信號(hào)與系統(tǒng)（第五版）課件 第6章 z 變換及其應(yīng)用

第6章

z

變換及其應(yīng)用6.1z

變換的定義6.2z

變換收斂區(qū)及典型序列z變換6.3z變換的性質(zhì)與定理6.4逆z變換6.5離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析6.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性6.7離散系統(tǒng)的模擬6.8基于MATLAB的離散頻域分析

6.1z

變換的定義

z

變換的定義可由采樣信號(hào)的拉氏變換引出。連續(xù)信號(hào)的理想采樣信號(hào)為式中，T

為采樣間隔。對(duì)上式取雙邊拉氏變換，得到

交換運(yùn)算次序，并利用沖激函數(shù)的抽樣性，得到采樣信號(hào)的拉氏變換為

令z=esT，引入新的復(fù)變量，式(6.1-1)可寫為

式(6.1-2)是復(fù)變量z

的函數(shù)(T

是常數(shù))，可寫成

式(6.1-3)是雙邊z

變換的定義。

如果x(n)是因果序列，則式(6.1-3)的z

變換為

式(6.1-4)也稱單邊z

變換。比較式(6.1-3)與式(6.1-4)可見，因果序列的雙邊z

變換就是單邊z變換，因此單邊z變換是雙邊z變換的特例。

序列與其z

變換還可以表示為

或

z變換是復(fù)變量z的冪級(jí)數(shù)(也稱羅朗級(jí)數(shù))，其系數(shù)是序列x(n)的樣值。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，信號(hào)一般都是因果的，所以主要討論單邊拉氏變換。在離散系統(tǒng)分析中，可以用因果序列逼近非因果序列，因此單邊與雙邊z

變換都要涉及。

6.2z變換收斂區(qū)及典型序列z變換

6.2.1z變換的收斂區(qū)對(duì)于任意給定的有界序列，使式(6.1-3)級(jí)數(shù)收斂的所有z

值，稱為X(z)的收斂區(qū)。我們舉例說明式(6.1-3)收斂與否，及在什么范圍收斂。

例6.2-1

已知序列．

分別求它們的z換及收斂區(qū)。

X1(z)與

X2(z)相同，但

X1(z)的收斂區(qū)是以|a|為半徑的圓外，而

X2(z)的收斂區(qū)是以|a|為半徑的圓內(nèi)。

此例說明，收斂區(qū)與x(n)有關(guān)，并且對(duì)于雙邊z

變換，不同序列的表示式有可能相同，但各自的收斂區(qū)一定不同。所以為了唯一確定z變換所對(duì)應(yīng)的序列，雙邊z變換除了要給出X(z)的表示式外，還必須標(biāo)明

X(z)的收斂區(qū)。

任意序列z

變換存在的充分條件是級(jí)數(shù)滿足絕對(duì)可和，即

1.有限長(zhǎng)序列

有限長(zhǎng)序列的z

變換為

圖

6.2-1有限長(zhǎng)序列示意圖

例6.2-2已知序列x(n)=RN(n)，求

X(z)。

2.右邊序列

右邊序列是有始無終的序列，即

n2-→

∞，如圖6.2-2-所示。右邊序列的z

變換為圖

6.2-2右邊序列示意圖

當(dāng)n1<0時(shí)，將右邊序列的

X(z)分為兩部分

式中，第①項(xiàng)是有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)?≤|z|<∞；第②項(xiàng)只有z

的負(fù)冪項(xiàng)，其收斂域RX-

<|z|≤∞，是以RX-

為半徑的圓外，且RX-

一定大于零。綜合①、②兩項(xiàng)的收斂區(qū)情況，一般右邊序列的收斂區(qū)為

例6.2-3已知序列

此例收斂域是以

X(z)的極點(diǎn)1/3為半徑的圓外。推論：在

X(z)的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則右邊序列的收斂區(qū)是以絕對(duì)值最大的極點(diǎn)為收斂半徑的圓外。

3.左邊序列

左邊序列是無始有終的序列，即

n1-→-∞，如圖6.2-3-所示。左邊序列的z變換為圖

6.2-3左邊序列示意圖

當(dāng)n2>0時(shí)，將左邊序列的

X(z)分為兩部分

式中，第①項(xiàng)只有z的正冪項(xiàng)，收斂域0≤|z|<RX+；第②項(xiàng)是有限長(zhǎng)序列，收斂域?yàn)?<|z|≤∞。綜合①、②兩項(xiàng)的收斂區(qū)情況，一般左邊序列的收斂區(qū)為

例6.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求

X(z)。

注意到此例收斂域是以

X(z)的極點(diǎn)b

為半徑的圓內(nèi)，推論：在

X(z)的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則左邊序列收斂區(qū)是以絕對(duì)值最小的極點(diǎn)為收斂半徑的圓內(nèi)。

4.雙邊序列

雙邊序列是無始無終的序列，即n1→-∞，n2→∞，其z

變換為

將雙邊序列的

X(z)分為兩部分

式中，第①項(xiàng)是左序列，其收斂域?yàn)?≤|z|<RX+；第②項(xiàng)是右序列，其收斂域?yàn)镽X-<|z|≤∞。綜合第①、②項(xiàng)的收斂區(qū)情況可知，只有當(dāng)RX+

>RX-

時(shí)，X(z)的雙邊z變換存在，收斂區(qū)為

式(6.2-4)表明雙邊序列的收斂區(qū)是以RX-

為內(nèi)徑，以RX+

為外徑的一環(huán)形區(qū)；而當(dāng)RX+<RX-

時(shí)，X(z)的雙邊z變換不存在。

例6.2-5已知雙邊序列x(n)=c|n|，c為實(shí)數(shù)，求

X(z)。

討論：

(1)|c|<1時(shí)，c|n|波形如圖6.2-4所示。

圖

6.2-4|c|<1雙邊序列示意圖

(2)|c|>1時(shí)，c|n|波形如圖6.2-5所示。因?yàn)镽X-=|c|>1/|c|=RX+無公共收斂區(qū)，所以

X(z)的雙邊z

變換不存在。圖6.2-5-|c|>1雙邊序列示意圖

6.2.2典型序列的z變換

1.單位樣值序列δ(n)

2.單位階躍序列u(n)

3.斜變序列nu(n)

4.實(shí)指數(shù)序列

5.單邊正、余弦序列

由指數(shù)序列的z

變換

可推得

將正、余弦序列分解為兩個(gè)指數(shù)序列

同理

6.雙邊指數(shù)序列

6.3z變換的性質(zhì)與定理

1.線性

例6.3-1利用線性求雙曲余、正弦序列x1(n)=cosh(nθ0)u(n)，x2-(n)=sinh(nθ0)u(n)的z

變換。

解

已知指數(shù)序列及變換

雙曲余弦序列可分解為

利用線性及指數(shù)序列的變換，雙曲余弦序列的變換為

同理

2.雙邊z變換的位移(移序)性(m>0)

例6.3-2x(n)=δ(n)?

X(z)=1，0≤|z|≤∞，收斂區(qū)為全z

平面。

3.單邊z變換的位移性

(1)若序列x(n)的單邊z

變換為

則序列左移后單邊z變換為

證明

序列左移后單邊z變換的示意圖如圖6.3-1所示。特別的，

圖

6.3-1序列左移后單邊z

變換的示意圖

(2)若x(n)u(n)?

X(z)，則

序列右移后單邊z

變換的示意圖如圖6.3-2所示。特別的，

圖

6.3-2序列右移后的單邊

變換

(3)若x(n)為因果序列，x(n)u(n)?

X(z)，則

例6.3-3求周期序列的單邊z

變換。

4.指數(shù)序列加權(quán)

5.x(n)線性加權(quán)或z域微分性

例6.3-4

求序列nanu(n)的z

變換。

6.初值定理

對(duì)因果序列x(n)，有

7.終值定理

若x(n)是因果序列，除單位圓上可有一個(gè)z=1的一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則

8.時(shí)域卷積定理

若w(n)=x(n)*y(n)，則

式中，

利用卷積定理，可以求解離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如圖6.3-3所示。圖6.3-3離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解

9.復(fù)頻域卷積定理

若w(n)=x(n)y(n)，則

表6-1列出了z

變換性質(zhì)與定理的有關(guān)信息。

6.4逆z變

換

逆z變換也稱反變換，z

反變換可用英文縮寫z-1表示，是由X(z)求x(n)的運(yùn)算，若

則由柯西積分定理，可以推得逆變換表示式為

即對(duì)

X(z)zn-1作圍線積分，其中c是在X(z)的收斂區(qū)內(nèi)一條逆時(shí)針的閉合圍線。一般來說，計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分比較困難，所以當(dāng)

X(z)為有理函數(shù)時(shí)，介紹常用的三種反變換方法。

6.4.1留數(shù)法

當(dāng)

X(z)為有理函數(shù)時(shí)，x(n)可由下式計(jì)算：

圖6.4-1X(z)的收斂區(qū)與極點(diǎn)分布

6.4.2冪級(jí)數(shù)展開法

將

X(z)展開，X(z)=…+x(-1)z+x(0)+x(1)z-1+…，其系數(shù)就是x(n)。

特別的，對(duì)單邊的左序列或右序列，當(dāng)

X(z)為有理函數(shù)時(shí)，冪級(jí)數(shù)法也稱長(zhǎng)除法。舉例說明用長(zhǎng)除法將

X(z)展開成級(jí)數(shù)求得x(n)的方法。

6.4.3部分分式法

X(z)一般是z

的有理函數(shù)，可表示為有理分式形式。最基本的分式及所對(duì)應(yīng)的序列為

式(6.4-6)是最常見的z

變換對(duì)。部分分式法就是基于此基礎(chǔ)上的一種方法，即將X(z)的一般有理分式展開為基本有理分式之和。這與傅氏變換、拉氏變換的部分分式法相似。

通常

X(z)表示式為

式中，分子最高次為

M，分母最高次為

N。

設(shè)

M≤N，且

X(z)均為單極點(diǎn)，X(z)可展開為

式中，

因?yàn)槭諗繀^(qū)為2<|z|<3，是雙邊序列，且2<|z|對(duì)應(yīng)右邊序列，|z|<3對(duì)應(yīng)左邊序列，所以

若

X(z)在z=d1有一s階的重極點(diǎn)，其余為單極點(diǎn)。X(z)可展開為

其中，A0、Ak計(jì)算同前，Bk

為

表6-2給出了常用序列的z變換。利用這個(gè)表再結(jié)合z

變換的性質(zhì)，可求一般序列的正、反z

變換。

6.5離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

6.5.1利用z變換求解差分方程

N

階LTI離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為

當(dāng)x(n)是因果序列，已知初始(邊界)條件y(-1)、y(-2)、…、y(-N)時(shí)，可利用z

變換求解式(6.5-1)，對(duì)式(6.5-1)等式兩邊取z變換，利用單邊z

變換的位移性，得到

式中，y(l)是初始條件。

1.零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)x(n)是因果序列時(shí)，并且系統(tǒng)初始條件為零(y(l)=0，-N≤l≤-1)，則式(6.5-2)為

例6.5-1

已知一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)-by(n-1)=x(n)，求y(n)。其中x(n)=anu(n)，y(-1)=0。

解

因?yàn)閥(-1)=0，是零狀態(tài)響應(yīng)。對(duì)方程兩邊取z變換

2.零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)，與初始(邊界)條件y(-1)、y(-2)、…、y(-N)密切相關(guān)。此時(shí)激勵(lì)x(n)=0，式(6.5-1)差分方程右邊等于零，式(6.5-2)變?yōu)?/p>

其中，y(l)為系統(tǒng)的初始(邊界)條件，-N≤l≤-1，則

例6.5-2差分方程同例6.5-1，x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。

解

激勵(lì)x(n)=0，是零輸入響應(yīng)。對(duì)方程兩邊取z變換

3.全響應(yīng)

利用z

變換，不需要分別求零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)，可以直接求解差分方程的全響應(yīng)。

例6.5-3系統(tǒng)差分方程、激勵(lì)x(n)同例6.5-1，y(0)=0，求y(n)。

解

先求出邊界條件y(-1)，將n=0代入原方程迭代

例6.5-4

已知某離散系統(tǒng)模擬如圖6.5-1所示，求系統(tǒng)函數(shù)

H(z)及沖激響應(yīng)h(n)。

解圖

6.5-1例6.5-3離散系統(tǒng)

6.5.2z變換與拉普拉斯(傅里葉)變換的關(guān)系

要討論z

變換與拉氏變換的關(guān)系，首先要研究z平面與s平面的映射(變換)關(guān)系。在6.1節(jié)中我們將連續(xù)信號(hào)的拉氏變換與采樣序列的z

變換聯(lián)系起來，引進(jìn)了復(fù)變量z，它與復(fù)變量s有以下的映射關(guān)系

或

式中，T

是采樣間隔，對(duì)應(yīng)的采樣頻率ωs=2π/T。

為了更清楚地說明式(6.5-12)的映射關(guān)系，將s=σ+jω

代入式(6.5-12)，得

其中

式中，θ是數(shù)字域頻率，由式(6.5-13)具體討論s與z平面的映射關(guān)系。

(1)s平面的虛軸(σ=0)映射到z

平面的單位圓ejθ，s平面左半平面(σ<0)映射到z平面單位圓內(nèi)(r=eσT<1)；s平面右半平面(σ>0)映射到z

平面單位圓外(r=eσT>1)。

(2)ω=0時(shí)，θ=0，s平面的實(shí)軸映射到z

平面上的正實(shí)軸。s平面的原點(diǎn)s=0映射到z

平面單位圓z=1的點(diǎn)。

圖

6.5-2s~z平面的映射關(guān)系

由以上s~z

平面的映射關(guān)系，再利用理想采樣作為橋梁，可以得到連續(xù)信號(hào)x(t)的拉氏變換

X(s)與采樣序列z

變換的關(guān)系為

傅氏變換是雙邊拉氏變換在虛軸(σ=0，s=jω)上的特例，當(dāng)σ=0，s=jω

映射為z=ejθ

是z

平面的單位圓。將此關(guān)系代入式(6.5-14)，可以得到z

變換與傅氏變換關(guān)系

如圖6.5-3所示。

圖6.5-3-理想采樣序列的傅氏變換

6.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性

6.6.1系統(tǒng)函數(shù)可以用單位脈沖響應(yīng)h(n)來表示LTI離散系統(tǒng)的輸入

輸出關(guān)系對(duì)應(yīng)的z

變換為

定義LTI離散系統(tǒng)輸出z

變換與輸入z

變換之比為系統(tǒng)函數(shù)

當(dāng)x(n)=δ(n)，H(z)=Y(z)。所以系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的z變換。

N

階LTI離散系統(tǒng)的差分方程通常為

系統(tǒng)為零狀態(tài)時(shí)，對(duì)兩邊取z

變換，可得

解出

得到系統(tǒng)函數(shù)

式(6.6-4)是z-1的有理分式，其系數(shù)正是差分方程的系數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)還可以分解為

式中，{ck}是

H(z)的零點(diǎn)，{dk}是

H(z)的極點(diǎn)。

當(dāng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有原點(diǎn)以外的任意極點(diǎn)時(shí)，即式(6.6-5)中有dk≠0時(shí)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)的時(shí)寬為無限，這樣的系統(tǒng)稱為無限沖激響應(yīng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱IIR系統(tǒng)；當(dāng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)只有原點(diǎn)處極點(diǎn)時(shí)，即式(6.6-5)中所有dk=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)的時(shí)寬有限，這樣的系統(tǒng)稱為有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱FIR系統(tǒng)。FIR系統(tǒng)函數(shù)一般表示為

6.6.2H(z)的零、

極點(diǎn)分布與時(shí)域特性

H(z)與h(n)是一對(duì)z

變換對(duì)，所以只要知道

H(z)在z平面上的零、極點(diǎn)分布情況，就可以知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(n)變化規(guī)律。假設(shè)式(6.6-5)的所有極點(diǎn)均為單極點(diǎn)且M≤N，利用部分分式展開

式(6.6-7)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為

以單位圓為界，可將z

平面分為單位圓內(nèi)與單位圓外。由式(6.6-8)不難得出hk(n)與h(n)的變化規(guī)律。

1.|dk|<1的極點(diǎn)

若|dk|<1，極點(diǎn)在z

平面的單位圓內(nèi)，hk(n)的幅度隨n

的增長(zhǎng)而衰減；一對(duì)單位圓內(nèi)共軛極點(diǎn)dk

與dk*對(duì)應(yīng)的hk(n)是衰減振蕩。

2.|dk|=1-的極點(diǎn)

若|dk|=1，極點(diǎn)在z

平面的單位圓上，hk(n)的幅度隨n

的增長(zhǎng)而不變；一對(duì)單位圓上的共軛極點(diǎn)dk

與dk*對(duì)應(yīng)的hk(n)是等幅振蕩。

3.|dk|>1的極點(diǎn)

若|dk|>1，極點(diǎn)在z

平面的單位圓外，hk(n)的幅度隨n

的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)；一對(duì)單位圓外共軛極點(diǎn)dk與dk*對(duì)應(yīng)的hk(n)是增幅振蕩。

若系統(tǒng)函數(shù)

H(z)有重極點(diǎn)，一般對(duì)應(yīng)的是hk(n)線性加權(quán)，不影響hk(n)最終變化趨勢(shì)?？梢员容^h1(n)=anu(n)、h2(n)=nanu(n)的z

變換。由例6.3-4可知：

即nanu(n)的收斂區(qū)與anu(n)相同，都取決|a|。|a|<1，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)收斂；|a|>1，極點(diǎn)在單位圓外發(fā)散；可見nanu(n)與anu(n)的收斂與否相同。

與連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)分析相同，由系統(tǒng)函數(shù)

H(z)極點(diǎn)在z

平面上的位置，便可確定h(n)的模式，而零點(diǎn)只影響h(n)的幅度與相位。系統(tǒng)函數(shù)

H(z)極點(diǎn)與h(n)模式的示意圖如圖6.6-1所示。圖

6.6-1H(z)的極點(diǎn)與h(n)模式的示意圖

6.6.3系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性

系統(tǒng)函數(shù)的收斂區(qū)直接關(guān)系到系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

1.因果系統(tǒng)

由因果系統(tǒng)的時(shí)域條件n<0，h(n)=0及

H(z)的定義，可知因果系統(tǒng)的

H(z)只有z

的負(fù)冪項(xiàng)，其收斂區(qū)為RH-<|z|≤∞。因此收斂區(qū)包含無窮時(shí)，必為因果系統(tǒng)。

2.穩(wěn)定系統(tǒng)

由系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)域條件可知其H(z)收斂區(qū)必定包含單位圓。其收斂區(qū)為RH-<|z|<RH+，且RH-<1<RH+。因此收斂區(qū)包含單位圓時(shí)，為穩(wěn)定系統(tǒng)。反之，為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)虛軸上有一階極點(diǎn)時(shí)，定義系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的情況類似，當(dāng)

H(z)的單位圓上有一階極點(diǎn)時(shí)，定義離散系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定(屬于不穩(wěn)定)。

3.因果穩(wěn)定系統(tǒng)

綜合上述1、2情況，當(dāng)RH-<|z|≤∞，且RH-<1時(shí)，系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，意味著因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)

H(z)的所有極點(diǎn)只能分布在單位圓內(nèi)，若

H(z)有單位圓上或單位圓外的極點(diǎn)，系統(tǒng)就是非穩(wěn)定系統(tǒng)。

例6.6-1

已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，將系統(tǒng)函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式

式中，極點(diǎn)的模

所有極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。

6.7離散系統(tǒng)的模擬

6.7.1IIR系統(tǒng)的直接(卡爾曼)形式描述

N

階IIR系統(tǒng)輸入x(n)與輸出y(n)關(guān)系的差分方程一般為

對(duì)應(yīng)的

N

階離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

式(6.7-2)對(duì)應(yīng)IIR系統(tǒng)的直接(卡爾曼)形式，M=N

的流圖形式如圖6.7-1所示。

圖

6.7-1式(6.7-2)的信號(hào)流圖表示

實(shí)現(xiàn)IIR系統(tǒng)的直接形式是將系統(tǒng)函數(shù)

H(z)的分子、分母表示為多項(xiàng)式形式，即

式中，

式(6.7-3)的框圖與運(yùn)算結(jié)構(gòu)如圖6.7-2所示，是先實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)再實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。

IIR系統(tǒng)函數(shù)也可以寫為

式(6.7-4)的框圖與運(yùn)算結(jié)構(gòu)如圖6.7-3所示，是先實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)，再實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)。圖6.7-2與圖6.7-3都稱IIR系統(tǒng)的直接Ⅰ型。

圖

6.7-2IIR系統(tǒng)的直接Ⅰ型

從圖6.7-3可以看到兩列延時(shí)支路的輸入相同，均為y2(n)，將其合并為一行，得到新的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6.7-4所示。圖6.7-3-IIR系統(tǒng)的另一種直接Ⅰ型圖6.7-4IIR系統(tǒng)的直接Ⅱ型

由圖6.7-4可見，若

M=N，可省

N

個(gè)延遲器。圖6.7-4的結(jié)構(gòu)稱為直接Ⅱ型，也稱最少延遲網(wǎng)絡(luò)、典范形式、正準(zhǔn)型。通常IIR的直接形式是指直接Ⅱ型。

例6.7-1

已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。

解

例6.7-1的直接型結(jié)構(gòu)如圖6.7-5所示。圖

6.7-5例6.7-1的直接型結(jié)構(gòu)

6.7.2IIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式

IIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)方法是將

H(z)分解為零、極點(diǎn)形式

式中，{ck}為零點(diǎn)；{dk}為極點(diǎn)。

系統(tǒng)的零、極點(diǎn)有可能是復(fù)數(shù)，由于ak、bk

均是實(shí)數(shù)，因此如果

H(z)有復(fù)數(shù)的零、極點(diǎn)，一定是共軛成對(duì)的。把每對(duì)共軛因子合并，可構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階節(jié)。實(shí)系數(shù)單根也可以看成是復(fù)數(shù)的特例，兩兩可合并為基本二階節(jié)。這樣

式(6.7-5)中每個(gè)二階節(jié)都用前面的最少延遲結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，就可以得到具有最少延遲的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，如圖6.7-6所示。

圖

6.7-6離散系統(tǒng)級(jí)的聯(lián)形式

例6.7-2

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)

畫出系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

解

例6.7-2系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-7所示。圖6.7-7-例6.7-2離散系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式

或

系統(tǒng)的另一種級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-8所示。圖

6.7-8例6.7-2離散系統(tǒng)的另一種級(jí)聯(lián)形式

例6.7-3

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)

畫出系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

解

例6.7-3級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-9所示。

圖6.7-9例6.7-3級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)

6.7.3IIR系統(tǒng)的并聯(lián)形式

IIR系統(tǒng)的并聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)先將

H(z)展開為部分分式

與級(jí)聯(lián)情況相同，把每對(duì)共軛因子合并，可構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階節(jié)。實(shí)系數(shù)單根是復(fù)數(shù)的特例，也可兩兩合并為基本二階節(jié)。這樣

當(dāng)

M<N

時(shí)沒有式(6.7-6)中的第二項(xiàng)和式。

M=N

時(shí)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-10所示。圖6.7-10M=N時(shí)系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)

例6.7-4已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)

畫出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。

解

例6.7-4系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-11所示。

圖6.7-11-例6.7-4系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)

6.7.4FIR系統(tǒng)的直接形式(橫截型、

卷積型)

N-1階FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)是時(shí)寬為

N

的有限長(zhǎng)序列，相應(yīng)的FIR系統(tǒng)函數(shù)為

其特點(diǎn)是系統(tǒng)函數(shù)

H(z)無極點(diǎn)，因此它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般沒有反饋支路。

由式(6.7-7)得FIR系統(tǒng)的差分方程為