2023-2024學(xué)年河北省承德市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省承德市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4，本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章．一、選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分?jǐn)?shù)部分正負(fù)相間，首項(xiàng)的分?jǐn)?shù)部分為負(fù)，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為，故選：D2.已知直線,直線.若,則（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3【答案】A【解析】因?yàn)椋?，即，得?當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，重合.故.故選：A.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一點(diǎn)，的最小值為1，且的周長(zhǎng)為34，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以．因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為34，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C.5.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，將代入，故，解得，所以該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為m.故選：B7.在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?，都在面?nèi)，所以，又，所以，所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則所以取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，所以．故選：B8.已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得直線恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，所以，所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（不含點(diǎn)）．可設(shè)，且，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．故選：D二、選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；，，C，D正確.故選：ACD10.已知，在同一個(gè)坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以曲線為，直線為，當(dāng)時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．11.已知圓和圓是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓與圓有四條公切線B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.的最大值為12D.若，則過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，圓、的圓心、半徑依次分別為，圓心距滿足，所以?xún)蓤A相交，圓與圓有兩條條公切線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩圓、方程相減得，，化簡(jiǎn)并整理得兩圓的公共弦所在的直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由題意，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，取最大值，故C正確，對(duì)于D，，即點(diǎn)在圓上面，又，所以過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，化簡(jiǎn)并整理得，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，故D正確.故選：BCD.12.已知數(shù)列滿足，，為的前項(xiàng)和，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為C.為遞減數(shù)列D.當(dāng)或時(shí)，取得最大值【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，即，，又因?yàn)椋裕詾槭醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，A正確；，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列，C正確；令，即，解得，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本大題共4小題，把答案填在答題卡中的橫線上．13.若數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】因，，所以，，，所以是周期為3的數(shù)列，故.故答案為：.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題可知，解得，所以，故的焦距為.故答案為：15.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)________．【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.在數(shù)列與中，已知，則________．【答案】1【解析】由題意知，，所以為常數(shù)列，即，所以．故答案為：1.四、解答題：本大題共6小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.符合，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求l的方程．解：（1）依題意，該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)與到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義可知，該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，由題意知直線l斜率存在，則，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即．19.已知圓過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.20.如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng);（2）求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由，得，，，．因?yàn)镕是中點(diǎn)，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角的正弦值為．21.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．解：（1）因?yàn)?，且，所以，所以，即，所以．?dāng)時(shí)，所以，所以．因?yàn)椋?，所以．也符合上式，所以．?dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，即（），所以（），所以的通項(xiàng)公式為（2）因?yàn)椋?，兩式相減得，所以．22.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)（異于點(diǎn)）是上不同的兩點(diǎn)，且，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題意得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以直線的斜率為，同理可得點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有，解得，直線的方程為．當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則直線的方程為，即，即，直線過(guò)定點(diǎn)．又當(dāng)時(shí)，直線也過(guò)點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．（方法二）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組消去得，，即．設(shè)，則，．因?yàn)?，所以，即，，，化?jiǎn)得，解得或，所以直線的方程為或（過(guò)點(diǎn)A,不合題意，舍去），所以直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，設(shè)它的方程為，因?yàn)椋裕?，解得或（過(guò)點(diǎn)A,不合題意，舍去），所以此時(shí)直線的方程為，也過(guò)點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．河北省承德市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4，本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章．一、選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分?jǐn)?shù)部分正負(fù)相間，首項(xiàng)的分?jǐn)?shù)部分為負(fù)，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為，故選：D2.已知直線,直線.若,則（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即，得?當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，重合.故.故選：A.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一點(diǎn)，的最小值為1，且的周長(zhǎng)為34，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以．因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為34，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C.5.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，將代入，故，解得，所以該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為m.故選：B7.在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槠矫妫荚诿鎯?nèi)，所以，又，所以，所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則所以取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，所以．故選：B8.已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得直線恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，所以，所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（不含點(diǎn)）．可設(shè)，且，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．故選：D二、選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；，，C，D正確.故選：ACD10.已知，在同一個(gè)坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)椋郧€為，直線為，當(dāng)時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．11.已知圓和圓是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓與圓有四條公切線B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.的最大值為12D.若，則過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，圓、的圓心、半徑依次分別為，圓心距滿足，所以?xún)蓤A相交，圓與圓有兩條條公切線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩圓、方程相減得，，化簡(jiǎn)并整理得兩圓的公共弦所在的直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由題意，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，取最大值，故C正確，對(duì)于D，，即點(diǎn)在圓上面，又，所以過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，化簡(jiǎn)并整理得，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，故D正確.故選：BCD.12.已知數(shù)列滿足，，為的前項(xiàng)和，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為C.為遞減數(shù)列D.當(dāng)或時(shí)，取得最大值【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以為首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，A正確；，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列，C正確；令，即，解得，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本大題共4小題，把答案填在答題卡中的橫線上．13.若數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】因，，所以，，，所以是周期為3的數(shù)列，故.故答案為：.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題可知，解得，所以，故的焦距為.故答案為：15.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)________．【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.在數(shù)列與中，已知，則________．【答案】1【解析】由題意知，，所以為常數(shù)列，即，所以．故答案為：1.四、解答題：本大題共6小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.符合，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求l的方程．解：（1）依題意，該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)與到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義可知，該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，由題意知直線l斜率存在，則，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即．19.已知圓過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故