2023-2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則的子集個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】令，解得或，故，則的子集個數(shù)是個.故選：D.2.已知，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故“”是“”的充要條件.

故選：B.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，，，，，∴零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是.故選：D.4.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，又定義域為，故函數(shù)為偶函數(shù)，可排除B、D，當(dāng)時，，故可排除C.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為，，故點(diǎn)在第三象限，故，，AB錯誤；，因為在上單調(diào)遞減，所以，故，，所以，C錯誤，D正確.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，即，即，故或，由，故需舍去，即，又，故，則.

故選：A.7.在當(dāng)今這個時代，的研究方興未艾．有消息稱，未來通訊的速率有望達(dá)到，香農(nóng)公式是通信理論中的重要公式，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S和信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的的大?。渲薪凶鲂旁氡龋舨桓淖儙扺，而將信噪比從3提升到99，則最大信息傳遞率C大約會提升到原來的（）（參考數(shù)據(jù)）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】，，則.故選：B.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，即，，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】解一元二次不等式，得，所以；，由于，結(jié)合補(bǔ)集的定義，顯然，選項A不正確；同時可得，選項B正確；由于，且，可得，選項C正確；由于，且，可得，選項D正確.故選：BCD.10.已知定義域為的函數(shù)，使，則下列函數(shù)中符合條件的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A選項，，故A選項符合題意；對于B選項，，當(dāng)，即時等號成立，故B選項不符合題意；對于C選項，，故C選項符合題意；對于D選項，由題意得，故D選項不符合題意.故選：AC.11.如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為．設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間：（單位：s）之間的關(guān)系為下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，所以振幅且，可得，所以A、B正確；又由筒車的軸心O距離水面的高度為，可得，所以D錯誤；根據(jù)題意，當(dāng)時，，即，可得，所以C正確.故選：ABC.12.已知函數(shù)，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.的最大值為【答案】BC【解析】由于，所以，即，如圖所示：對于選項A，，，不滿足，選項A不正確；對于選項B，，結(jié)合圖象，的最小正周期為，選項B正確；對于選項C，，的圖象關(guān)于直線對稱，選項C正確；對于選項D，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，由于，，的最大值為，選項D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分．共20分.13.命題“”的否定是___________________．【答案】“”【解析】命題“”的否定是“”.故答案為：“”.14.已知，則______________．【答案】【解析】由題意，，∴，.故答案為：.15.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，則函數(shù)的值域是______________．【答案】【解析】由函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)時，可得，則，可得，因為，可得，所以函數(shù)的值域是.故答案為：.16.如圖，要在一塊半徑為6．圓心角為的扇形鐵皮POQ中截取兩塊矩形鐵皮ABCD和EFGC，使點(diǎn)A在弧PQ上，點(diǎn)B在半徑OQ上，邊CD與邊GC在半徑OP上，且點(diǎn)F為線段OB的中點(diǎn)．設(shè)，兩塊矩形鐵皮的面積之和為S，則S的最大值為_________，此時_________．【答案】【解析】由題意知，一塊半徑為6，圓心角為的扇形鐵皮，可得且，在直角中，，所以，所以，所以矩形的面積為，因為為的中點(diǎn)，所以，所以矩形的面積為，所以兩塊矩形鐵皮的面積之和為：，其中，且，所以，當(dāng)時，取得最大值，此時，即，所以，因為，所以，即，解得或（不合題意，舍去），綜上可得，當(dāng)時，取得最大值.故答案為：9.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）求不等式的解集．解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故函數(shù)的最大值為.（2），，即，解得或，又，故或，即不等式的解集為或.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，求的值．解：（1），則，即函數(shù)的最小正周期為.（2），故，又，故，.19.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．解：（1）為奇函數(shù)，理由如下：定義域為R，又，故為奇函數(shù).（2）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，且，則，因為，且，所以，當(dāng)時，，即，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，故單調(diào)遞增.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．解：（1），令，則，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，則，當(dāng)時，，則當(dāng)時，即時，有最小值，且最小值為，即在區(qū)間上的最小值為.21.某地建設(shè)了一個文化館，該文化館對外開放后第1年參觀人數(shù)為12萬人，第2年參觀人數(shù)為14萬人．某課外興趣小組綜合各種因素進(jìn)行預(yù)測：①該文化館每年的參觀人數(shù)會逐年增加；②該文化館每年參觀人數(shù)都不超過16萬人．該興趣小組想找一個函數(shù)來擬合該文化館對外開放后第年與當(dāng)年參觀人數(shù)y（單位：萬人）之間的關(guān)系．（1）若選函數(shù)，試確定的值，并判斷該函數(shù)是否符合預(yù)測①與預(yù)測②；（2）若選函數(shù)，要使得該函數(shù)同時符合預(yù)測①與預(yù)測②，試確定的取值范圍．解：（1）由于函數(shù)，第1年參觀人數(shù)為12萬人，即；第2年參觀人數(shù)為14萬人，即；聯(lián)立可得：，所以，設(shè)，，且，得，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合預(yù)測①，同時，，符合預(yù)測②.（2）由于函數(shù)，第1年參觀人數(shù)為12萬人，即；第2年參觀人數(shù)為14萬人，即；聯(lián)立可得：，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若符合預(yù)測①，則或，當(dāng)時，，符合預(yù)測①，此時，，，，再符合預(yù)測②，只需即可，由，且，得：；當(dāng)時，，符合預(yù)測①，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同時，，解方程，可得，其中，，，即當(dāng)時，，不符合預(yù)測②；綜上所述，的取值范圍是：.22.已知函數(shù)的定義域為，，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減．（1）求證：；（2）求的值；（3）當(dāng)時，求不等式的解集．解：（1）令，則有，由，故.（2）令，則有，則，即，故，即，則，即，故，即有，故函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，令、，則有，即，令、，則有，即，由，故，，，，故.（3）令，則有，即，則，即可化為，即解，即，即，由、，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故是該不等式的解，又，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又、，故是該不等式的解，又函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，故該不等式的解集為.廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則的子集個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】令，解得或，故，則的子集個數(shù)是個.故選：D.2.已知，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故“”是“”的充要條件.

故選：B.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，，，，，∴零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是.故選：D.4.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，又定義域為，故函數(shù)為偶函數(shù)，可排除B、D，當(dāng)時，，故可排除C.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為，，故點(diǎn)在第三象限，故，，AB錯誤；，因為在上單調(diào)遞減，所以，故，，所以，C錯誤，D正確.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，即，即，故或，由，故需舍去，即，又，故，則.

故選：A.7.在當(dāng)今這個時代，的研究方興未艾．有消息稱，未來通訊的速率有望達(dá)到，香農(nóng)公式是通信理論中的重要公式，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S和信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的的大小．其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從3提升到99，則最大信息傳遞率C大約會提升到原來的（）（參考數(shù)據(jù)）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】，，則.故選：B.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，即，，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】解一元二次不等式，得，所以；，由于，結(jié)合補(bǔ)集的定義，顯然，選項A不正確；同時可得，選項B正確；由于，且，可得，選項C正確；由于，且，可得，選項D正確.故選：BCD.10.已知定義域為的函數(shù)，使，則下列函數(shù)中符合條件的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A選項，，故A選項符合題意；對于B選項，，當(dāng)，即時等號成立，故B選項不符合題意；對于C選項，，故C選項符合題意；對于D選項，由題意得，故D選項不符合題意.故選：AC.11.如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為．設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間：（單位：s）之間的關(guān)系為下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，所以振幅且，可得，所以A、B正確；又由筒車的軸心O距離水面的高度為，可得，所以D錯誤；根據(jù)題意，當(dāng)時，，即，可得，所以C正確.故選：ABC.12.已知函數(shù)，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.的最大值為【答案】BC【解析】由于，所以，即，如圖所示：對于選項A，，，不滿足，選項A不正確；對于選項B，，結(jié)合圖象，的最小正周期為，選項B正確；對于選項C，，的圖象關(guān)于直線對稱，選項C正確；對于選項D，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，由于，，的最大值為，選項D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分．共20分.13.命題“”的否定是___________________．【答案】“”【解析】命題“”的否定是“”.故答案為：“”.14.已知，則______________．【答案】【解析】由題意，，∴，.故答案為：.15.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，則函數(shù)的值域是______________．【答案】【解析】由函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)時，可得，則，可得，因為，可得，所以函數(shù)的值域是.故答案為：.16.如圖，要在一塊半徑為6．圓心角為的扇形鐵皮POQ中截取兩塊矩形鐵皮ABCD和EFGC，使點(diǎn)A在弧PQ上，點(diǎn)B在半徑OQ上，邊CD與邊GC在半徑OP上，且點(diǎn)F為線段OB的中點(diǎn)．設(shè)，兩塊矩形鐵皮的面積之和為S，則S的最大值為_________，此時_________．【答案】【解析】由題意知，一塊半徑為6，圓心角為的扇形鐵皮，可得且，在直角中，，所以，所以，所以矩形的面積為，因為為的中點(diǎn)，所以，所以矩形的面積為，所以兩塊矩形鐵皮的面積之和為：，其中，且，所以，當(dāng)時，取得最大值，此時，即，所以，因為，所以，即，解得或（不合題意，舍去），綜上可得，當(dāng)時，取得最大值.故答案為：9.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）求不等式的解集．解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故函數(shù)的最大值為.（2），，即，解得或，又，故或，即不等式的解集為或.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，求的值．解：（1），則，即函數(shù)的最小正周期為.（2），故，又，故，.19.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．解：（1）為奇函數(shù)，理由如下：定義域為R，又，故為奇函數(shù).（2）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，且，則，因為，且，所以，當(dāng)時，，即，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，故單調(diào)遞增.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．解：（1），令，則，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，則，當(dāng)時，，則當(dāng)時，即時，有最小值，且最小值為，即在區(qū)間上的最小值為.21.某地建設(shè)了一個文化館，該文化館對外開放后第1年參觀人數(shù)為12萬人，第2年參觀人數(shù)