河北省滄州市滄衡名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題 含解析

滄衡名校聯(lián)盟高二年級2024—2025學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解焦點坐標(biāo).【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為.則焦點坐標(biāo)為：.故選：A.2.已知直線與.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行列方程，從而求得的值.【詳解】由于，所以，此時兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B3.已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出實半軸長，進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的焦距為，得，解得，所以曲線的漸近線方程為.故選：A4.如圖，在直三棱柱中，，分別為棱AB，的中點.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運算求出.【詳解】在直三棱柱中，，分別為棱AB，的中點，.故選：D5.已知向量，若共面，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理求解.【詳解】由題意知共面，則存在不全為的實數(shù)使得，即，所以解得：故選：A.6.已知點在直線上，點在直線上，點的坐標(biāo)為，且，，三點不共線，則周長的最小值為（）A. B. C. D.8【答案】C【解析】【分析】利用對稱將三角形周長轉(zhuǎn)化為四點共線問題，求出兩點之間距離即可.【詳解】依題意，點關(guān)于直線的對稱點，關(guān)于直線的對稱點，則，的周長，當(dāng)且僅當(dāng)點分別是直線與直線及直線的交點時取等號，所以周長的最小值為.故選：C7.已知拋物線的焦點為，過作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點.若，則（）A.6 B.3 C.32 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點坐標(biāo)及直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及拋物線定義計算即得.【詳解】拋物線的焦點為，直線的方程為，由消去得，顯然，設(shè)，則，，所以.故選：B8.當(dāng)變動時，動直線與定圓相切，則圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】變形給定的直線方程，求出定點到動直線的距離（定值）得圓的圓心及半徑，進(jìn)而求出圓面積.【詳解】直線，即，，當(dāng)變動時，點到直線的距離為常數(shù)，因此動直線與圓(x-12由動直線與定圓相切，得圓的圓心為，半徑，所以圓的面積為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線過定點則下列結(jié)論正確的是（）A.P的坐標(biāo)為B.當(dāng)時，l在y軸上的截距為C.若l與直線垂直，則D.點P在圓的外部【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點問題判斷A，根據(jù)截距的定義判斷B，根據(jù)直線垂直公式列方程求解判斷C，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷D．【詳解】對于A，由題意得直線，即，由，解得，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線l為，令x=0，，所以在y軸上截距為，故B正確；對于C，由，解得，故C錯誤；對于D，因為，所以點P在圓的外部，故D正確.故選：ABD10.如圖，已知正方體的棱長為2，點為正方體的中心，點滿足，則（）A.平面B.平面C.在上的投影向量為D.平面與平面夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理判斷AB；求出投影向量判斷C；利用空間向量求出面面角的余弦判斷D.【詳解】以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，對于A，由，得平面，A正確；對于B，，得EO不與平面平行，B錯誤；對于C，在上的投影向量為，C錯誤；對于D，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，D正確.故選：AD11.已知雙曲線的兩個焦點為，，過作圓的切線，切線與交于，兩點.若，則的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】討論同時在雙曲線的左支上和點在雙曲線的兩支上兩種情況，求出之間的關(guān)系，結(jié)合離心率的計算公式，即可得答案.【詳解】當(dāng)點同時在雙曲線的左支上時，設(shè)切點為，則，.作交于點，則，因為為中點，則為的中點，故，,因為，為銳角，故，所以，，，所以，則，故雙曲線的離心率.當(dāng)點在雙曲線的兩支上時，仍有，，因為，為銳角，故，所以，，，所以，則，故雙曲線的離心率.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線離心率的求法，熟練掌握雙曲線的定義與幾何性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和計算能力，屬于較難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用方程表示圓的充要條件，列式求解即得.【詳解】依題意，，解得，所以的取值范圍為.故答案為：13.已知橢圓：（）的離心率為，左焦點為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率可得的值，根據(jù)通徑可得的值，求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題設(shè)有，故，解得，故，故故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：.14.已知，，是球上三點，球心的坐標(biāo)為，是球上一動點，則三棱錐的體積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算求出的相關(guān)量，并求出其面積，再利用空間求出球心到平面的距離即可求解.【詳解】依題意，，則，則，的面積為，，則球的半徑,設(shè)平面ABC的法向量為，則，令，得，則點到平面ABC的距離，球面上的點到平面距離最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，直線過點.（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；（2）若與圓相交于，兩點，且（為圓的圓心）為直角三角形，求的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】分析】（1）按直線截距相等且不等零和截距均等于零兩種情況分類討論求解直線方程即可；（2）由題意可得圓心到直線的距離為，設(shè)線的方程為，利用點到直線的距離即可求解.【小問1詳解】若直線的截距相等且不為零，則設(shè)直線方程為.由于直線過點，代入可得：，解得：，即得直線；若直線的截距相等且等于零，則假設(shè)直線方程為，由于直線過點，代入可得：，解得：，即得直線.綜上所述：的方程為或；【小問2詳解】由，可得圓心，半徑為，（為圓的圓心）為直角三角形，可得且，所以可得圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線過圓心，顯然不符合題意，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得，所以的方程為或.16.已知，點與點的橫坐標(biāo)相等，點在直線上，且.（1）求點的軌跡方程；（2）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算列出方程，化簡即得.（2）由（1）的信息，利用兩點間距離公式列式求出最小值.【小問1詳解】設(shè)，則，而，則，由，得，整理得，所以點的軌跡方程是.【小問2詳解】點，由（1）知，所以當(dāng)時，取得最小值.17.已知雙曲線的實軸長為，且過點.（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的右焦點作斜率為1的直線，與雙曲線交于，兩點，求；（3）若，是雙曲線上不同的兩點，且直線的斜率為2，線段的中點為，證明：點在直線上.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，將點的坐標(biāo)代入得，即可求解.（2）由（1）得，進(jìn)而得直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理即可求解.（3）利用點差法即可證明.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，則，將點的坐標(biāo)代入，得，解得，故雙曲線的方程為；【小問2詳解】由（1）得，則，則直線的方程為，設(shè)，由，得，，，所以；【小問3詳解】設(shè)，則，兩式相減得，設(shè)，則，所以，即，所以，即，所以在直線上.18.如圖，在四棱臺中，平面，底面為正方形，，點在線段上運動.（1）證明：.（2）求異面直線與所成角的余弦值.（3）求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積可證；（2）求出兩直線的方向向量，利用向量夾角公式計算可得；（3）設(shè)，求出平面法向量，根據(jù)線面角的向量夾角公式，將用表示，利用換元和二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，所以，又為正方形，所以兩兩垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，則，所以【小問2詳解】解：由（1）可得，所以，故異面直線與所成角的余弦值為【小問3詳解】解：設(shè).因為，所以，則由（1）可得.設(shè)平面的法向量為，則取設(shè)直線與平面所成角為，則.令，則，所以當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為1；當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為19.若將任意平面向量繞起點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到向量，則稱點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線是橢圓繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓.（1）求橢圓的方程.（2）已知，是橢圓長軸上的兩個頂點，，為橢圓上異于，的兩點，且關(guān)于軸對稱，若直線與直線交于點，證明：點在某定曲線上，并求出該曲線的方程.（3）已知，不過點的動直線與橢圓交于，兩點，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點，并求出這個定點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）點在定曲線：，詳見解析（3）滿足條件的直線，過定點，詳見解析.【解析】【分析】（1）本小題可以考慮利用題目已知條件將原橢圓上的點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成題目中橢圓，求出原橢圓方程，也可以利用已知條件原橢圓逆時針旋轉(zhuǎn)了，則旋轉(zhuǎn)后橢圓的對稱軸為和，求出橢圓的長軸長和短軸長，并進(jìn)一步得到橢圓的方程.（2）可以利用和點的坐標(biāo)作為參數(shù)寫出直線方程，用參數(shù)表示點的坐標(biāo)，利用點和點在橢圓上消去參數(shù)；（3）設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用題目給出的關(guān)系求出直線過的定點.【詳解】（1）解：（方法一）設(shè)為橢圓上任意一點，則即斜橢圓上一點，則，化簡得，故橢圓的方程為．（方法二）由得或由得