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高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分重點中學2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.拋物線的準線方程是()A. B. C. D.【答案】B【解析】對于拋物線,的準線方程是.故選:B.2.已知數(shù)列的前項和為,若,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意,所以.故選:C.3.若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓,則,解得.故選:D.4.九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具,以金屬絲制成9個圓環(huán),將圓環(huán)套裝在橫板或各式框架上,并貫以環(huán)柄.玩時,按照一定的程序反復操作,可使9個圓環(huán)分別解開,或合二為一.在某種玩法中,用表示解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù),滿足,且,則解下5個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()A.31 B.16 C.14 D.7【答案】A【解析】由可得,,,.最少移動次數(shù)為.故選:A.5.已知雙曲線的中心在原點,對稱軸為坐標軸,且經(jīng)過點,,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.的標準方程為 B.的離心率等于C.與雙曲線的漸近線不相同 D.直線與有且僅有一個公共點【答案】C【解析】對于A,由題意不妨設的方程為,所以有,解得,即的標準方程為,故A不符合題意;對于B,因為,所以,離心率為,故B不符合題意;對于C,令,都可以得到,即與雙曲線的漸近線相同,故C符合題意;對于D,聯(lián)立,消去化簡并整理得,,解得,,即直線與有且僅有一個公共點,故D不符合題意.故選:C.6.已知數(shù)列前項和為,且,設,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由得,兩式相減得,即,又,得,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以,所以,若數(shù)列遞增數(shù)列則恒成立,即恒成立,即恒成立,又,所以.故選:B.7.已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,直線,分別于拋物線交于點,.設直線,的斜率分別為,,則()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】拋物線的焦點為,由題意可知:可知直線與拋物線必相交,設,,,,則,設的方程為,聯(lián)立方程,消去并整理得,根據(jù)韋達定理得,即,同理可得,則,可得,設直線為,聯(lián)立方程,消去并整理得,根據(jù)韋達定理得,所以.故選:B.8.設直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點,,若點滿足,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】因為雙曲線的漸近線為,聯(lián)立方程組,,解得,,故,聯(lián)立方程組,,解得,,故,設為的中點,由中點坐標公式得,由題意得,故,則,可得,化簡得,即,故漸近線方程為.故選:A二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯的不得分)9.橢圓的離心率為,若直線與橢圓的一個交點的橫坐標,則的值可以為()A. B. C. D.【答案】AD【解析】由,消得到,由題有,解得,又,,得到,所以,故選:AD.10.已知等比數(shù)列的公比為,前項積為,若,,則()A. B. C. D.【答案】AC【解析】由已知,又,,所以,,A正確,B錯誤;,,,所以,C正確,D錯誤.故選:AC.11.已知拋物線(如圖),過拋物線焦點的直線自上而下,分別交拋物線和圓于,,,四點,則()A. B.C.當直線的斜率為時, D.【答案】ABD【解析】由題意可得,設直線方程為,Ax1,則,,所以,對于A,,故A正確,對于B,,B正確,對于C,當直線斜率為時,直線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程可得,解得,所以,所以,故C錯誤,對于D,,將代入可得,所以,等號成立當且僅當時等號成立,故D正確.故選:ABD.12.已知數(shù)列,滿足,,,,則下列選項正確的是()A. B.C.為遞增數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】因為,,,所以,,,,,,所以,A正確;又因為,,所以,所以,所以數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,所以,又明顯有,所以,所以,B正確;又因為,所以為遞增數(shù)列,C正確;因為,D錯誤.故選:ABC.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知等差數(shù)列前項的和為,則_________.【答案】【解析】依題意,又,所以,則,所以.故答案為:14.已知,是雙曲線的左焦點,是雙曲線右支上的動點,則的最小值為_________.【答案】7【解析】如圖所示:由題意,設為雙曲線右焦點,線段與雙曲線右支交于點,所以,等號成立當且僅當重合,所以的最小值為7.故答案為:7.15.已知數(shù)列滿足,,記數(shù)列的前項和為,則_________.【答案】56【解析】由遞推公式,可得,,……,;而.故答案為:56.16.已知橢圓的左焦點為,過原點的直線交橢圓于,兩點,點在第二象限,且(如圖),則橢圓的離心率為_________.【答案】【解析】設,,則,設橢圓的焦距為,則F-c,0,所以,,因為,所以,化簡得,所以即,所以或(舍),,又因為,所以,解得,所以橢圓的離心率.故答案為:.四、解答題(本大題共6小題,第17題10分,第題每題12分,共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知等差數(shù)列滿足,.(1)求的通項公式;(2)設數(shù)列的前項和為,且,若,求正整數(shù)的最小值.解:(1)設等差數(shù)列的公差為,則,解得,,故.(2)由(1)可得,則,所以,則數(shù)列是等差數(shù)列,故.因為,所以,所以,所以或.因為,所以的最小值是11.18.已知雙曲線的離心率為,焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程;(2)若為坐標原點,直線交雙曲線于兩點,求的面積.解:(1)由題意得:,令,則,又焦點到漸近線的距離為,所以,所以,所以,所以雙曲線的標準方程為;(2)設,,聯(lián)立方程組,消去整理得,則,,,所以,又原點到直線的距離,所以.19.為了保證海上平臺的生產(chǎn)安全,海事部門在某平臺的正東方向設立了觀測站,在平臺的正北方向設立了觀測站,它們到平臺的距離分別為12海里和海里,記海平面上到觀測站和平臺的距離之比為2的點的軌跡為曲線,規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域為安全預警區(qū).(1)如圖,以為坐標原點,,為,軸的正方向,建立平面直角坐標系,求曲線的方程;(2)海平面上有漁船從出發(fā),沿方向直線行駛,為使?jié)O船不進入預警區(qū),求的取值范圍.解:(1)根據(jù)已知條件設Px,y且,O0,0由,有,,,,整理有,它是以為圓心,8為半徑的圓.所以曲線的方程為:.(2),過的直線不過坐標原點且不與坐標軸垂直,所以直線截距式方程為,化為一般式方程為,根據(jù)題意,且,解得,所以綜上可知的取值范圍為.20.已知等比數(shù)列前四項和為30,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)在和之間插入1個數(shù),使、、成等差數(shù)列;在和之間插入2個數(shù)、,使、、、成等差數(shù)列;;在和之間插入個數(shù)、、、,使、、、、、成等差數(shù)列.①若,求;②若,求.解:(1)設的公比為,則:,則,所以.(2)①在和之間插入個數(shù)、、、,使、、、、、成等差數(shù)列,設其公差為,此數(shù)列首項為,末項為,則,,則,②,則,,則,故:.21.如圖,已知點是焦點為的拋物線上一點,,是拋物線上異于的兩點,且直線,的傾斜角互補,若直線的斜率為.(1)求證:直線的斜率為定值;(2)設焦點到直線的距離為,求的取值范圍.解:(1)將點代入拋物線方程得,所以拋物線,設,,由,消得,由韋達定理得,又,得到,又因為直線,的傾斜角互補,用代可得:,因此,又,所以為定值.(2)由(1)可知,,,,因此,整理得,所以到直線的距離,因為,得,所以,故.22.已知橢圓的離心率為.直線經(jīng)過點和橢圓的上頂點,其斜率為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若直線與橢圓交于、兩點,直線與橢圓的另一個交點為,直線與橢圓的另一個交點為.求證:當變化時,直線過定點.解:(1)由題意得:,解得,,所以橢圓的標準方程為.(2)設Mx1,y1,N化簡整理:,因為,從而:,,同理:,,設所在的直線方程為:,則:,故:,過定點.湖北省武漢市部分重點中學2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.拋物線的準線方程是()A. B. C. D.【答案】B【解析】對于拋物線,的準線方程是.故選:B.2.已知數(shù)列的前項和為,若,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意,所以.故選:C.3.若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓,則,解得.故選:D.4.九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具,以金屬絲制成9個圓環(huán),將圓環(huán)套裝在橫板或各式框架上,并貫以環(huán)柄.玩時,按照一定的程序反復操作,可使9個圓環(huán)分別解開,或合二為一.在某種玩法中,用表示解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù),滿足,且,則解下5個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()A.31 B.16 C.14 D.7【答案】A【解析】由可得,,,.最少移動次數(shù)為.故選:A.5.已知雙曲線的中心在原點,對稱軸為坐標軸,且經(jīng)過點,,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.的標準方程為 B.的離心率等于C.與雙曲線的漸近線不相同 D.直線與有且僅有一個公共點【答案】C【解析】對于A,由題意不妨設的方程為,所以有,解得,即的標準方程為,故A不符合題意;對于B,因為,所以,離心率為,故B不符合題意;對于C,令,都可以得到,即與雙曲線的漸近線相同,故C符合題意;對于D,聯(lián)立,消去化簡并整理得,,解得,,即直線與有且僅有一個公共點,故D不符合題意.故選:C.6.已知數(shù)列前項和為,且,設,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由得,兩式相減得,即,又,得,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以,所以,若數(shù)列遞增數(shù)列則恒成立,即恒成立,即恒成立,又,所以.故選:B.7.已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,直線,分別于拋物線交于點,.設直線,的斜率分別為,,則()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】拋物線的焦點為,由題意可知:可知直線與拋物線必相交,設,,,,則,設的方程為,聯(lián)立方程,消去并整理得,根據(jù)韋達定理得,即,同理可得,則,可得,設直線為,聯(lián)立方程,消去并整理得,根據(jù)韋達定理得,所以.故選:B.8.設直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點,,若點滿足,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】因為雙曲線的漸近線為,聯(lián)立方程組,,解得,,故,聯(lián)立方程組,,解得,,故,設為的中點,由中點坐標公式得,由題意得,故,則,可得,化簡得,即,故漸近線方程為.故選:A二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯的不得分)9.橢圓的離心率為,若直線與橢圓的一個交點的橫坐標,則的值可以為()A. B. C. D.【答案】AD【解析】由,消得到,由題有,解得,又,,得到,所以,故選:AD.10.已知等比數(shù)列的公比為,前項積為,若,,則()A. B. C. D.【答案】AC【解析】由已知,又,,所以,,A正確,B錯誤;,,,所以,C正確,D錯誤.故選:AC.11.已知拋物線(如圖),過拋物線焦點的直線自上而下,分別交拋物線和圓于,,,四點,則()A. B.C.當直線的斜率為時, D.【答案】ABD【解析】由題意可得,設直線方程為,Ax1,則,,所以,對于A,,故A正確,對于B,,B正確,對于C,當直線斜率為時,直線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程可得,解得,所以,所以,故C錯誤,對于D,,將代入可得,所以,等號成立當且僅當時等號成立,故D正確.故選:ABD.12.已知數(shù)列,滿足,,,,則下列選項正確的是()A. B.C.為遞增數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】因為,,,所以,,,,,,所以,A正確;又因為,,所以,所以,所以數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,所以,又明顯有,所以,所以,B正確;又因為,所以為遞增數(shù)列,C正確;因為,D錯誤.故選:ABC.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知等差數(shù)列前項的和為,則_________.【答案】【解析】依題意,又,所以,則,所以.故答案為:14.已知,是雙曲線的左焦點,是雙曲線右支上的動點,則的最小值為_________.【答案】7【解析】如圖所示:由題意,設為雙曲線右焦點,線段與雙曲線右支交于點,所以,等號成立當且僅當重合,所以的最小值為7.故答案為:7.15.已知數(shù)列滿足,,記數(shù)列的前項和為,則_________.【答案】56【解析】由遞推公式,可得,,……,;而.故答案為:56.16.已知橢圓的左焦點為,過原點的直線交橢圓于,兩點,點在第二象限,且(如圖),則橢圓的離心率為_________.【答案】【解析】設,,則,設橢圓的焦距為,則F-c,0,所以,,因為,所以,化簡得,所以即,所以或(舍),,又因為,所以,解得,所以橢圓的離心率.故答案為:.四、解答題(本大題共6小題,第17題10分,第題每題12分,共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知等差數(shù)列滿足,.(1)求的通項公式;(2)設數(shù)列的前項和為,且,若,求正整數(shù)的最小值.解:(1)設等差數(shù)列的公差為,則,解得,,故.(2)由(1)可得,則,所以,則數(shù)列是等差數(shù)列,故.因為,所以,所以,所以或.因為,所以的最小值是11.18.已知雙曲線的離心率為,焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程;(2)若為坐標原點,直線交雙曲線于兩點,求的面積.解:(1)由題意得:,令,則,又焦點到漸近線的距離為,所以,所以,所以,所以雙曲線的標準方程為;(2)設,,聯(lián)立方程組,消去整理得,則,,,所以,又原點到直線的距離,所以.19.為了保證海上平臺的生產(chǎn)安全,海事部門在某平臺的正東方向設立了觀測站,在平臺的正北方向設立了觀測站,它們到平臺的距離分別為12海里和海里,記海平面上到觀測站和平臺的距離之比為2的點的軌跡為曲線,規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域為安全預警區(qū).(1)如圖,以為坐標原點,,為,軸的正方向,建立平面直角坐標系,求曲線的方程;(2

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