2023-2024學(xué)年江西省吉安市高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省吉安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，∴．故選：B.2.命題p：“，”的否定是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】D【解析】對命題p改寫量詞，否定結(jié)論，有：，.故選：D.3.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，則有，解得，所以a的取值范圍是.故選：C.4.已知事件A，B是互斥事件，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C.5.下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，顯然函數(shù)在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，如圖，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知和有兩個(gè)交點(diǎn)，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，由選項(xiàng)可知只有C項(xiàng)符合題意.故選：C.6.某人擁有一輛價(jià)值20萬元的轎車，已知轎車以每年8%的幅度貶值，則這個(gè)人至多幾年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬元的價(jià)格成交（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】A【解析】由題意知，轎車價(jià)格與年份之間的函數(shù)關(guān)系式為，∴，故，∴，故這個(gè)人至多3年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬的價(jià)格成交．故選：A.7.已知函數(shù)與（）交于和兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，不妨設(shè)，則，，且，所以，所以的取值范圍是．故C正確.故選：C.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，；因，即x每增大4，對應(yīng)的縱坐標(biāo)都變原來的2倍；當(dāng)時(shí)，，故，則，；當(dāng)時(shí)，，故，則，；當(dāng)時(shí)，，故，則，，如圖，依題意令，解得或，由圖知當(dāng)時(shí)，恒成立，即須使，故得：．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C D.【答案】AC【解析】根據(jù)圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC.10.某人連續(xù)擲兩次骰子，表示事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是2”，表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是3”．表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為5”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為9”．則（）A.與相互獨(dú)立 B.與相互獨(dú)立C.與不相互獨(dú)立 D.與不相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】由題意知，，，，對A：∵，∴與相互獨(dú)立，故A正確；對B：∵，∴與不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；對C：∵，∴與不相互獨(dú)立，故C正確；對D：∵，∴與不相互獨(dú)立，故D正確．故選：ACD.11.設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如，，已知函數(shù)，（）．下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是C.若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則【答案】BC【解析】畫出的圖象如下圖：函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，∵，∴，故，即函數(shù)的值域是，B選項(xiàng)正確；由圖可知，與的圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，C選項(xiàng)正確；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC.12.設(shè)，，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】ACD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.為了堅(jiān)持“五育”并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，某學(xué)校在課余時(shí)間提供了多種社團(tuán)供學(xué)生們選擇，每位同學(xué)都可以選擇多種社團(tuán)，其中選擇舞蹈社團(tuán)或園藝社團(tuán)的同學(xué)有90人，選擇舞蹈社團(tuán)的同學(xué)有55人，選擇園藝社團(tuán)的同學(xué)有60人，則同時(shí)選擇舞蹈社團(tuán)和園藝社團(tuán)的同學(xué)人數(shù)是______.【答案】【解析】由題意同時(shí)選擇舞蹈社團(tuán)和園藝社團(tuán)的同學(xué)人數(shù)為人.故答案為：.14.已知甲組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，6），如下表所示：233466若乙組樣本數(shù)據(jù)，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)_________，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差__________．【答案】5【解析】由題意，乙組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：133599則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差：.故答案為：5.15.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意可得，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知函數(shù)（）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，其中，則____________．【答案】64【解析】令，則，由可化為，∵，∴，即必有兩個(gè)不同的根，，且，故，異號，設(shè)為負(fù)，為正，結(jié)合題意，可畫出大致示意圖如下：由圖可知，即有唯一解，即有兩個(gè)解，，且，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.按要求完成下列題目．（1）若，求；（2）計(jì)算：．解：（1）∵，∴，則．（2）．18.已知集合，，若是的真子集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：∵集合，∴，又為的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得或．當(dāng)時(shí)，（等號不同時(shí)成立），解得，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．19.為了解同學(xué)們每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長，某興趣小組在高一年級隨機(jī)調(diào)查了500位同字，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（1）求a，并估計(jì)每天戶外鍛煉時(shí)長在40min～70min的人數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，估計(jì)高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的平均時(shí)長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）求高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)．解：（1）∵，∴，估計(jì)每天戶外鍛煉時(shí)長在40min～70min的人數(shù)為（人）．（2）由題意知，平均時(shí)長為：（min）．（3）∵，．∴高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)在之間，設(shè)高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)為x，則，解得，∴高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)是49.5min．20.狗牯腦茶是江西珍貴名茶之一，產(chǎn)于羅霄山脈南麓支脈，吉安市遂川縣湯湖鎮(zhèn)狗牯腦山，該山形似狗頭，取名“狗牯腦”所產(chǎn)之茶即從名之．某茶葉種植戶欲生產(chǎn)狗牯腦茶，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)狗牯腦茶需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)x（）噸另需投入流動成本萬元，已知在年產(chǎn)量不足12噸時(shí)，，在年產(chǎn)量不少于12噸時(shí)，，每千克狗牯腦茶售價(jià)140元，通過市場分析，該茶葉種植戶的狗牯腦茶當(dāng)年能全部售完．（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（）（單位：噸）的函數(shù)解析式（年利潤＝年銷售收入－年固定成本－流動成本）；（2）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，該茶葉種植戶在狗牯腦茶的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？解：（1）由題意知，1噸狗牯腦茶售價(jià)為14萬元，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)解析式為．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，∵50＜54，∴當(dāng)年產(chǎn)量為18噸時(shí)，該茶葉種植戶在狗牯腦茶的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，最大年利潤是54萬元.21.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對于，，都滿足，且當(dāng)時(shí)，．（1）求，并用定義法判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）令，則，即，令，，且，則，，又當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）不存在，理由如下：∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，且關(guān)于x的不等式恒成立，∴，即在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象的對稱軸，∴當(dāng)時(shí)，，又，即，解得：，∴，故當(dāng)時(shí)，無滿足題意的實(shí)數(shù)k，當(dāng)時(shí)，∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸，∴只需，解得，無解，故當(dāng)時(shí)，無滿足題意的實(shí)數(shù)k，綜上所述，不存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的不等式恒成立．22.已知函數(shù)（，，）是偶函數(shù)，且，．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間（，，）上的值域是，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以，即，所以，則，又，，所以，解得，所以.（2）由（1）得，定義域?yàn)?，令，令，則，因?yàn)椋?，則，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則，因，所以，則，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域是，所以，又，故或，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.江西省吉安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，∴．故選：B.2.命題p：“，”的否定是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】D【解析】對命題p改寫量詞，否定結(jié)論，有：，.故選：D.3.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，則有，解得，所以a的取值范圍是.故選：C.4.已知事件A，B是互斥事件，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C.5.下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，顯然函數(shù)在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，如圖，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知和有兩個(gè)交點(diǎn)，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，由選項(xiàng)可知只有C項(xiàng)符合題意.故選：C.6.某人擁有一輛價(jià)值20萬元的轎車，已知轎車以每年8%的幅度貶值，則這個(gè)人至多幾年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬元的價(jià)格成交（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】A【解析】由題意知，轎車價(jià)格與年份之間的函數(shù)關(guān)系式為，∴，故，∴，故這個(gè)人至多3年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬的價(jià)格成交．故選：A.7.已知函數(shù)與（）交于和兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，不妨設(shè)，則，，且，所以，所以的取值范圍是．故C正確.故選：C.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，；因，即x每增大4，對應(yīng)的縱坐標(biāo)都變原來的2倍；當(dāng)時(shí)，，故，則，；當(dāng)時(shí)，，故，則，；當(dāng)時(shí)，，故，則，，如圖，依題意令，解得或，由圖知當(dāng)時(shí)，恒成立，即須使，故得：．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C D.【答案】AC【解析】根據(jù)圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC.10.某人連續(xù)擲兩次骰子，表示事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是2”，表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是3”．表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為5”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為9”．則（）A.與相互獨(dú)立 B.與相互獨(dú)立C.與不相互獨(dú)立 D.與不相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】由題意知，，，，對A：∵，∴與相互獨(dú)立，故A正確；對B：∵，∴與不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；對C：∵，∴與不相互獨(dú)立，故C正確；對D：∵，∴與不相互獨(dú)立，故D正確．故選：ACD.11.設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如，，已知函數(shù)，（）．下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是C.若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則【答案】BC【解析】畫出的圖象如下圖：函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，∵，∴，故，即函數(shù)的值域是，B選項(xiàng)正確；由圖可知，與的圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，C選項(xiàng)正確；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC.12.設(shè)，，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】ACD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.為了堅(jiān)持“五育”并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，某學(xué)校在課余時(shí)間提供了多種社團(tuán)供學(xué)生們選擇，每位同學(xué)都可以選擇多種社團(tuán)，其中選擇舞蹈社團(tuán)或園藝社團(tuán)的同學(xué)有90人，選擇舞蹈社團(tuán)的同學(xué)有55人，選擇園藝社團(tuán)的同學(xué)有60人，則同時(shí)選擇舞蹈社團(tuán)和園藝社團(tuán)的同學(xué)人數(shù)是______.【答案】【解析】由題意同時(shí)選擇舞蹈社團(tuán)和園藝社團(tuán)的同學(xué)人數(shù)為人.故答案為：.14.已知甲組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，6），如下表所示：233466若乙組樣本數(shù)據(jù)，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)_________，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差__________．【答案】5【解析】由題意，乙組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：133599則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差：.故答案為：5.15.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意可得，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知函數(shù)（）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，其中，則____________．【答案】64【解析】令，則，由可化為，∵，∴，即必有兩個(gè)不同的根，，且，故，異號，設(shè)為負(fù)，為正，結(jié)合題意，可畫出大致示意圖如下：由圖可知，即有唯一解，即有兩個(gè)解，，且，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.按要求完成下列題目．（1）若，求；（2）計(jì)算：．解：（1）∵，∴，則．（2）．18.已知集合，，若是的真子集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：∵集合，∴，又為的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得或．當(dāng)時(shí)，（等號不同時(shí)成立），解得，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．19.為了解同學(xué)們每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長，某興趣小組在高一年級隨機(jī)調(diào)查了500位同字，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（1）求a，并估計(jì)每天戶外鍛煉時(shí)長在40min～70min的人數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，估計(jì)高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的平均時(shí)長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）求高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)．解：（1）∵，∴，估計(jì)每天戶外鍛煉時(shí)長在40min～70min的人數(shù)為（人）．（2）由題意知，平均時(shí)長為：（min）．（3）∵，．∴高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)在之間，設(shè)高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)為x，則，解得，∴高一年級同學(xué)每天進(jìn)行戶外鍛煉的時(shí)長的75%分位數(shù)是49.5min．20.狗牯腦茶是江西珍貴名茶之一，產(chǎn)于羅霄山脈南麓支脈，吉安市遂川縣湯湖鎮(zhèn)狗牯腦山，該山形似狗頭，取名“狗牯腦”所產(chǎn)之茶即從名之．某茶葉種植戶欲生產(chǎn)狗牯腦茶，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)狗牯腦茶需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)x（）噸另需投入流動成本萬元，已知在年產(chǎn)量不足12噸時(shí)，，在年產(chǎn)量不少于12噸時(shí)，，每千克狗牯腦茶售價(jià)140元，通過市場分析，該茶葉種植戶的狗牯腦茶當(dāng)年能全部售完．（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（）（單位：噸）的函數(shù)解