浙江省杭州市示范名校2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

浙江省杭州市示范名校2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．2．五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為（）A． B． C． D．3．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則內(nèi)角（）A． B． C． D．4．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．155．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．6．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點，過的平面與棱、、分別交于、、，設(shè)三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（）A．， B．，C．， D．，7．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．8．已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．1610．的展開式中含的項的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．8011．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．12．在直角坐標(biāo)平面上，點的坐標(biāo)滿足方程，點的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式的第5項的系數(shù)為_____.14．在中，角，，的對邊長分別為，，，滿足，，則的面積為__．15．曲線在點處的切線方程為______.16．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝_____，|z|＝_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對任意的有．18．（12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，其短半軸長為，一個焦點坐標(biāo)為，點在橢圓上，點在直線上的點，且．證明：直線與圓相切；求面積的最小值．19．（12分）某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計情況如下表：同意不同意合計男生a5女生40d合計100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機抽樣的方法抽取4位學(xué)生進行長期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰的計算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為的概率.21．（12分）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點.（Ⅰ）若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程；（Ⅱ）若直線過點，點滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.22．（10分）已知正實數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2、D【解析】

三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1，求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意，三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1；基本事件總數(shù)有種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種情況；若為第二種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率為，故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選：D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.3、C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．4、B【解析】，∴，選B．5、D【解析】

當(dāng)時，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)和有圖像兩個交點，計算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個交點.，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】

設(shè)，取與重合時的情況，計算出以及的值，利用排除法可得出正確選項.【詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時的情況.不妨設(shè)，延長到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當(dāng)平面平面時，，，排除B、D選項；因為，，此時，，當(dāng)平面平面時，，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題．7、C【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當(dāng)時，至多一個整數(shù)根；當(dāng)時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【點睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.8、C【解析】

根據(jù)，兩邊平方，化簡得，再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量，滿足，且，所以，所以，所以，所以，所以與的夾角為.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.10、B【解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數(shù)為．故選：B【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】因為，所以的虛部是，故選C.12、B【解析】

由點的坐標(biāo)滿足方程，可得在圓上，由坐標(biāo)滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標(biāo)滿足方程，在圓上，在坐標(biāo)滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與，由圖可知，設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為，則，圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、70【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項為故第5項的的系數(shù)為故答案為：70.【點睛】本題考查的是二項式定理，屬基礎(chǔ)題。14、．【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求，進而可求，然后結(jié)合余弦定理可求，代入，計算可得所求．【詳解】解：把看成關(guān)于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負(fù)的舍去），．故答案為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．15、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運用直線的點斜式求出切線的方程.【詳解】令，，所以，又，所求切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查運用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點處的切線方程，關(guān)鍵在于求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.16、11【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則計算復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長公式計算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z，∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案為：1，1．【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長計算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計算模長，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）首先證，令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，由即可證出；再令，再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，由即可證出.【詳解】（1）顯然時，，故在單調(diào)遞減．（2）首先證，令，則單調(diào)遞增，且，所以再令，所以單調(diào)遞增，即，∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于難題.18、證明見解析；1.【解析】

由題意可得橢圓的方程為，由點在直線上，且知的斜率必定存在，分類討論當(dāng)?shù)男甭蕿闀r和斜率不為時的情況列出相應(yīng)式子，即可得出直線與圓相切；由知，的面積為【詳解】解：由題意，橢圓的焦點在軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點在直線上，且知的斜率必定存在，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，，，于是，到的距離為，直線與圓相切．當(dāng)?shù)男甭什粸闀r，設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，所以，，從而．而，故的方程為，而在上，故，從而，于是．此時，到的距離為，直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．由知，的面積為，上式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以面積的最小值為1．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．19、（1）,有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）由題意可知X服從二項分布，利用公式計算概率及期望即可.【詳解】（1）因為100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為，即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大，故X服從二項分布，即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【點睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗、二項分布，屬于中檔題.20、（1）乙同學(xué)正確；（2）.【解析】

（1）根據(jù)變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點，判斷出乙正確.（2）由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)，計算出誤差，求得“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，由此利用古典概型概率計算公式，求得所求概率.【詳解】（1）已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，，代入兩個回