湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第1頁(yè)2024年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.已知向量，且，則實(shí)數(shù)的值等于（）A. B. C. D.或2.下列表達(dá)式化簡(jiǎn)結(jié)果與相等的是（）A. B.C. D.3.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（）A B. C. D.4.已知P（1，2）點(diǎn)為圓（x+1）2+y2=9的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為A.x–y–3=0 B.x+y+3=0C.x+y–3=0 D.x–y+3=05.某學(xué)校高二年級(jí)擬舉辦藝術(shù)節(jié)，要求各班級(jí)從《黃河大合唱》，《我和我的祖國(guó)》，《北京歡迎你》，《我愛(ài)你中國(guó)》和《我們走在大路上》這五首指定曲目中任選一首作為表演節(jié)目，則高二（1）班與高二（2）班抽到不同曲目的概率為（）A. B. C. D.6.如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則離心率為（）A.3 B. C. D.27.設(shè)，兩直線與垂直，則的最大值為（）A B. C.1 D.28.若等比數(shù)列滿足，則（）A. B.1012 C. D.10139.將一張畫(huà)有平面直角坐標(biāo)系的圖紙折疊一次，使得點(diǎn)A(0，2)與點(diǎn)B(4，0)重合，若此時(shí)點(diǎn)C(7，3)與點(diǎn)D(m，n)也重合，則m+n的值為（）A. B. C. D.二、多選題（每題5分，共20分）10.已知直線和直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.始終過(guò)定點(diǎn)B.若，則或C.若，則或2D.當(dāng)時(shí)，始終不過(guò)第三象限11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.有最小值D.存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，總有12.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則（）A.若，則的面積為B.存在點(diǎn)，使得C.的周長(zhǎng)為D.使得為等腰三角形的點(diǎn)共有4個(gè)三、填空題（每題5分，共20分）13.傾斜角為，在軸上截距為的直線方程為_(kāi)_________．14.寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線方程________.15.阿波羅尼斯圓（ApolloniusCircle）是指在平面上，給定兩點(diǎn)A?B以及一個(gè)常數(shù)，所有滿足（為動(dòng)點(diǎn)）的點(diǎn)的軌跡.這個(gè)軌跡是一個(gè)圓，最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，因此得名.現(xiàn)已知定點(diǎn)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.16.直線斜率為，若，則直線的傾斜角的范圍是__.四、解答題（共70分）17.在四棱錐P﹣ABCD中，底面四邊形ABCD是一個(gè)菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD．（1）若Q是線段PC上的任意一點(diǎn)，證明：平面PAC⊥平面QBD．（2）當(dāng)平面PBC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求PA的長(zhǎng)．18.已知數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.在高一學(xué)生預(yù)選科之前，為了幫助他們更好地了解自己是否適合選讀物理，我校從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的物理成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值．若根據(jù)這次成績(jī)，學(xué)校建議的學(xué)生選報(bào)物理，的學(xué)生選報(bào)歷史，某同學(xué)想選報(bào)物理，請(qǐng)同他的物理成績(jī)應(yīng)不低于多少分較為合適?（小數(shù)點(diǎn)后保留一位）（2）這100名學(xué)生中，成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為12，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為10．請(qǐng)估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差．（3）現(xiàn)學(xué)校要選拔學(xué)生參加物理競(jìng)賽，需要再進(jìn)行考試．考試分為兩輪，第一輪需要考2個(gè)模塊，每個(gè)模塊成績(jī)從高到低依次有A+，A，B，C，D五個(gè)等級(jí)，若兩個(gè)模塊成績(jī)均為A+，則直接參加；若一個(gè)模塊成績(jī)?yōu)锳+，另一個(gè)模塊成績(jī)不低于B，則要參加第二輪實(shí)驗(yàn)操作，實(shí)驗(yàn)操作通過(guò)也能參加，否則均不能參加．現(xiàn)有甲、乙二人報(bào)名參加，二人互不影響，甲在每個(gè)模塊考試中取得A+，A，B，C，D的概率分別為；乙在每個(gè)模塊考試中取得A+，A，B，C，D的概率分別為；甲、乙在實(shí)驗(yàn)操作中通過(guò)的概率分別為．求甲、乙能同時(shí)參加物理競(jìng)賽的概率．20已知（1）求與方向相同的單位向量；（2）若與單位向量垂直，求，.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到其準(zhǔn)線的距離之和的最小值為2.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)是拋物線上不同三點(diǎn).（i）若直線過(guò)點(diǎn)，且交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求的值；（ii）若直線的斜率分別為，且，求直線的斜率的取值范圍.22.已知雙曲線的離心率分別為其兩條漸近線上的點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2024年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】A二、多選題（每題5分，共20分）10.【答案】AC11.【答案】ACD12.【答案】BC三、填空題（每題5分，共20分）13.【答案】14.【答案】（或或，任寫(xiě)一條即可，答案不唯一）15.【答案】16.【答案】，，四、解答題（共70分）17.【解】（1）證明：∵四邊形ABCD是一個(gè)菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA=A，則BD⊥平面PAC，∵BD在平面QBD內(nèi)，∴平面PAC⊥平面QBD；（2）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，分別以O(shè)B，OC所在直線為x軸，y軸，以平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)P(0,1，a)(a>0)，則，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，則，同理可求平面PDC的一個(gè)法向量為，∴，解得a2=2，∴．18.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，即可得到，從而得到答案.（2）首先利用錯(cuò)位相減法得到，從而得到，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得或.又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，①，②①-②得，.由，化簡(jiǎn)得，對(duì)任意的恒成立.又的最大值為，所以，的取值范圍為.19.【解】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可；（2）求出80分以上的小矩形的面積和，進(jìn)而求出80分以上的總?cè)藬?shù)，再求平均數(shù)和方差；（3）先利用獨(dú)立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能參加物理競(jìng)賽的概率，然后利用獨(dú)立事件乘法概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意得，，又，所以第分位數(shù)位于，且，他的物理成績(jī)應(yīng)不低于分較為合適【小問(wèn)2詳解】成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)為，成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)為，成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均分為（分），該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為，【小問(wèn)3詳解】依題意甲能參加物理競(jìng)賽的概率，乙能參加物理競(jìng)賽的概率，二人互不影響，所以甲、乙能同時(shí)參加物理競(jìng)賽的概率20.已知（1）求與方向相同的單位向量；（2）若與單位向量垂直，求，.【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知向量除以模長(zhǎng)得出單位向量；（2）應(yīng)用垂直坐標(biāo)表示及模長(zhǎng)公式列式求解即可.【小問(wèn)1詳解】．【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，．聯(lián)立解得或．21.【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義結(jié)合最小值求出.（2）（i）設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即得；（ii）設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式列式可得，再借助判別式求出范圍.【小問(wèn)1詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為：，設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，依題意，，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】（i）顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，又，由消去得，，，由，得，整理得，同理得，所以.（ii）設(shè)直線的方程為：，而，由消去得，則，又，由，得，即，則，解得，由，得，解得或，則所以直線的斜率的取值范圍是.22.【解】【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率得關(guān)系，從而可得關(guān)系，即可得雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)，，確定點(diǎn)為的中點(diǎn)代入雙曲線方程可得與的關(guān)系，再由的面積即可求得的值，從而可得雙曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程與交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程后可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)，滿足為常數(shù)即可求得的值，并且檢驗(yàn)直線的斜率不存在時(shí)是否滿足該定值即可.【小問(wèn)1詳解】由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)?，分別為其兩條漸近線上的點(diǎn)，所以，不妨設(shè)，，由于，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得：因?yàn)榈拿娣e為8，所以，則，故雙曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，，則，所以，則恒成立，所以，假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，設(shè)，則要使得為常數(shù)，則，解得,定點(diǎn)，；又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，