湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第1頁2024年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.已知向量，且，則實數(shù)的值等于（）A. B. C. D.或2.下列表達式化簡結(jié)果與相等的是（）A. B.C. D.3.空間內(nèi)有三點，則點P到直線EF的距離為（）A B. C. D.4.已知P（1，2）點為圓（x+1）2+y2=9的弦AB的中點，則直線AB的方程為A.x–y–3=0 B.x+y+3=0C.x+y–3=0 D.x–y+3=05.某學(xué)校高二年級擬舉辦藝術(shù)節(jié)，要求各班級從《黃河大合唱》，《我和我的祖國》，《北京歡迎你》，《我愛你中國》和《我們走在大路上》這五首指定曲目中任選一首作為表演節(jié)目，則高二（1）班與高二（2）班抽到不同曲目的概率為（）A. B. C. D.6.如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則離心率為（）A.3 B. C. D.27.設(shè)，兩直線與垂直，則的最大值為（）A B. C.1 D.28.若等比數(shù)列滿足，則（）A. B.1012 C. D.10139.將一張畫有平面直角坐標系的圖紙折疊一次，使得點A(0，2)與點B(4，0)重合，若此時點C(7，3)與點D(m，n)也重合，則m+n的值為（）A. B. C. D.二、多選題（每題5分，共20分）10.已知直線和直線，下列說法正確的是（）A.始終過定點B.若，則或C.若，則或2D.當(dāng)時，始終不過第三象限11.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.有最小值D.存在正整數(shù)，當(dāng)時，總有12.已知橢圓的左，右焦點分別為，點為橢圓上一點，則（）A.若，則的面積為B.存在點，使得C.的周長為D.使得為等腰三角形的點共有4個三、填空題（每題5分，共20分）13.傾斜角為，在軸上截距為的直線方程為__________．14.寫出與圓和圓都相切的一條直線方程________.15.阿波羅尼斯圓（ApolloniusCircle）是指在平面上，給定兩點A?B以及一個常數(shù)，所有滿足（為動點）的點的軌跡.這個軌跡是一個圓，最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，因此得名.現(xiàn)已知定點點是圓上的動點，則的最小值為__________.16.直線斜率為，若，則直線的傾斜角的范圍是__.四、解答題（共70分）17.在四棱錐P﹣ABCD中，底面四邊形ABCD是一個菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD．（1）若Q是線段PC上的任意一點，證明：平面PAC⊥平面QBD．（2）當(dāng)平面PBC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為時，求PA的長．18.已知數(shù)列是首項為2的等比數(shù)列，各項均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和.若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.在高一學(xué)生預(yù)選科之前，為了幫助他們更好地了解自己是否適合選讀物理，我校從高一年級中隨機抽取了100名學(xué)生的物理成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值．若根據(jù)這次成績，學(xué)校建議的學(xué)生選報物理，的學(xué)生選報歷史，某同學(xué)想選報物理，請同他的物理成績應(yīng)不低于多少分較為合適?（小數(shù)點后保留一位）（2）這100名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．請估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差．（3）現(xiàn)學(xué)校要選拔學(xué)生參加物理競賽，需要再進行考試．考試分為兩輪，第一輪需要考2個模塊，每個模塊成績從高到低依次有A+，A，B，C，D五個等級，若兩個模塊成績均為A+，則直接參加；若一個模塊成績?yōu)锳+，另一個模塊成績不低于B，則要參加第二輪實驗操作，實驗操作通過也能參加，否則均不能參加．現(xiàn)有甲、乙二人報名參加，二人互不影響，甲在每個模塊考試中取得A+，A，B，C，D的概率分別為；乙在每個模塊考試中取得A+，A，B，C，D的概率分別為；甲、乙在實驗操作中通過的概率分別為．求甲、乙能同時參加物理競賽的概率．20已知（1）求與方向相同的單位向量；（2）若與單位向量垂直，求，.21.已知拋物線的焦點為上的動點到點的距離與到其準線的距離之和的最小值為2.（1）求拋物線的方程；（2）已知點是拋物線上不同三點.（i）若直線過點，且交準線于點，求的值；（ii）若直線的斜率分別為，且，求直線的斜率的取值范圍.22.已知雙曲線的離心率分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標原點.（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于兩點，在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.2024年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】A二、多選題（每題5分，共20分）10.【答案】AC11.【答案】ACD12.【答案】BC三、填空題（每題5分，共20分）13.【答案】14.【答案】（或或，任寫一條即可，答案不唯一）15.【答案】16.【答案】，，四、解答題（共70分）17.【解】（1）證明：∵四邊形ABCD是一個菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA=A，則BD⊥平面PAC，∵BD在平面QBD內(nèi)，∴平面PAC⊥平面QBD；（2）設(shè)AC，BD交于點O，分別以O(shè)B，OC所在直線為x軸，y軸，以平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)P(0,1，a)(a>0)，則，設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，則，同理可求平面PDC的一個法向量為，∴，解得a2=2，∴．18.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，即可得到，從而得到答案.（2）首先利用錯位相減法得到，從而得到，即可得到答案.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得或.又數(shù)列的各項均為正數(shù)，.【小問2詳解】由（1）得，，，①，②①-②得，.由，化簡得，對任意的恒成立.又的最大值為，所以，的取值范圍為.19.【解】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可；（2）求出80分以上的小矩形的面積和，進而求出80分以上的總?cè)藬?shù)，再求平均數(shù)和方差；（3）先利用獨立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能參加物理競賽的概率，然后利用獨立事件乘法概率公式求解即可.【小問1詳解】依題意得，，又，所以第分位數(shù)位于，且，他的物理成績應(yīng)不低于分較為合適【小問2詳解】成績位于內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)為，成績位于內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)為，成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均分為（分），該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為，【小問3詳解】依題意甲能參加物理競賽的概率，乙能參加物理競賽的概率，二人互不影響，所以甲、乙能同時參加物理競賽的概率20.已知（1）求與方向相同的單位向量；（2）若與單位向量垂直，求，.【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知向量除以模長得出單位向量；（2）應(yīng)用垂直坐標表示及模長公式列式求解即可.【小問1詳解】．【小問2詳解】∵，，∴，．聯(lián)立解得或．21.【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標及準線方程，利用拋物線定義結(jié)合最小值求出.（2）（i）設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理及向量坐標運算計算即得；（ii）設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合斜率坐標公式列式可得，再借助判別式求出范圍.【小問1詳解】拋物線的焦點，準線為：，設(shè)點，動點到其準線的距離為，由拋物線定義得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，依題意，，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】（i）顯然直線不垂直于坐標軸，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，又，由消去得，，，由，得，整理得，同理得，所以.（ii）設(shè)直線的方程為：，而，由消去得，則，又，由，得，即，則，解得，由，得，解得或，則所以直線的斜率的取值范圍是.22.【解】【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率得關(guān)系，從而可得關(guān)系，即可得雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)，，確定點為的中點代入雙曲線方程可得與的關(guān)系，再由的面積即可求得的值，從而可得雙曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程與交點坐標，代入雙曲線方程后可得交點坐標關(guān)系，設(shè)，滿足為常數(shù)即可求得的值，并且檢驗直線的斜率不存在時是否滿足該定值即可.【小問1詳解】由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，因為，分別為其兩條漸近線上的點，所以，不妨設(shè)，，由于，則點為的中點，所以，又點在雙曲線上，所以，整理得：因為的面積為8，所以，則，故雙曲線的方程為；【小問2詳解】由（1）可得，所以為當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為：，，則，所以，則恒成立，所以，假設(shè)在軸上是否存在定點，設(shè)，則要使得為常數(shù)，則，解得,定點，；又當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，