2023-2024學(xué)年湖北省十堰市高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知是橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知點(diǎn)在橢圓上，所以由橢圓的定義可得．故D正確.故選：D.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得．故選：B3.直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【解析】因?yàn)橹本€可化為，所以直線過定點(diǎn)，而，所以該定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn).故選：C.4.數(shù)列滿足，且，則（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由題意知，所以，所以可得是周期為2的周期數(shù)列，則．故A正確.故選：A.5.過點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線的夾角的余弦值為，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】將的方程轉(zhuǎn)化為，可知的半徑為．設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，連接，如圖，由兩切線夾角的余弦值為，則夾角，且，所以在中，即．故A正確.故選：A.6.已知，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，得，對于選項(xiàng)A，由，得無解，故選項(xiàng)A錯誤，對于選項(xiàng)B，由，得無解，故選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，由，得無解，故選項(xiàng)C錯誤，對于選項(xiàng)D,，得，故選項(xiàng)D正確，故選：D.7.已知是拋物線的焦點(diǎn)，的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線垂線，垂足為，則，設(shè)，則，則．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，又，則．故選：B.8.若是函數(shù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】由題可知，，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項(xiàng)，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項(xiàng)，若是等差中項(xiàng)，則，又，解得，則，故，若是等差中項(xiàng)，則，又，解得，則．故．故選：D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的公差為，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由題知數(shù)列為等差數(shù)列，所以可知得，解得，所以，故A、D正確.故選：AD.10.點(diǎn)到直線的距離相等，則的值可能為（）A.－2 B.2 C.9 D.11【答案】BD【解析】①若點(diǎn)在的同側(cè)，則直線，即，解得，②若在的兩側(cè)，則經(jīng)過線段的中點(diǎn)，即，故選：BD.11.在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為的中點(diǎn)，則 B.若為的中點(diǎn)，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長的最小值為【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．若為的中點(diǎn)，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，周長最小，此時(shí)，翻折前，故的周長的最小值為，D正確．故選：BCD12.某玩家玩擲骰子跳格子的游戲，規(guī)則如下：投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，若兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，則往前跳兩格，否則往前跳一格．從第0格起跳，記跳到第格的概率為，則（）A. B.C.數(shù)列為等差數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的概率，故玩家每次往前跳兩格的概率為，往前跳一格的概率為，則，A正確，B不正確．由題可知，，則，故數(shù)列為常數(shù)列，也是等差數(shù)列，C正確．又，得，因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，則，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.向量在向量方向上的投影向量的模為______．【答案】【解析】向量在向量方向上的投影向量的模為,故答案為：.14.用1，2，5這三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)比215大的概率為______．【答案】【解析】構(gòu)成三位數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間，有6個(gè)樣本點(diǎn)，比215大的事件，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以所求的概率．故答案為：15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______．【答案】160【解析】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，則，解得或（舍去），則，解得．故答案為：16016.是雙曲線的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，過作與直線夾角為的直線，并與相交于點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】過作的垂線，垂足為，如圖，因?yàn)榕c的夾角為，所以，設(shè)的右焦點(diǎn)為，則，到的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線，圓．（1）求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；（2）若圓與關(guān)于直線對稱，求的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）將的方程轉(zhuǎn)化為，可知的圓心為，半徑為4．因?yàn)椋钥稍O(shè)的一般式方程為，將代入，解得，故的一般式方程為．（2）設(shè)的圓心為，由與關(guān)于直線對稱，可得，解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18.甲、乙、丙三人獨(dú)立地解答一道試題，各人能答對的概率分別為，其中．（1）若，求這三人中恰有一人答對該試題的概率；（2）當(dāng)這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時(shí)，求這三人中至少有兩人答對該試題的概率．解：（1）因?yàn)?，所以這三人中恰有一人答對該試題的概率．（2）這三人都沒答對該試題的概率，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)這三人中恰有一人答對該試題的概率，這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時(shí)，三人至少有兩人答對該試題的概率．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，橫坐標(biāo)非負(fù)的動點(diǎn)到軸的距離為，且，記點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若是上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求．解：（1）設(shè)，則．由，可得，整理得的方程為．（2）設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，則，則．所以，則直線的方程為，顯然直線經(jīng)過點(diǎn)．由（1）可知，是以為焦點(diǎn)的拋物線，所以．20.在等差數(shù)列中，，若數(shù)列對任意，都有，成立，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，求的最小值．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，則，解得，所以，即，由，兩式相減得，又，得，所以，得到，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由，得，所以，所以，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為64．21.在圖1所示的平面多邊形中，四邊形為菱形，與均為等邊三角形．分別將沿著，翻折，使得四點(diǎn)恰好重合于點(diǎn)，得到四棱錐．（1）若，證明：；（2）若二面角的余弦值為，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)．由題可知，，所以．又，平面，所以平面．取，如圖，則．由平面，可得，則．（2）連接，易證得平面，過點(diǎn)作，垂足為，則平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，得，從而，則，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得令，得．由圖可知，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?，解得．故的值?22.已知是橢圓上一點(diǎn)．（1）求的離心率；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直且斜率均存在的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，說明理由．解：（1）由題可知，則，解得，則，故的離心率．（2）為定值，且該定值是．求解過程如下：設(shè)方程為，聯(lián)立方程組整理得，則，則同理可得因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，則，即為定值，且該定值是．湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知是橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知點(diǎn)在橢圓上，所以由橢圓的定義可得．故D正確.故選：D.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得．故選：B3.直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【解析】因?yàn)橹本€可化為，所以直線過定點(diǎn)，而，所以該定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn).故選：C.4.數(shù)列滿足，且，則（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由題意知，所以，所以可得是周期為2的周期數(shù)列，則．故A正確.故選：A.5.過點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線的夾角的余弦值為，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】將的方程轉(zhuǎn)化為，可知的半徑為．設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，連接，如圖，由兩切線夾角的余弦值為，則夾角，且，所以在中，即．故A正確.故選：A.6.已知，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，得，對于選項(xiàng)A，由，得無解，故選項(xiàng)A錯誤，對于選項(xiàng)B，由，得無解，故選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，由，得無解，故選項(xiàng)C錯誤，對于選項(xiàng)D,，得，故選項(xiàng)D正確，故選：D.7.已知是拋物線的焦點(diǎn)，的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線垂線，垂足為，則，設(shè)，則，則．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，又，則．故選：B.8.若是函數(shù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】由題可知，，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項(xiàng)，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項(xiàng)，若是等差中項(xiàng)，則，又，解得，則，故，若是等差中項(xiàng)，則，又，解得，則．故．故選：D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的公差為，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由題知數(shù)列為等差數(shù)列，所以可知得，解得，所以，故A、D正確.故選：AD.10.點(diǎn)到直線的距離相等，則的值可能為（）A.－2 B.2 C.9 D.11【答案】BD【解析】①若點(diǎn)在的同側(cè)，則直線，即，解得，②若在的兩側(cè)，則經(jīng)過線段的中點(diǎn)，即，故選：BD.11.在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為的中點(diǎn)，則 B.若為的中點(diǎn)，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長的最小值為【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．若為的中點(diǎn)，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，周長最小，此時(shí)，翻折前，故的周長的最小值為，D正確．故選：BCD12.某玩家玩擲骰子跳格子的游戲，規(guī)則如下：投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，若兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，則往前跳兩格，否則往前跳一格．從第0格起跳，記跳到第格的概率為，則（）A. B.C.數(shù)列為等差數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的概率，故玩家每次往前跳兩格的概率為，往前跳一格的概率為，則，A正確，B不正確．由題可知，，則，故數(shù)列為常數(shù)列，也是等差數(shù)列，C正確．又，得，因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，則，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.向量在向量方向上的投影向量的模為______．【答案】【解析】向量在向量方向上的投影向量的模為,故答案為：.14.用1，2，5這三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)比215大的概率為______．【答案】【解析】構(gòu)成三位數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間，有6個(gè)樣本點(diǎn)，比215大的事件，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以所求的概率．故答案為：15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______．【答案】160【解析】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，則，解得或（舍去），則，解得．故答案為：16016.是雙曲線的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，過作與直線夾角為的直線，并與相交于點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】過作的垂線，垂足為，如圖，因?yàn)榕c的夾角為，所以，設(shè)的右焦點(diǎn)為，則，到的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線，圓．（1）求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；（2）若圓與關(guān)于直線對稱，求的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）將的方程轉(zhuǎn)化為，可知的圓心為，半徑為4．因?yàn)?，所以可設(shè)的一般式方程為，將代入，解得，故的一般式方程為．（2）設(shè)的圓心為，由與關(guān)于直線對稱，可得，解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18.甲、乙、丙三人獨(dú)立地解答一道試題，各人能答對的概率分別為，其中．（1）若，求這三人中恰有一人答對該試題的概率；（2）當(dāng)這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時(shí)，求這三人中至少有兩人答對該試題的概率．解：（1）因?yàn)?，所以這三人中恰有一人答對該試題的概率．（2）這三人都沒答對該試題的概率，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)這三人中恰有一人答對該試題的概率，這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時(shí)，三人至少有兩人答對該試題的概率．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，橫坐標(biāo)非負(fù)的動點(diǎn)到軸的距離為，且，記點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若是上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求．解：（1）設(shè)，則．由，可得，整理得的方程為．（2）設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，則，則