理論力學(xué)-自考習(xí)題解答 - 白若陽(yáng) 第10章 動(dòng)能定理

10-1如圖所示鉛垂平面系統(tǒng)，質(zhì)量為m的擺錘與長(zhǎng)度為l的不計(jì)質(zhì)量的直桿OA固連，試求擺錘由圖示A位置運(yùn)動(dòng)至B位置，以及由A位置經(jīng)過(guò)B再到C位置的過(guò)程中擺錘重力所做的功。習(xí)題習(xí)題10-1圖解：由A位置運(yùn)動(dòng)至B位置：由A位置經(jīng)過(guò)B再到C位置：10-2如圖所示，彈簧的原長(zhǎng)為l0，剛度系數(shù)為k=2000N/m，一端固定，另一端與滑塊的中心A連接。試計(jì)算下列過(guò)程中，彈簧的彈性力所做的功。(1)滑塊中心由A1運(yùn)動(dòng)至A2；(2)滑塊中心由A1運(yùn)動(dòng)至A3；(3)滑塊中心由A3運(yùn)動(dòng)至A1。習(xí)題習(xí)題10-2圖解：(1)滑塊中心由A1運(yùn)動(dòng)至A2：(2)滑塊中心由A1運(yùn)動(dòng)至A3：(3)滑塊中心由A3運(yùn)動(dòng)至A1：10-3如圖所示，質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l=3r的均質(zhì)細(xì)直桿AB，可繞水平定軸A轉(zhuǎn)動(dòng)，剛度系數(shù)為k=mg/(4r)、原長(zhǎng)為l0=2r的彈簧，一端與桿AB的B端相連，另一端固定于軸A正下方離軸A距離為h=4r的不動(dòng)點(diǎn)D，在桿AB上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的主動(dòng)力偶，其矩為，試計(jì)算桿AB從轉(zhuǎn)到的過(guò)程中，主動(dòng)力偶、彈簧的彈性力和重力所做的功分別為多少?習(xí)題習(xí)題10-3圖解：10-4試寫出下列鉛垂面內(nèi)各系統(tǒng)在圖示位置的動(dòng)能。(a)質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的均質(zhì)細(xì)直桿AB繞水平軸O以角速度作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。(b)均質(zhì)細(xì)直桿OA、BD的質(zhì)量分別為，，長(zhǎng)度均為l。兩桿在中點(diǎn)C用一銷釘相連，桿OA繞水平軸O以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，桿BD的B端與沿鉛垂滑道滑動(dòng)的滑塊B鉸接，滑塊B和銷釘C的質(zhì)量不計(jì)。(c)鼓輪O由兩個(gè)質(zhì)量均為m的均質(zhì)圓盤固連在一起，并以角速度繞水平軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩分別與質(zhì)量均為m的重物A、B相連，繩與圓盤之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。(d)坦克履帶重P，兩個(gè)車輪的重量均為W。車輪對(duì)其中心的回轉(zhuǎn)半徑為r/2，兩車輪軸間距離為，坦克前進(jìn)速度為。習(xí)題習(xí)題10-4圖解：(a)(b)（←），點(diǎn)P為桿BD的速度瞬心，（逆時(shí)針），則，其中，所以習(xí)題習(xí)題10-4(b)解答圖ABCOD30°P(c)，其中，，所以(d)履帶的線長(zhǎng)度密度為。履帶的AB段靜止，履帶CD段作平移，其速度為（→），履帶的CD段質(zhì)量為，履帶的半圓弧AC段和BD段合起來(lái)可視為圓環(huán)，作純滾動(dòng)，其質(zhì)量為。兩個(gè)車輪均作純滾動(dòng)。如圖所示。車輪的動(dòng)能：履帶CD段的動(dòng)能：履帶AB段的動(dòng)能：履帶的半圓弧AC段和BD段合起來(lái)的動(dòng)能：系統(tǒng)的總動(dòng)能為習(xí)題10-4(d)習(xí)題10-4(d)解答圖ABCO1DO2a=習(xí)題10-5解答圖a=10-5如圖所示系統(tǒng)由x=0位置靜止釋放，設(shè)定滑輪、動(dòng)滑輪及繩的質(zhì)量均不計(jì)。重物A、B的質(zhì)量均為m，試求（1）當(dāng)x=0.9m時(shí)，重物B的速度；（2）重物Ba=習(xí)題10-5解答圖a=習(xí)題1習(xí)題10-5圖解：(1)求x=0.9m時(shí)，重物B的速度：幾何關(guān)系：，，則(1)動(dòng)能定理：(2)當(dāng)x=0.9m時(shí)，由，則（↓）(2)重物B發(fā)生的最大位移：由動(dòng)能定理表達(dá)式(2)可知，當(dāng)重物B下降最大位移xmax時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為零（系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)），即，再由幾何關(guān)系式(1)可知，10-6如圖所示鉛垂平面系統(tǒng)，均質(zhì)細(xì)直桿AB的重量為G1=40N，長(zhǎng)度為l=60cm；均質(zhì)圓盤B的重量為G2=60N，半徑r=20cm，桿AB的兩端分別與沿光滑固定不動(dòng)的鉛垂桿滑動(dòng)的套筒A光滑鉸接和與圓盤中心B光滑鉸接。系統(tǒng)于圖示位置無(wú)初速釋放，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圓盤在水平地面上作純滾動(dòng)。試求：（1）當(dāng)套筒碰到彈簧時(shí)（此時(shí)桿AB處于水平位置）桿AB的角速度；（2）彈簧的最大變形量，設(shè)彈簧的剛度系數(shù)為k=2kN/m。習(xí)題1習(xí)題10-6圖解：(1)求桿AB處于水平位置（剛好接觸彈簧）時(shí)的角速度：如圖所示習(xí)題1習(xí)題10-6解答圖BACBAr30°kC該瞬時(shí)圓盤B處于瞬時(shí)靜止，，，。桿AB：（↓），（↓），此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為動(dòng)能定理：（逆時(shí)針）(2)求彈簧的最大壓縮變形量：當(dāng)彈簧達(dá)到最大壓縮變形量時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能，動(dòng)能定理：（舍去“-”）10-7如圖所示，提升機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)輪半徑為r，質(zhì)量為m1，視為勻質(zhì)圓柱體，若在輪上加一常力偶M，使吊起一質(zhì)量為m2的重物由靜止上升。若不計(jì)摩擦，試求重物上升h時(shí)，所具有的速度和加速度。習(xí)題習(xí)題10-7圖解：假設(shè)：重物上升h高度時(shí)，轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度，則。習(xí)題10-7解答圖（↑）習(xí)題10-7解答圖動(dòng)能定理：(1)（↑）將式(1)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到（↑）10-8如圖所示，放置于傾角為的固定斜面上的質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓盤，其中心A系有一根一端固定，并與斜面平行的彈簧，同時(shí)與一根繞在質(zhì)量為m、半徑為r的鼓輪B上不可伸長(zhǎng)的張緊繩索相連，直線段繩索與斜面平行。今在鼓輪上作用一力偶矩為M的常力偶，使系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且斜面與圓盤之間的摩擦因數(shù)足夠大，使圓盤A沿斜面向上作純滾動(dòng)。已知鼓輪的質(zhì)心在輪心B處，且鼓輪對(duì)過(guò)輪心B的水平軸的回轉(zhuǎn)半徑為，彈簧的剛度系數(shù)為k，且初始時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。若不計(jì)彈簧、繩索的質(zhì)量及軸承B處摩擦，試求鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，圓盤的角速度和角加速度的大小。習(xí)題習(xí)題REF_Ref126616164\n\h10-8圖解：鼓輪B對(duì)其質(zhì)心軸B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)角度之后，鼓輪B轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為，彈簧的伸長(zhǎng)量為，且，。系統(tǒng)動(dòng)能的增量為在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功為動(dòng)能定理：（順時(shí)針）對(duì)該式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到（順時(shí)針）當(dāng)時(shí)，（順時(shí)針）（順時(shí)針）習(xí)題習(xí)題10-8解答圖10-9如圖所示鉛垂平面系統(tǒng)，半徑為r的均質(zhì)滑輪O繞其光滑中心軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，張緊不可伸長(zhǎng)的繩子繞過(guò)滑輪O與重物A和半徑為r的均質(zhì)圓盤B的中心相連，滑輪O、重物A、圓盤B的重量均為W，柔繩的質(zhì)量不計(jì)且與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。圓盤B相對(duì)于傾角為的固定斜面作純滾動(dòng)。若系統(tǒng)無(wú)初速釋放，試求重物A下降h時(shí)重物A的速度和加速度。習(xí)題習(xí)題10-9圖解：（順時(shí)針），，（順時(shí)針）初始瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能末了瞬時(shí)（任意瞬時(shí)）系統(tǒng)的動(dòng)能在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力對(duì)系統(tǒng)所作的功動(dòng)能定理：(1)（↓）對(duì)該式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到（↓）習(xí)題習(xí)題10-9解答圖10-10如圖所示，質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的均質(zhì)細(xì)直桿AB的A端與光滑水平地面接觸，桿初始靜止并且處于鉛垂位置，今受到微小擾動(dòng)桿在自重作用下自由倒下。試求桿即將倒地時(shí)桿的角速度和質(zhì)心的速度。習(xí)題習(xí)題10-10圖解：在桿AB運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，