高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題4立體幾何培優(yōu)拓展（10）球的“切”“接”問題課件

培優(yōu)拓展(十)球的“切”“接”問題空間幾何體的外接球和內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn),也是高考命題的熱點(diǎn).既有相對簡單的幾何體的外接球和內(nèi)切球問題,也有難度較大的特殊幾何體模型問題,題型為選擇或填空題.角度一三棱錐的外接球問題熱點(diǎn)一

墻角模型例1(2024河北保定模擬)已知S,A,B,C是球O表面上的不同點(diǎn),SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球O的表面積為4π,則SA=(

)B解析

如圖,由SA⊥平面ABC,可知SA⊥AB,SA⊥BC.[對點(diǎn)訓(xùn)練1](2024陜西咸陽二模)已知三棱錐D-ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DB⊥平面ABC,且DB=4,則該三棱錐的外接球的表面積為

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41π解析

因?yàn)锳B=4,AC=3,BC=5,所以AB2+AC2=BC2,所以∠BAC=90°.又DB⊥底面ABC,AB,BC?平面ABC,所以DB⊥AB,DB⊥BC,所以三棱錐D-ABC的外接球即為以AB,AC,DB為棱的長方體的外接球,其中DC為該長方體體對角線,即該三棱錐的外接球的半徑熱點(diǎn)二

對棱相等模型例2在三棱錐P-ABC中,已知,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為(

)A.77π B.64π

C.108π D.72πA解析

因?yàn)槿忮F的對棱相等,所以可以把它看成某個(gè)長方體的面對角線構(gòu)成的幾何體.設(shè)長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,且長方體的面對[對點(diǎn)訓(xùn)練2]若四面體ABCD中,AB=CD=BC=AD=,AC=BD=,則四面體的外接球的表面積為

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6π解析

如圖,因?yàn)樗拿骟w的對棱相等,所以可以把它看成某個(gè)長方體的面對角線構(gòu)成的幾何體.熱點(diǎn)三

垂面模型例3(1)(2023全國乙,文16)已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=

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2(2)已知三棱錐P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=2,AC=6,∠ABC=120°,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為

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60π解析

由題意,將三棱錐P-ABC補(bǔ)成直三棱柱(圖略),則該直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球,且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上.[對點(diǎn)訓(xùn)練3](2024四川涼山二模)已知在三棱錐P-ABC中,PA=,PB=PC=2,底面ABC是邊長為1的正三角形,則該三棱錐的外接球表面積為(

)B解析

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=,PB=PC=2,△ABC的邊長為1,則PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.同理,PA⊥AC.又AB∩AC=A,AB,AC?平面ABC,所以PA⊥平面ABC.設(shè)△ABC的外心為O1,三棱錐P-ABC外接球球心為O,PA的中點(diǎn)為D,連接OP,OD,OO1,O1A,易知四邊形ADOO1是矩形,角度二內(nèi)切球問題例4在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,則其內(nèi)切球的表面積為(

)C解析

如圖,因?yàn)樗拿骟wABCD四個(gè)面都為直角三角形,AB⊥平面BCD,所以AB⊥BD,AB⊥BC.又BC⊥CD,所以AC⊥CD.[對點(diǎn)訓(xùn)練4]已知三棱錐P-ABC的棱長均為4,先在三棱錐P-ABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1,然后再放入一個(gè)球O2,使得球O2與球O1及三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面都相切,則球O2的表面積為

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角度三與球切、接有關(guān)的最值問題例5已知正三棱錐的外接球半徑R為1,則該正三棱錐的體積的最大值為(

)C解析

如圖所示,設(shè)該正三棱錐的高為h,底面外接圓的半徑為r,底面面積為S,由球的對稱性可知,若使正三棱錐的體積最大,則其外接球的球心一定在三棱錐內(nèi)部,即1<h<2.由球的截面圓的性質(zhì),可得OA2=,即R2=r2+(h-R)2,解得[對點(diǎn)訓(xùn)練5]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D在上底面A1B1C1(包括邊界)上運(yùn)動(dòng),則三棱錐D-ABC的外接球體積的最大值為(

)C解析

如圖,因?yàn)锳C=BC=2,