中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題08 幾何中的面積問題（原卷版）

專題08幾何中的面積問題面積問題是壓軸題中?？嫉膯栴}，不僅在幾何壓軸題中，在函數(shù)壓軸題中考查的頻率也很高。幾何壓軸題中的面積問題往往比較抽象，并不是簡單幾何圖形的面積，通常情況下，我們需要對所求的幾何圖形面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化為我們熟悉的可求的類型。在幾何壓軸題中的面積考查主要表現(xiàn)為兩個方面：一是求某個幾何圖形的面；二是求變化中的幾何圖形面積的最值。一、求某個幾何圖形面積的類型，常用的方法：1.添加輔助線：通常包括做出三角形的高，割補(bǔ)法構(gòu)造三角形等。2.圖形變換的方式對所求圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如通過平移、旋轉(zhuǎn)等變化，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為三角形等。3.可以利用三角形全等，對圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。4.利用相似三角形的面積之比等于相似比，構(gòu)建方程進(jìn)行求解。二、求變化中的幾何圖形的面積問題：（1）方程與函數(shù)的方法：通常需要設(shè)出未知數(shù)x，并用x表示出求面積所必需的邊長和高，構(gòu)建方程求出未知數(shù)，或構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最值。（2）幾何的方法：一般情況下，在求變化中幾何圖形的面積的最值時，需要我們找準(zhǔn)變化的量，討論變化的量的臨界值，例如：在求變化三角形的面積最值時，如果底邊長一定，而底邊上的高在不斷的變化，我們就要根據(jù)高線變化的規(guī)律，尋找高的最大值或者最小值的情況，從而求得面積的最小值。 （2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對角線.點(diǎn)E是邊AB延長線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)G．(1)求證：SKIPIF1<0.(2)若SKIPIF1<0．①求菱形SKIPIF1<0的面積.②求SKIPIF1<0的值.(3)若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的大小發(fā)生變化時（SKIPIF1<0），在SKIPIF1<0上找一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為定值，說明理由并求出SKIPIF1<0的值．（1）由菱形的性質(zhì)可證得∠CBD＝∠ABD＝SKIPIF1<0∠ABC，由SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)G，得到∠CBG＝∠EBG＝SKIPIF1<0∠CBE，進(jìn)一步即可得到答案；（2）①連接AC交BD于點(diǎn)O,Rt△DOC中，OC＝SKIPIF1<0，求得AC＝8，由菱形的面積公式可得答案；②由BGSKIPIF1<0AC，得到SKIPIF1<0，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，則SKIPIF1<0，再證明△CDH∽△AEH，CH＝SKIPIF1<0AC＝SKIPIF1<0，OH＝OC－CH＝4－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，利用正切的定義得到答案；（3）過點(diǎn)G作GTSKIPIF1<0BC，交AE于點(diǎn)T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，則EG＝GH，再證△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得SKIPIF1<0，GT＝SKIPIF1<0，為定值，即可得到ET的值．【答案】(1)見解析(2)①24，②SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，理由見解析【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝DC，ABSKIPIF1<0CD，∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝SKIPIF1<0∠ABC，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)G，∴∠CBG＝∠EBG＝SKIPIF1<0∠CBE，∴∠CBD＋∠CBG＝SKIPIF1<0（∠ABC＋∠CBE）＝SKIPIF1<0×180°＝90°，∴∠DBG＝90°；（2）解：①如圖1，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，∴OD＝SKIPIF1<0BD＝3，AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，在Rt△DOC中，OC＝SKIPIF1<0，∴AC＝2OC＝8，∴SKIPIF1<0，即菱形SKIPIF1<0的面積是24．②如圖2，連接AC，分別交BD、DE于點(diǎn)O、H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠DBG＝90°∴BG⊥BD，∴BGSKIPIF1<0AC，∴SKIPIF1<0，∴DH＝HG，DG＝2DH，∵DG＝2GE，∴EG＝DH＝HG，∴SKIPIF1<0，∵ABSKIPIF1<0CD，∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，∴△CDH∽△AEH，∴SKIPIF1<0，∴CH＝SKIPIF1<0AC＝SKIPIF1<0，∴OH＝OC－CH＝4－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴tan∠BDE＝SKIPIF1<0；（3）如圖3，過點(diǎn)G作GTSKIPIF1<0BC交AE于點(diǎn)T，此時ET＝SKIPIF1<0．理由如下：由題（1）可知，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時，始終有BGSKIPIF1<0AC，∴△BGE∽△AHE，∴SKIPIF1<0，∵AB＝BE＝5，∴EG＝GH，同理可得，△DOH∽△DBG，∴SKIPIF1<0，∵BO＝DO，∴DH＝GH＝EG，∵GTSKIPIF1<0BC，∴GTSKIPIF1<0AD，∴△EGT∽△EDA，∴SKIPIF1<0，∵AD＝AB＝5，∴GT＝SKIPIF1<0，為定值，此時ET＝SKIPIF1<0AE＝SKIPIF1<0（AB＋BE）＝SKIPIF1<0．此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時出發(fā)，以相同的速度沿SKIPIF1<0運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)B、C停止.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時，請判斷：線段SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時，四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形SKIPIF1<0是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明.（1）根據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等邊三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根據(jù)E、D分別與點(diǎn)A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CDSKIPIF1<0EF；（2）連接BF，根據(jù)∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根據(jù)AF=AD，AB=AC，推出△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根據(jù)AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出△BFE是等邊三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF，CD∥EF；（3）過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，根據(jù)AB=BC，BD=CD=SKIPIF1<0BC=SKIPIF1<0a，BD=AE，推出AE=BE=SKIPIF1<0AB，根據(jù)AB=AC，推出AD⊥BC，得到EGSKIPIF1<0AD，推出△EBG∽△ABD，推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0h，根據(jù)CD=EF，CD∥EF，推出四邊形CEFD是平行四邊形，推出SKIPIF1<0，根據(jù)EF=BD，EFSKIPIF1<0BD，推出四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)BF=EF，推出SKIPIF1<0是菱形．【答案】(1)CD=EF，CDSKIPIF1<0EF(2)CD=EF，CDSKIPIF1<0EF，成立，理由見解析(3)點(diǎn)D運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，SKIPIF1<0是菱形，證明見解析【詳解】（1）∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等邊三角形，∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，∴CD=EF，CDSKIPIF1<0EF；故答案為：CD=EF，CD∥EF；（2）CD=EF，CDSKIPIF1<0EF，成立．證明：連接BF，∵∠FAD=∠BAC=60°，∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠FAB=∠DAC，∵AF=AD，AB=AC，∴△AFB≌△ADC(SAS)，∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，∵AE=BD，∴BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等邊三角形，∴BF=EF，∠FEB=60°，∴CD=EF，BCSKIPIF1<0EF，即CDSKIPIF1<0EF，∴CD=EF，CDSKIPIF1<0EF；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0面積的一半，此時，四邊形SKIPIF1<0是菱形．證明：過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，∵AB=BC，BD=CD=SKIPIF1<0BC=SKIPIF1<0a，BD=AE，∴AE=BE=SKIPIF1<0AB，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴EGSKIPIF1<0AD，∴△EBG∽△ABD，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0h，由（2）知，CD=EF，CDSKIPIF1<0EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形，∴SKIPIF1<0,此時，EF=BD，EFSKIPIF1<0BD，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∵BF=EF，∴SKIPIF1<0是菱形．本題主要考查了等邊三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝SKIPIF1<0，AB＝4，AD＝2，動點(diǎn)E，F(xiàn)同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時停止運(yùn)動．(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運(yùn)動時間為SKIPIF1<0秒時，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為SKIPIF1<0個單位每秒，運(yùn)動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝SKIPIF1<0HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動時，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．（1）延長DF交CB的延長線于點(diǎn)G，先證得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)題意可得AF=SKIPIF1<0，AE=SKIPIF1<0，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當(dāng)0≤x≤2時，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上；當(dāng)SKIPIF1<0時，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上；當(dāng)SKIPIF1<0時，點(diǎn)E、F均在BD上，即可求解；（3）當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，y的最大值為SKIPIF1<0；(3)當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析【詳解】（1）解：如圖，延長DF交CB的延長線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個單位每秒，運(yùn)動時間為SKIPIF1<0秒，∴AF=SKIPIF1<0，AE=SKIPIF1<0，∵AB=4，AD=2，∴BF=SKIPIF1<0，ED=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴BG=1，∴CG=3，∵SKIPIF1<0，∴△PDE∽△PGC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤x≤2時，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，此時AE=x，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，AB=4，AD=2，∴SKIPIF1<0，∴△ABD是直角三角形，∵SKIPIF1<0，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過點(diǎn)E作SKIPIF1<0交于H，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，此時當(dāng)x=2時，y有最大值3；當(dāng)SKIPIF1<0時，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，如圖，過點(diǎn)E作SKIPIF1<0交于N，過點(diǎn)D作SKIPIF1<0交于M，則EN∥DM，根據(jù)題意得：DE=x-2，∴SKIPIF1<0，在Rt△ABD中，SKIPIF1<0，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此時該函數(shù)圖象的對稱軸為直線SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，y隨x的增大而增大，此時當(dāng)SKIPIF1<0時，y有最大值SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，點(diǎn)E、F均在BD上，過點(diǎn)E作SKIPIF1<0交于Q，過點(diǎn)F作SKIPIF1<0交于P，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∴SKIPIF1<0，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴△BEQ∽△BDM，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此時y隨x的增大而減小，此時當(dāng)SKIPIF1<0時，y有最大值SKIPIF1<0；綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，y最大值為SKIPIF1<0；（3）解：當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵SKIPIF1<0，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此時SKIPIF1<0，∵M(jìn)是DF的中點(diǎn)，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．1．（2022·廣東江門·?？家荒＃c(diǎn)SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上一動點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0的延長線相交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)如圖①，若正方形的邊長為2，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系；(2)如圖②，求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓的切線；(3)如果把正方形SKIPIF1<0換成是矩形或菱形，（2）的結(jié)論是否是否仍然成立?2．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)校考二模）問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究．探究一：如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．探究二：如圖2，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積（用含SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積（用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯畣栴}應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平行四邊形SKIPIF1<0的面積（用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示），其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2022·寧夏銀川·校考一模）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的直徑和弦，半徑SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線與SKIPIF1<0的延長線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求圖中陰影部分的面積．4．（2022·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，有兩塊量角器完全重合在一起（量角器的直徑SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0），保持下面一塊不動，上面的一塊沿SKIPIF1<0所在的直線向右平移，當(dāng)圓心與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時，量角器停止平移，此時半SKIPIF1<0與半SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)SKIPIF1<0與半SKIPIF1<0有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．(2)在半SKIPIF1<0的量角器上，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0點(diǎn)的讀數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時，問點(diǎn)SKIPIF1<0在這塊量角器上的讀數(shù)是多少？(3)求圖中陰影部分的面積．5．（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，我們稱這個四邊形為對角互余四邊形．(1)問題SKIPIF1<0