2023-2024學(xué)年河南省商丘市中州聯(lián)盟高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省商丘市中州聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若點是橢圓上任意一點,分別是的左、右焦點,則（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．2.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)易知.故選：C.3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)與直線平行直線方程是，代入點，得，解得，所以所求的直線方程是．故選:A4.函數(shù)在上的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由題，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以.故選：B.5.已知平面的一個法向量是平面內(nèi)一點，是平面外一點，則“”是“點到平面的距離為1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，若點到平面的距離為1，則，解得或，故“”是“點到平面的距離為1”的充分不必要條件．故選:A．6.若數(shù)列an滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則有，.故.故選：C.7.已知圓關(guān)于直線對稱，過點分別作圓的兩條切線，切點分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓可化為．可知圓心為，半徑，因為圓關(guān)于對稱，即直線過圓心，則，解得，可得，且，所以．故選：D．8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，故單調(diào)遞增.又，故可轉(zhuǎn)化為，即，由單調(diào)遞增可得，解得或，即不等式的解集為.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】因為，對于選項A：若，則，所以，A正確；對于選項B：若，則，解得，故B錯誤；對于選項C：若，則，解得，故C正確；對于選項D：若，則，解得，故D錯誤．故選：AC．10.已知等差數(shù)列的前項和為，無論首項和公差如何變化，始終是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，若始終是一個定值，所以是定值，故B正確；又因為，，所以與也為定值，所以C，D正確；沒有足夠條件判斷A，故A錯誤；故選：BCD．11.已知雙曲線與直線無公共點，過的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點，若，則的離心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，則的右焦點到的距離，即，因為，則，又因為，則，可得，又因為與直線無公共點，則，所以的離心率．故選：BC．12.如圖,在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動點,且滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，若，則C.當(dāng)時，直線與直線所成角的大小為D.當(dāng)時，三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)時，分別是線段和線段的中點，所以也是的中點，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以，，，滿足，故B正確；對于C，過作交于，可知面，與直線成角即為，當(dāng)時，，在中，則，所以，所以，故C錯誤；對于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某小球可以看作一個質(zhì)點，其相對于地面的高度（單位：m）與時間（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系，則該小球在時的瞬時速度為______m/s.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，則，所以該小球在時的瞬時速度為.故答案為：.14.已知函數(shù)，則________．【答案】【解析】因為，則，令，則，解得，可得，所以．故答案為：.15.已知點是拋物線上任意一點，則點到直線與到直線的距離之和的最小值是________．【答案】【解析】拋物線的焦點的坐標(biāo)為2,0，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可得點到直線距離等于PF，過點作直線的垂線，垂足為，所以點到直線與到直線的距離之和等于，由兩點之間線段最短可得，過作直線的垂線，垂足為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立．故答案為：.16.已知數(shù)列的前項和為，且，.設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前40項和為______.【答案】973【解析】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由，得，兩式相減，得，即，，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，因此，，即是數(shù)列中的第項，，，數(shù)列的前40項和是由數(shù)列的前45項去掉數(shù)列的前5項后構(gòu)成的，數(shù)列的前40項和為．故答案為：973．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為等差數(shù)列的前項和，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項和.解：（1）設(shè)an的公差為，由，，得,解得.故an的通項公式為.（2）由，，得，所以，由可得數(shù)列bn是等差數(shù)列，因首項為1，公差為1，故.18.已知函數(shù)．（1）求在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）由，的定義域為，得，所以，又，所以在點處的切線方程為，即；（2），由，得，或，當(dāng)或時，，在上均單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；故函數(shù)在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.故函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值為，極小值為.19.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,，點是的中點，點分別是線段上的點,且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因為，且.所以．因為，所以，即．（2）由（1）得．設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得；且符合，所以．（2）由（1）可知，則，可得，兩式相減得，所以．21.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)y=fx在上的值域（）；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)a=2時，，定義域為，則，令，得x=1或(舍去)，當(dāng)時，，，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=1時，fx所以當(dāng)，，，又因為，因為，此時，，故fx在上的值域為.（2），，當(dāng)時，，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得或x=1，當(dāng)a>0時，時，，當(dāng)時，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)a=-1時，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，fx在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)a=-1時，fx區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.22.若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點在同一坐標(biāo)軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線．已知橢圓的共軛雙曲線為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，直線（不過點）與相交于、兩點，且，求點到直線的距離的最大值．解：（1）由題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Mx1,y1、聯(lián)立，得，所以且，即且，由韋達定理可得，，．因為，且，，所以所以或．當(dāng)時，直線恒過點，不合題意，當(dāng)時，直線恒過點，合乎題意；當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，則、因為，所以，解得或（舍去）．所以直線恒過點，所以當(dāng)直線時，點到直線的距離最大，距離的最大值為．河南省商丘市中州聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若點是橢圓上任意一點,分別是的左、右焦點,則（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．2.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)易知.故選：C.3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)與直線平行直線方程是，代入點，得，解得，所以所求的直線方程是．故選:A4.函數(shù)在上的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由題，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以.故選：B.5.已知平面的一個法向量是平面內(nèi)一點，是平面外一點，則“”是“點到平面的距離為1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，若點到平面的距離為1，則，解得或，故“”是“點到平面的距離為1”的充分不必要條件．故選:A．6.若數(shù)列an滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則有，.故.故選：C.7.已知圓關(guān)于直線對稱，過點分別作圓的兩條切線，切點分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓可化為．可知圓心為，半徑，因為圓關(guān)于對稱，即直線過圓心，則，解得，可得，且，所以．故選：D．8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，故單調(diào)遞增.又，故可轉(zhuǎn)化為，即，由單調(diào)遞增可得，解得或，即不等式的解集為.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】因為，對于選項A：若，則，所以，A正確；對于選項B：若，則，解得，故B錯誤；對于選項C：若，則，解得，故C正確；對于選項D：若，則，解得，故D錯誤．故選：AC．10.已知等差數(shù)列的前項和為，無論首項和公差如何變化，始終是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，若始終是一個定值，所以是定值，故B正確；又因為，，所以與也為定值，所以C，D正確；沒有足夠條件判斷A，故A錯誤；故選：BCD．11.已知雙曲線與直線無公共點，過的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點，若，則的離心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，則的右焦點到的距離，即，因為，則，又因為，則，可得，又因為與直線無公共點，則，所以的離心率．故選：BC．12.如圖,在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動點,且滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，若，則C.當(dāng)時，直線與直線所成角的大小為D.當(dāng)時，三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)時，分別是線段和線段的中點，所以也是的中點，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以，，，滿足，故B正確；對于C，過作交于，可知面，與直線成角即為，當(dāng)時，，在中，則，所以，所以，故C錯誤；對于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某小球可以看作一個質(zhì)點，其相對于地面的高度（單位：m）與時間（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系，則該小球在時的瞬時速度為______m/s.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，則，所以該小球在時的瞬時速度為.故答案為：.14.已知函數(shù)，則________．【答案】【解析】因為，則，令，則，解得，可得，所以．故答案為：.15.已知點是拋物線上任意一點，則點到直線與到直線的距離之和的最小值是________．【答案】【解析】拋物線的焦點的坐標(biāo)為2,0，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可得點到直線距離等于PF，過點作直線的垂線，垂足為，所以點到直線與到直線的距離之和等于，由兩點之間線段最短可得，過作直線的垂線，垂足為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立．故答案為：.16.已知數(shù)列的前項和為，且，.設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前40項和為______.【答案】973【解析】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由，得，兩式相減，得，即，，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，因此，，即是數(shù)列中的第項，，，數(shù)列的前40項和是由數(shù)列的前45項去掉數(shù)列的前5項后構(gòu)成的，數(shù)列的前40項和為．故答案為：973．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為等差數(shù)列的前項和，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項和.解：（1）設(shè)an的公差為，由，，得,解得.故an的通項公式為.（2）由，，得，所以，由可得數(shù)列bn是等差數(shù)列，因首項為1，公差為1，故.18.已知函數(shù)．（1）求在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）由，的定義域為，得，所以，又，所以在點處的切線方程為，即；（2），由，得，或，當(dāng)或時，，在上均單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；故函數(shù)在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.故函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值為，極小值為.19.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,，點是的中點，點分別是線段上的點,且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因為，且.所以．因為，所以，即．（2）由（1）得．設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得；且符合，所以．（2）由