安徽高考答案數(shù)學(xué)試卷

安徽高考答案數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[1,2]$上有極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？

A.$(1,\sqrt{3})$

B.$(\sqrt{3},2)$

C.$(1,\sqrt{2})$

D.$(\sqrt{2},2)$

2.若$f(x)=x^2+2ax+b$的圖像開(kāi)口向上，則下列哪個(gè)選項(xiàng)一定正確？

A.$a>0$

B.$a<0$

C.$b>0$

D.$b<0$

3.已知$f(x)=\lnx+1$，$f'(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(2)$等于多少？

A.$\frac{1}{2}$

B.$\ln2$

C.$\frac{1}{\ln2}$

D.$1$

4.設(shè)$a>0$，$b>0$，則下列哪個(gè)不等式恒成立？

A.$a^2+b^2\geq2ab$

B.$a^2+b^2\leq2ab$

C.$a^2-b^2\geq2ab$

D.$a^2-b^2\leq2ab$

5.若$a+b=2$，$ab=1$，則$a^2+b^2$等于多少？

A.$2$

B.$\frac{3}{2}$

C.$\frac{5}{2}$

D.$3$

6.已知$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f'(x)$。

A.$3x^2-6x+4$

B.$3x^2-6x-4$

C.$3x^2+6x+4$

D.$3x^2+6x-4$

7.若$f(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(x)$等于多少？

A.$\frac{1}{x^2}$

B.$-\frac{1}{x^2}$

C.$\frac{1}{x^3}$

D.$-\frac{1}{x^3}$

8.已知$f(x)=\sqrt{x}$，則$f'(x)$等于多少？

A.$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

B.$-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

C.$\frac{1}{\sqrt{x}}$

D.$-\frac{1}{\sqrt{x}}$

9.若$a+b+c=0$，則$a^2+b^2+c^2$等于多少？

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.$3$

10.若$f(x)=\lnx$，$f'(x)=\frac{1}{x}$，則$f''(x)$等于多少？

A.$-\frac{1}{x^2}$

B.$\frac{1}{x^2}$

C.$-\frac{1}{x^3}$

D.$\frac{1}{x^3}$

二、判斷題

1.函數(shù)$y=x^3$在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

2.若$a>0$，$b>0$，則$\sqrt{a^2+b^2}\geqa+b$。（）

3.指數(shù)函數(shù)$y=a^x$（$a>1$）的圖像一定過(guò)點(diǎn)$(0,1)$。（）

4.對(duì)數(shù)函數(shù)$y=\lnx$的圖像一定過(guò)點(diǎn)$(1,0)$。（）

5.函數(shù)$y=x^2$的圖像在第一象限內(nèi)是凹的。（）

三、填空題

1.若函數(shù)$f(x)=2x^3-9x^2+12x-5$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=6x^2-18x+12$，則$f(x)$的極小值點(diǎn)為_(kāi)______。

2.若$f(x)=\frac{x^2-1}{x}$，則$f(x)$的反函數(shù)為_(kāi)______。

3.設(shè)$a>0$，$b>0$，$a+b=2$，則$a^2+b^2$的最大值為_(kāi)______。

4.若$f(x)=\ln(x+1)$，則$f'(1)$的值為_(kāi)______。

5.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的圖像上，斜率為$-\frac{1}{2}$的切線方程為_(kāi)______。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述函數(shù)單調(diào)性的定義及其判斷方法。

2.如何求一個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)？

3.請(qǐng)舉例說(shuō)明函數(shù)的奇偶性和周期性的概念，并說(shuō)明如何判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性和周期性。

4.簡(jiǎn)述拉格朗日中值定理和柯西中值定理的內(nèi)容，并說(shuō)明它們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

5.如何求解函數(shù)的極值問(wèn)題？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}

\]

2.求函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$處的切線方程。

3.設(shè)$f(x)=\sqrt{x-1}$，求$f'(x)$并計(jì)算$f'(\frac{3}{2})$。

4.解不等式$x^2-4x+3<0$。

5.設(shè)$a>0$，$b>0$，$a+b=3$，求$a^2+2ab+b^2$的最小值。

六、案例分析題

1.案例分析：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=1000+5x+\frac{x^2}{2}$，其中$x$為生產(chǎn)的數(shù)量。求：

-當(dāng)生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)的總成本和平均成本。

-求該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)$C'(x)$，并分析邊際成本隨生產(chǎn)數(shù)量變化的趨勢(shì)。

2.案例分析：某城市為提高交通效率，決定在主干道上增設(shè)一個(gè)交通信號(hào)燈。通過(guò)觀察，統(tǒng)計(jì)得到在無(wú)信號(hào)燈控制時(shí)，每小時(shí)的平均車(chē)輛通過(guò)量為250輛，平均等待時(shí)間為2分鐘。在增設(shè)信號(hào)燈后，每小時(shí)的平均車(chē)輛通過(guò)量增加至300輛，但平均等待時(shí)間減少至1分鐘。求：

-在無(wú)信號(hào)燈控制時(shí)，每輛車(chē)的平均等待時(shí)間是多少？

-在增設(shè)信號(hào)燈后，每輛車(chē)的平均等待時(shí)間減少了多少？

-分析信號(hào)燈對(duì)交通效率的影響，并討論可能的其他因素。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某商店銷(xiāo)售一種商品，其需求函數(shù)為$Q(d)=50-2p$，其中$p$是商品的價(jià)格，$Q$是需求量。成本函數(shù)為$C(p)=100+3p$。求：

-當(dāng)價(jià)格為$10$元時(shí)的需求量。

-求最大利潤(rùn)時(shí)的價(jià)格和需求量。

-利潤(rùn)函數(shù)$L(p)$的表達(dá)式。

2.應(yīng)用題：一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為$s(t)=4t^2-8t+6$，其中$s$是物體在時(shí)間$t$時(shí)的位移（單位：米）。求：

-物體在$t=2$秒時(shí)的速度。

-物體的最大速度和出現(xiàn)最大速度的時(shí)間。

3.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品A的邊際成本為$2$元，產(chǎn)品B的邊際成本為$3$元。工廠每天可以生產(chǎn)的產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的總數(shù)量不能超過(guò)100件。若產(chǎn)品A的銷(xiāo)售價(jià)格為$5$元，產(chǎn)品B的銷(xiāo)售價(jià)格為$7$元，求：

-工廠如何分配生產(chǎn)數(shù)量以使利潤(rùn)最大化。

-利潤(rùn)最大化時(shí)的總利潤(rùn)是多少。

4.應(yīng)用題：某班級(jí)有30名學(xué)生，他們參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽。已知參加競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)與平均分之間存在關(guān)系：當(dāng)參加人數(shù)增加1人時(shí)，平均分下降0.2分。求：

-若班級(jí)中所有學(xué)生都參加競(jìng)賽，平均分是多少？

-若只有20名學(xué)生參加競(jìng)賽，平均分是多少？

-若要使平均分達(dá)到80分，至少需要多少名學(xué)生參加競(jìng)賽？

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.D

2.A

3.B

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.B

二、判斷題答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題答案：

1.$x=2$

2.$f^{-1}(y)=\sqrt{y^2+1}$

3.2

4.1

5.$y=-\frac{1}{2}x+3$

四、簡(jiǎn)答題答案：

1.函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于任意兩個(gè)自變量$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），如果$f(x_1)<f(x_2)$，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果$f(x_1)>f(x_2)$，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。判斷方法包括：求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；或直接觀察函數(shù)圖像的增減性。

2.求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)。求二階導(dǎo)數(shù)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)。

3.函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)滿(mǎn)足$f(-x)=f(x)$為偶函數(shù)，$f(-x)=-f(x)$為奇函數(shù)。周期性是指函數(shù)滿(mǎn)足$f(x+T)=f(x)$為周期函數(shù)。判斷方法包括：代入自變量，觀察函數(shù)值的正負(fù)；或觀察函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性和重復(fù)性。

4.拉格朗日中值定理：若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$?？挛髦兄刀ɡ恚喝艉瘮?shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)\neq0$，則存在$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。應(yīng)用：在證明函數(shù)的極限、極值、不等式等方面。

5.求函數(shù)的極值問(wèn)題，首先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，求得極值點(diǎn)。然后求二階導(dǎo)數(shù)，判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，若二階導(dǎo)數(shù)大于0，則極小值；若二階導(dǎo)數(shù)小于0，則極大值。

五、計(jì)算題答案：

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

2.切線方程：$y-(8-12+1)=-12(x-2)$，即$y=-12x+23$

3.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，$f'(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}$

4.解得$x=1$和$x=3$，不等式解集為$(1,3)$

5.$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=9$，最小值為9

六、案例分析題答案：

1.總成本：$C(100)=1000+5\times100+\frac{100^2}{2}=8500$元，平均成本：$C(100)/100=85$元。邊際成本函數(shù)：$C'(x)=6x-18$，隨著生產(chǎn)數(shù)量增加，邊際成本遞增。

2.平均等待時(shí)間：$250\times2\times60=30000$秒，減少的等待時(shí)間：$30000-300\times1\times60=24000$秒。信號(hào)燈提高了交通效率，減少了車(chē)輛等待時(shí)間。

3.生產(chǎn)分配：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為$x$，則生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為$100-x$。利潤(rùn)函數(shù)：$L(x)=5x+7(100-x)-(1000+3x+3(100-x))=2x+300$。利潤(rùn)最大化時(shí)$x=50$，總利潤(rùn)$L(50)=350$元。

4.參加人數(shù)為30時(shí)，平均分：$30\times80=2400$分。參加人數(shù)為20時(shí)，平均分：$20\times80=1600$分。至少