2024年第十五屆學而思高中數(shù)學數(shù)學競賽聯(lián)考試題

第十五屆學而思數(shù)學競賽聯(lián)考試題第一試一、填空題(本大題共8小題，每小題8分，共64分)1.設函數(shù)fi(x)=√5x2-8,對任意正整數(shù)n,定義函數(shù)fn+1(x)=fi(fn(x)),則方程f2024(x)=x的實數(shù)解為3.在△ABC中，并且∠BAC的內(nèi)角平則當△ABC的面積最小時，該三角形的周長為A;作拋物線C:y2=4x的切線，且滿足切點B;與原點不重合，設B;和拋物線C的焦點F的連線與C交于另一點C;,記C;的坐標為(a;,b;),則的正整數(shù)k的個數(shù)為所以滿足題意的正整數(shù)k的個數(shù)為4×2×2=16.6.給定實數(shù)t,若實數(shù)a,b滿足t≤a≤t+2,方程z2-az+b=0的兩復根之試求出最大的實數(shù)S?以及最小的實數(shù)S?使得不等式S?≤S≤S?恒成立.第二試點，且滿足EC=CA.過E作直線直線AD于點G.設X,Y分別是線段AF,AG的中點，Z,W分別是線段BE,DE的中點.證明：△WBX的外接圓與△ZDY的外接圓相切.Ak4.設質(zhì)數(shù)p和正整數(shù)k滿足p|2k-1.證明：存在正整數(shù)m及正整數(shù)1≤a?<a?<…<am≤p-1,第十五屆學而思數(shù)學競賽聯(lián)考試題第一試一、填空題(本大題共8小題，每小題8分，共64分)f?(x)=√5(52·x2-6·8)-8=√53·x2-31·f4(x)=√5(53·x2-31·8)-8=√5?·x2-156·易知f2024=√52024.x2-2(52024-1設AB=c,AC=b,則A;作拋物線C:y2=4x的切線，且滿足切點B;與原點不重合，設B;和拋介令x=0→y=t=i,介所以滿足題意的正整數(shù)k的個數(shù)為4×2×2=16.6.給定實數(shù)t,若實數(shù)a,b滿足t≤a≤t+2,方程z2-az+b=0的兩復根之若方程z2-az+b=0有兩個虛根所以點P(a,b)在平面上構(gòu)成的區(qū)域的面積為7.稱四面體的棱切球為與該四面體的每條棱內(nèi)部都相切的球，如果四面體ABCD存在棱切球，且AB=AD=6,AC=CD=8,徑的乘積為解答如圖，設L,E,F,H,J,K分別為棱則該四面體的體積與棱切球半則△ABD是邊長為6的正三角形，CA=CB=CD=8→點C在面ABD設棱切球半徑為r,OG=v,則8.稱S={1,2,…,9}的非空子集A是“好的”,當且僅當將A中的數(shù)從小到大排列后，不存在連續(xù)的三個偶數(shù)，則S的好子集的個數(shù)為_集合A有4個，此時集合A共有12個；若三數(shù)為2,4,8,由于1,9可任意抽取，此時集合A共有4個；同理若三數(shù)為2,6,8,此時集合A共有4個；同理若三數(shù)為4,6,8,此時集合A共有12個；的集合A共有36個.所以好子集共有511-36=475個.二、解答題(本大題共3小題，第9題16分，第10,11題各20分，共56分)的復數(shù)z,使得不等式|f(z)|≥m成立.若u≠v,且f(u)=f(v)?u2+bu+b-2=v2+解答如圖，設P(xo,yo),Q(x?,y?),R(x?,y2),則PQ和PR的方程分別為,P(xo,yo)得QR:聯(lián)立→(3x?-y?)x2-6xox+yB+3=0.點P到直線QR的距離設t=yh-3x2+3>0,則所以點P運動的軌跡方程為3x2-y2=2.11.設正實數(shù)a,b,c,d滿足：a+b+c+d=abc+bcd+cda+dab,試求出最大的實數(shù)S?以及最小的實數(shù)S?使得不等式S?≤S≤S?恒成立.解答等號成立時A=C=arctan2,則S=cosA+2cosB+cosC+2cosD>cosA+cosB+cosC+cosD第二試AD⊥DC,設E是直線BD上的段AF,AG的中點，Z,W分別是線段BE,DE的中點.證明：△WBX的外接圓與△ZDY的外接圓相切.解答如圖，設AE的中點為M,連接MX,MB,MC,MZ,MD,MW.注意到A,B,C,D四點共圓且今∠XMZ=∠AFE=∠YDZ→Z,D,M,Y四點共圓.又MZ//AB,MW//AD→∠MWB=∠ADB=∠AFE=∠AXM,則W,B,X,M四點共圓.→A,B,C,D,M五點共圓，于是∠MWB=∠ADB=∠AMB→AE是◎WBX的切線；另一方面，∠ZDM=∠BDM=180°-∠BAM=∠AMZ綜上，△WBX的外接圓與△ZDY的外接圓均與直線AE相切于點M.2.已知n為正整數(shù)(n≥2).若實數(shù)a?,a?,…,an∈[-1,1],且a?+a?+…+an=0,求的最大值.解答先證明引理：對固定的k,有若r-1>n-r,易知此時n-2r+1<0→n-2r+1≤-1,≤-a2-a?+n-2=-(a?+1)2+a?+na1=a2=…=an=-1,an=…=an-1=1,an=0.3.k為正整數(shù)，已知存在一種將正2024邊形三角剖分并將其2024個頂點染成k(1)每種顏色至少使用一次；(2)剖分得到的每個小三角形的三個頂點中，均有至少兩個頂點顏色相同.求k的最大可能值.解答構(gòu)造：設所有頂點依次為A?,A?,…,A?024,連接A;A?染色C,對A?013染色C1013,容易驗證此時所有三角形均有兩個頂點顏色相同，且共需1013種顏色.我們證明：若正n邊形的n.條邊中兩端點同色的邊有r條，則滿足題意的對n使用歸納法.當n=3時，可能有1條或3條同色邊，若r=1,則k=2;設n=m時結(jié)論成立，當n=m+1時，由于m+1邊形剖分共m-1個三角形，從而至少有一個三角形的兩條邊為正m+1邊形的相鄰兩邊，不妨設該若若而設t=mx(modp),t∈{1,2,…,p-1}.nS={x∈{1,2,…,p-1}|