信號與系統(tǒng)（第五版）課件第2章 連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的時域分析

第2章

連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的時域分析2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子2.2LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.3LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.4卷積及其性質(zhì)2.5LTI因果系統(tǒng)的全響應(yīng)及其經(jīng)典方法求解2.6基于MATLAB的時域分析

2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子

2.1.1建立LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

有兩類建立系統(tǒng)模型的方法，一是輸入

輸出描述法，二是狀態(tài)變量描述法。

例2.1-1如圖2.1-1所示的RLC串聯(lián)電路，e(t)為激勵信號，響應(yīng)為i(t)，試寫出其微分方程。

解

這是有兩個獨立動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，利用KVL定理列回路方程，可得

上式是一個微、積分方程，對方程兩邊求導(dǎo)，并代入系數(shù)，整理為

這是二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——二階線性微分方程。

圖2.1-1-RLC串聯(lián)電路

一般有n

個獨立動態(tài)元件組成的系統(tǒng)是n

階系統(tǒng)，可以由n

階微分方程描述(或n

個一階微分方程組描述)。還可以從另一個角度判斷一般電路系統(tǒng)的階數(shù):系統(tǒng)的階數(shù)等于獨立的電容電壓vC(t)與獨立的電感電流iL(t)的個數(shù)之和。其中獨立vC(t)是不能用其他vC(t)(可含電源)表示的；獨立iL(t)是不能用其他iL(t)(可含電源)表示的。

例2.1-2如圖2.1-2所示電路，判斷系統(tǒng)階數(shù)。

解(1)列電路(a)的KVL方程:R1i1(t)+vC1(t)+vC2(t)=e(t)，vC2(t)=vR2(t)，有兩個獨立的vC(t)，所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。

(2)列電路(b)的KVL方程:vC1(t)=vC2(t)+vC3(t)，是通過其他vC(t)表示的，是非獨立的vC(t)；但vC2(t)≠vvC3(t)，有兩個獨立的vC(t)，所以該系統(tǒng)也是二階系統(tǒng)。

圖2.1-2-例2.1-2電路

2.1.2用算子符號表示微分方程

n階LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n

階線性常系數(shù)微分方程，一般表示為

式(2.1-1)的一般形式書寫起來不方便，為了形式上簡潔，可以將微、積分方程中的微、積分運(yùn)算用算子符號p

與1/p

表示，由此得到的方程稱為算子方程。

微分算子

積分算子

這樣，例2.1-1電路的微分方程可以表示為

式(2.1-1)的n

階線性微分方程可以用算子表示為

式(2.1-5)是算子方程。算子方程中的每一項表示的是運(yùn)算關(guān)系，而不是代數(shù)運(yùn)算。不過模仿代數(shù)運(yùn)算，可以將式(2.1-5)寫為

式(2.1-6)是n階線性微分方程的算子方程。在這里，利用了提取公因子的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則。

若再令

稱D(p)、N(p)分別為分母、分子算子多項式，則式(2.1-6)可簡化為

式(2.1-8)還可以進(jìn)一步改寫為

式中，分母多項式D(p)表示對輸出y(t)的運(yùn)算關(guān)系，分子多項式

N(p)表示對輸入f(t)的運(yùn)算關(guān)系，而不是兩個多項式相除的簡單代數(shù)關(guān)系。

(1)可進(jìn)行類似代數(shù)運(yùn)算的因式分解或因式相乘展開。

(2)算子方程左、右兩端的算子符號p

不能隨便消去。

解出x=y+C而不是x=y，兩者相差一個任意常數(shù)C，所以不能由px=py

得到x=y，即px=py，但x≠y。這一結(jié)論可推廣到一般的算子方程:

(3)p、1/p

位置不能互換。

2.1.3用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

利用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型比較方便，這種方法簡稱算子法。它是先將電路中所有動態(tài)元件用算子符號表示，得到算子電路；再利用廣義的電路定律，建立系統(tǒng)的算子方程；最后將算子方程轉(zhuǎn)換為微分方程。電感的算子表示可由其電壓電流關(guān)系得到，因為

式中，Lp

是電感算子符號，若理解為廣義的電感感抗，則式(2.1-13)滿足廣義歐姆定律。

同理，由電容上的電壓電流關(guān)系得到

例2.1-3如圖2.1-1所示RLC串聯(lián)電路，輸入為e(t)，輸出為電流i(t)，用算子法列出算子方程與微分方程。圖2.1-3-例2.1-3的算子電路

解

將圖2.1-1中的電感、電容用算子符號表示，得到算子電路如圖2.1-3所示，利用廣義的KVL，列出算子方程式

兩邊同時作微分運(yùn)算(“前乘”p)，得算子方程

由上面的算子方程寫出微分方程為

結(jié)果與例2.1-1相同。

例2.1-4如圖2.1-4(a)電路，f(t)為激勵信號，響應(yīng)為i2(t)，試用算子法求其算子方程與微分方程。圖2.1-4-例2.1-4電路與算子電路

例2.1-5如圖2.1-5(a)所示電路輸入為e(t)，輸出為i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程與微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2Ω，R2=1Ω，C=1F。圖2.1-5-例2.1-5電路與算子電路

解

將圖2.1-5(a)中的電感、電容分別用算子符號表示如圖2.1-5(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法，列算子方程組

為避免在運(yùn)算過程中出現(xiàn)p/p

因子，可先在上面的方程組兩邊同時作微分運(yùn)算，即“前乘”p(當(dāng)分子分母同時出現(xiàn)p

時可約)，得到

用相同的方法，可以得到

微分方程為

2.1.4傳輸(轉(zhuǎn)移)算子H(p)

由式(2.1-9)有

我們定義傳輸(轉(zhuǎn)移)算子

H(p)為

這樣，系統(tǒng)的輸出可以表示為

例2.1-6求例2.1-1激勵為e(t)，響應(yīng)為i(t)的系統(tǒng)傳輸算子

H(p)。

解

例2.1-1的算子方程為

則由

得到

例2.1-7求例2.1-4激勵為f(t)，響應(yīng)為i2(t)的系統(tǒng)傳輸算子

H(p)。

解

例2.1-2的算子方程為

則由

得到

例2.1-8

求例2.1-5激勵為e(t)，響應(yīng)為i1(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H1(p)；激勵為f(t)，響應(yīng)為i2(t)時的系統(tǒng)傳輸算子

H2(p)。

解

由

可得

2.2LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

2.2.1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)與激勵無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。將f(t)=0代入式(2.1-8)的算子方程，得到式(2.2-1)中D(p)是系統(tǒng)的特征多項式，D(p)=0是系統(tǒng)的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，稱為系統(tǒng)的特征根。

式(2.2-12)可用矩陣形式表示為

常數(shù)C1、…、Cn

可用克萊姆法則解得，或用逆矩陣表示為

若n

階系統(tǒng)的特征方程為

則此時λ1-為k

重根，其余均為單根。重根λ1-對應(yīng)齊次解的一般形式為

當(dāng)只有一個特征根λ1-為k重根時，齊次通解yzi(t)的一般形式為

例2.2-2已知電路如圖2.2-1所示，開關(guān)

K

在t=0時閉合，初始條件i2(0)=0，i'2(0)=-1A/s。求零輸入響應(yīng)i2(t)。圖2.2-1-例2.2-2電路

解

先求e(t)→i2(t)時的

H(p)

代初始條件

2.2.2初始條件標(biāo)準(zhǔn)化

n

階電路系統(tǒng)的儲能情況，通常由n

個獨立儲能元件的初始狀態(tài){xk(0-)}表示。在求零輸入響應(yīng)時，需要把這樣的初始狀態(tài)，即非標(biāo)準(zhǔn)初始條件轉(zhuǎn)變?yōu)樗枰牧爿斎腠憫?yīng)標(biāo)準(zhǔn)初始條件yz(ik)(0+)(k=0，1，2，…，n-1)，這個過程就叫做零輸入響應(yīng)初始條件標(biāo)準(zhǔn)化，簡稱初始條件標(biāo)準(zhǔn)化。

例2.2-3已知電路如圖2.2-2，且iL(0-)=1A，vC(0-)=10V，求izi(t)。圖2.2-2-例2.2-3電路

解

先求f(t)→i(t)的

H(p)。

例2.2-4電路如圖2.2-3所示，已知iL(0-)=1A，vC(0-)=1V，求i2zi(0+)，i'2zi(0+)，i2zi(t)。圖2.2-3-例2.2-4電路

2.3LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

2.3.1單位沖激響應(yīng)h(t)輸入為單位沖激信號δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)，如圖2.3-1所示。圖2.3-1-單位沖激響應(yīng)

h(t)由傳輸算子表示為

或記為

n

階線性系統(tǒng)的傳輸算子為

為分析簡便，更突出求解單位沖激響應(yīng)的基本方法，假設(shè)

H(p)的分母多項式

D(p)均為單根，將分母多項式D(p)分解，并代入式(2.3-1a)，得到

將其展開為部分分式之和

式中

由于因果系統(tǒng)的hi(0-)=0，因此一階子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的一般項為

代入式(2.3-3b)，得到n

階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

例2.3-1求例2.1-6系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)。

解

例2.1-6的傳輸函數(shù)由待定系數(shù)法分解為

利用式(2.3-5)，可得

例2.3-2如圖2.3-2所示電路，輸入為電流源i(t)，輸出為電容電壓vC(t)，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。圖2.3-2-例2.3-2電路

表2-1列出了部分

H(p)與其對應(yīng)的h(t)，可以直接應(yīng)用。

2.3.2系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(儲能)為零時，僅由激勵f(t)引起的響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。利用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)以及LTI系統(tǒng)的時不變性、比例性以及積分特性，我們可以得到因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

根據(jù)LTI系統(tǒng)的時不變性，當(dāng)輸入移位τ時，δ(t)→h(t)輸出也移位τ，可以得到

根據(jù)LTI系統(tǒng)的比例性，當(dāng)輸入乘以強(qiáng)度因子f(τ)時，輸出也乘以強(qiáng)度因子f(τ)，又得到

再利用LTI系統(tǒng)的積分特性，若輸入信號是原信號的積分，輸出信號亦是原信號的積分，最后得到

即

例2.3-3如圖2.3-3所示電路，已知激勵f(t)=u(t)，用時域法求i(t)。圖2.3-3-例2.3-3電路

解

將f(t)、h(t)代入式(2.3-9)得

2.4卷積及其性質(zhì)

2.4.1卷積卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的函數(shù)f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數(shù)y(t)。這個關(guān)系表示為

2.4.2任意函數(shù)與δ(t)、u(t)卷積圖2.4-1

2.4.3卷積的性質(zhì)

1.時移

2.交換律

證

f2(t)*f1(t)也稱為卷積的第二種形式，式(2.4-9)實際應(yīng)用意義如圖2.4-4所示。

圖2.4-4-交換律的實用意義(激勵與系統(tǒng)的作用可互換)

3.分配律

證

式(2.4-10)實際應(yīng)用意義如圖2.4-5所示。

圖2.4-5-分配律的實用意義(并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和)

4.結(jié)合律

證

令τ-λ=x，τ=λ+x，dτ=dx，代入上式

式(2.4-11)實際應(yīng)用意義如圖2.4-6所示。圖2.4-6-結(jié)合律的實用意義(級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積)

2.4.4卷積的圖解法

卷積的圖解法是計算卷積的基本方法，優(yōu)點是可以直觀確定積分限、積分條件，并且作圖方便。圖解法具體步驟為

(1)f(t)→f(τ)，函數(shù)圖形不變，僅t→τ。

(2)h(t)→h(t-τ)，它包括兩部分運(yùn)算:

①

折疊h(t)→h(τ)→h(-τ)；

(3)將折疊移位后的h(t-τ)與f(τ)相乘。

(4)求h(t-τ)與f(τ)相乘后其非零值區(qū)的積分(面積)。

例2.4-1f(t)、h(t)如圖2.4-7所示，求y(t)=f(t)*h(t)。

解

具體計算如圖2.4-8所示。

第2種計算方法，如圖2.4-9所示。圖2.4-7例2.4-1的f(t)、h(t)圖2.4-8例2.4-1圖解法示意圖圖2.4-9例2.4-1第2種圖解法示意圖

2.4.5卷積的微分與積分性質(zhì)

(1)微分

(2)積分

證

由卷積的第二種形式同理可證

(3)微、積分性

利用式(2.4-15)的結(jié)果，可由f(t)與h(t)的卷積公式推出f'(t)與階躍響應(yīng)g(t)的卷積公式，即

式中，g(t)是系統(tǒng)對單位階躍信號的零狀態(tài)響應(yīng)，也簡稱單位階躍響應(yīng)。

例2.4-2-f(t)、h(t)如圖2.4-7所示，用微、積分性質(zhì)求y(t)=f(t)*h(t)。

解

圖2.4-10例2.4-2的f'(t)和g(t)

結(jié)果與例2.4-1相同。

2.5LTI因果系統(tǒng)的全響應(yīng)及其經(jīng)典方法求解

2.5.1全響應(yīng)由前兩節(jié)的分析可知，由系統(tǒng)的儲能及激勵可分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為兩者之和，即y(t)對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)初始條件為{y(k)(0+)}。

利用線性系統(tǒng)的可分解性，可以將標(biāo)準(zhǔn)全響應(yīng)初始條件{y(k)(0+)}分解為標(biāo)準(zhǔn)零狀態(tài)初始條件及標(biāo)準(zhǔn)零輸入初始條件，即

其中，{yzs(k)(0+)}、{yzi(k)(0+)}分別是零狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)初始條件、零輸入標(biāo)準(zhǔn)初始條件。

若激勵為零，則零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=0，此時式(2.5-2)為

為避免符號太多的困擾，再次約定在求解零輸入響應(yīng)時

即不特別指出的，本書微分方程所給定的初始條件均是用于求解零輸入響應(yīng)的。

零狀態(tài)響應(yīng)

利用例2.3-3的結(jié)果

全響應(yīng)

2.5.2全響應(yīng)的其他分解

全響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)外，還可以從其他角度出發(fā)，分解為不同分量。從響應(yīng)與系統(tǒng)或激勵的關(guān)系可分為自然(由)響應(yīng)與受(強(qiáng))迫響應(yīng)。其中由系統(tǒng)特征根決定模式的響應(yīng)定義為自然(由)響應(yīng)；與激勵模式相同的響應(yīng)定義為受(強(qiáng))迫響應(yīng)。顯然，零輸入響應(yīng)是自然(由)響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)是既有受(強(qiáng))迫響應(yīng)，也有自然(由)響應(yīng)。

由于系統(tǒng)的特征根與自然(由)響應(yīng)的關(guān)系，因此系統(tǒng)的特征根還有一個專業(yè)名稱——系統(tǒng)的自然(由)頻率。由這個定義可以比較自然(由)頻率與一般周期信號振蕩頻率的區(qū)別。

從響應(yīng)隨時間t趨于無窮是否消失，響應(yīng)還可分為瞬(暫)態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。其中瞬(暫)態(tài)響應(yīng)是響應(yīng)中隨著時間增長而消失的部分，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是響應(yīng)中隨時間增長不會消失的部分。例如e-tu(t)是瞬(暫)態(tài)響應(yīng)，而3sinωt·u(t)、u(t)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

例2.5-2試指出例2.3-3各響應(yīng)分量及自然頻率。

解

即例2.3-3響應(yīng)i(t)是零狀態(tài)響應(yīng)，其中的e-tu(t)是自然(由)響應(yīng)、瞬(暫)態(tài)響應(yīng)，u(t)是受(強(qiáng))迫響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。自然頻率=特征根λ=-1。

例2.5-3試指出例2.5-1各響應(yīng)分量及自然頻率。

2.5.3經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程

一般n階LTI系統(tǒng)的微分方程可由式(2.1-1)表示為

初始條件為y(0+)，y'(0+)，…，y(n-1)(0+