軌跡方程為．動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，且在直線上，因?yàn)橹本€上有且只有一點(diǎn)滿足，所以直線與圓相切，且切點(diǎn)為，由，得，所以或，故選：D．8.棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，若，則的最大值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】C【解析】如圖，取中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，平面，所以；，，，所以，所以，，，所以；’可證，所以平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，的四等分點(diǎn)滿足，的四等分點(diǎn)滿足，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；由已知有：，，所以，，，，所以，所以，平面，平面，平面；平面，平面，可證平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫娼?jīng)過的中點(diǎn)，由已知可得點(diǎn)軌跡為四邊形的邊界（不包括內(nèi)部和點(diǎn)），所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取最大值，為。故選：C．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.已知圓和圓，則（）A.兩圓的公共弦所在的直線方程為B.圓上到直線的距離為1的點(diǎn)恰有2個(gè)C.圓的內(nèi)部與圓的內(nèi)部的公共部分的周長為D.若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則的最大值為6【答案】AD【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑；可得，即，可知兩圓相交.對于選項(xiàng)A：兩圓的公共弦所在的直線方程為：，即，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)閳A心到直線的距離，且圓半徑為2，可知圓與直線相交，而垂直且到距離為，由知軸與圓相切，故是圓被所截劣弧上唯一到距離為1的點(diǎn)；過作直線的平行線，則和軸是平面上到距離為1的所有點(diǎn)的集合，而和圓相交于點(diǎn)和點(diǎn)；如下圖示，所以共3點(diǎn)符合題意，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：直線與軸交于點(diǎn)，交兩圓于S，T，在中，則，可得，即，可得弓形TOS的周長為，故所求公共部分周長為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)M，N和兩圓圓心共線，且在兩圓心的兩側(cè)時(shí)，最大，所以最大值為圓心距和兩個(gè)半徑的和，故D正確．故選：AD．10.已知空間向量，則（）A.B.在上的投影向量為C.若向量，則點(diǎn)在平面內(nèi)D.向量是與平行的一個(gè)單位向量【答案】ABD【解析】由已知可得，A正確；由于，所以在上的投影向量即為，B正確；若在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x，y，使得，而,所以，上述方程組無解，故點(diǎn)E不在平面ABC內(nèi)，C錯(cuò)誤;由，故，且，所以正確．故選：ABD．11.已知分別是數(shù)列的前項(xiàng)和,，,則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以.故A正確.對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，，兩式作差可得，，所以，.所以，從第2項(xiàng)開始，是以2為公比的等比數(shù)列，所以，.檢驗(yàn)，時(shí)，，所以，.故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以?故C正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)恒成立，所以，，當(dāng)時(shí)恒成立.又時(shí)，滿足，所以，.故D正確.故選：ACD.12.已知曲線（非零常數(shù)），則（）A.原點(diǎn)是的對稱中心B.直線與恒有兩個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，直線是的漸近線D.當(dāng)時(shí)，直線為的對稱軸【答案】ACD【解析】對于A中，在上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)代入方程得，故點(diǎn)在上，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以A正確；對于B中，聯(lián)立方程，整理得，可得，當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤；對于C中，當(dāng)時(shí)，曲線，整理為，在曲線上任取一點(diǎn)，則到直線的距離，當(dāng)逐漸增大時(shí)，逐漸減小，當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近0，則直線是的漸近線，所以C正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，曲線整理為，在上任取一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，且，即，則，即，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在上，所以直線為的對稱軸，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡相應(yīng)位置.13.直線恒過定點(diǎn)______.【答案】【解析】由直線，可化，聯(lián)立方程組，解得，所以直線恒過定點(diǎn)．故答案為：．14.已知是拋物線上縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)，則與的焦點(diǎn)的距離為______.【答案】【解析】由C：可得的橫坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：由拋物線的定義可得，與的距離．故答案為：．15.在空間直角坐標(biāo)系中，若平面過點(diǎn)，且以向量不全為零為法向量，則平面的方程為．已知平面的方程為，則點(diǎn)到平面平面的距離為______.【答案】【解析】由平面的方程為，可得平面過點(diǎn)，且其法向量為，又由點(diǎn)，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：16.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,,且,,，則______.【答案】582【解析】由已知可得所以，于是．故，即，所以，所以故答案為：．四、解答題：本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知，圓為的外接圓．（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線被截得的弦長為，求直線的方程．解：（1）法一：設(shè)圓方程為，把點(diǎn)代入方程得，解得.故圓的方程為．法二：由與可得線段的中點(diǎn)為，由直線的斜率，則線段的中垂線的斜率不存在，可得線段AB的中垂線為，同理可得線段BC的中垂線為，聯(lián)立方程，解得.所以圓心為，半徑，故圓的方程為．法三：直線AC的斜率，直線BC的斜率，所以，即直線，故線段為圓的直徑．故圓心為，半徑，所以圓的方程為．（2）法一：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則的方程為，此時(shí)，直線與圓相交于點(diǎn)和，所以直線與圓相交的弦長為，符合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，圓的方程，所以圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交的弦長為，所以設(shè)圓心到直線的距離，則，即，解得，綜上，直線的方程為或．法二：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則的方程為，此時(shí)，直線與圓相交于點(diǎn)和，所以直線與圓相交的弦長為，符合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，即，設(shè)直線與圓相交P，Q兩點(diǎn)，其中，所以，故，因?yàn)?，所以解得，滿足：，綜上，直線的方程為或．法三：為原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線被截得的弦長為PQ，因?yàn)閳A的方程，所以圓心為，半徑．由于，故在圓上，由知滿足條件的直線有2條，如下圖：由，圓與軸交于可知，所以直線符合題意．因?yàn)閳A與軸正半軸交于，則在中，，所以直線也符合題意，解得直線即．綜上，直線的方程為或．18.已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，為和的等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）法1：設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)闉楹偷牡缺戎许?xiàng)，可得，即，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．法2：設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)闉楹偷牡缺戎许?xiàng)，可得，即，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，可得，設(shè)，可得，則，可得，兩式相減可得，所以，則．19.已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且與直線相切，記該動圓圓心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）設(shè)，動圓的半徑，整理可得．故曲線的方程為.（2）法一：設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由可得，由已知直線斜率必不為0，故可設(shè)直線，聯(lián)立方程，可得，故，解得，故，．法二：設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由可得，若直線的斜率不存在，則，不符合題意，舍去；設(shè)直線，聯(lián)立方程可得，，解得，，，解得．原點(diǎn)到直線的距離，故的面積.20.三棱臺中，．（1）若與交于點(diǎn)，求證：平面；（2）若平面平面與底面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）法1、連接，設(shè)與交于點(diǎn)，在三棱臺中，可得因，所以，同理，因?yàn)椋耘c重合，即，在中，，且平面，平面，所以平面.法2、在三棱臺中，可得，因?yàn)椋?，同理，則，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>