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江蘇卷2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足,若存在兩項(xiàng),,使得,則的最小值為().A.16 B. C.5 D.42.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.3.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),則()A. B. C.2 D.5.已知,且,則的值為()A. B. C. D.6.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.7.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.38.某校在高一年級(jí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)競(jìng)賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī):555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī),運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.129.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)的最小值是()A. B. C. D.10.《周易》是我國(guó)古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成,其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻,“”表示一個(gè)陰爻)若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為()A. B. C. D.11.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢(mèng)”的長(zhǎng)寬比為.在東方文化中通常稱(chēng)這個(gè)比例為“白銀比例”,該比例在設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái),塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)到塔底的高度之比,第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”,若兩展望臺(tái)間高度差為100米,則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米12.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對(duì)邊分別是,,,若,,則的面積的最大值為_(kāi)_____.14.已知全集,集合,則______.15.如圖是一個(gè)算法的偽代碼,運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)__________.16.在等比數(shù)列中,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.18.(12分)2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年,是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率;(2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是,答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題,用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本(萬(wàn)元)與該月產(chǎn)量(萬(wàn)件)之間有如下一組數(shù)據(jù):1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(2)①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程;②通過(guò)建立的關(guān)于的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬(wàn)件時(shí),產(chǎn)品的總成本為多少萬(wàn)元?(均精確到0.001)附注:①參考數(shù)據(jù):,,,,.②參考公式:相關(guān)系數(shù),,.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在直線上,求的最小值.21.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.22.(10分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大??;(2)求點(diǎn)到平面的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問(wèn)題,涉及到等比數(shù)列的知識(shí),是一道中檔題.2、C【解析】
設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為,代入計(jì)算得到答案.【詳解】可化為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn),屬于簡(jiǎn)單題.5、A【解析】
由及得到、,進(jìn)一步得到,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,又,所以,,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、C【解析】
求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,即,又,所以公差,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù),在時(shí),單調(diào)遞減,且;在時(shí),單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.8、D【解析】
根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績(jī)大于等于90的人數(shù),的取值為成績(jī)大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查利用程序框圖計(jì)算統(tǒng)計(jì)量等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).9、A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可求實(shí)數(shù)滿(mǎn)足的等式,從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故直線為其圖象的對(duì)稱(chēng)軸,令,,故,,因?yàn)椋?,?dāng)時(shí),.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì),注意平移變換是對(duì)自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個(gè)單位后,得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸,則有,本題屬于中檔題.10、C【解析】
分類(lèi)討論,僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦;從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè),再取沒(méi)有陽(yáng)爻的坤卦,計(jì)算滿(mǎn)足條件的種數(shù),利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知,僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦滿(mǎn)足條件,其種數(shù)是;僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦,沒(méi)有陽(yáng)爻的是坤卦,此時(shí)取兩卦滿(mǎn)足條件的種數(shù)是,于是所求的概率.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,分類(lèi)討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)題意,畫(huà)出幾何關(guān)系,結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離,進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為米,塔的實(shí)際高度為米,幾何關(guān)系如下圖所示:由題意可得,解得;且滿(mǎn)足,故解得塔高米,即塔高約為480米.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)中國(guó)文化的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
令,進(jìn)而求得,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,恰當(dāng)?shù)挠靡粋€(gè)未知數(shù)來(lái)表示和是本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
化簡(jiǎn)得到,,根據(jù)余弦定理和均值不等式得到,根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】,即,,故.根據(jù)余弦定理:,即.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,余弦定理,均值不等式,面積公式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.14、【解析】
根據(jù)題意可得出,然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)題意知,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、13【解析】根據(jù)題意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿(mǎn)足條件,故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.16、1【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在橢圓上,不在橢圓上,代入即得解;(2)設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為,可得.則,,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱(chēng),所以必在橢圓上,∴不在橢圓上∴,,即.(2)設(shè)橢圓上的點(diǎn)(),設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為又∴.,,(不妨設(shè)).故當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.18、(1);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】
(1)甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題包含兩個(gè)事件:一個(gè)抽到2道B類(lèi)題,一個(gè)是抽到3個(gè)B類(lèi)題,計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計(jì)算概率得分布列,再由期望公式計(jì)算期望.【詳解】(1)令“甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題”為事件,則抽到2道類(lèi)題有種取法,抽到3道類(lèi)題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式.19、(1)見(jiàn)解析;(2)①②3.386(萬(wàn)元)【解析】
(1)利用代入數(shù)值,求出后即可得解;(2)①計(jì)算出、后,利用求出后即可得解;②把代入線性回歸方程,計(jì)算即可得解.【詳解】(1)由已知條件得,,∴,說(shuō)明與正相關(guān),且相關(guān)性很強(qiáng).(2)①由已知求得,,所以,所求回歸直線方程為.②當(dāng)時(shí),(萬(wàn)元),此時(shí)產(chǎn)品的總成本約為3.386萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查了相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用以及線性回歸方程的求解和應(yīng)用,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案(2)設(shè),,根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意可設(shè),則點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)椋?,因?yàn)?,故的最小值?【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21、(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時(shí)也考
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