2023-2024學年浙江省麗水市高二上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省麗水市2023-2024學年高二上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題卷規(guī)定的位置上.2.答題時，請按照答題卷上“注意事項”的要求，在答題卷相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知等比數(shù)列前n項和為，公比，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比數(shù)列求和公式得.故選：D.2.已知向量，則的值是（）A. B. C.8 D.12【答案】B【解析】由于，則，于是.故選：B3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A., B., C., D.,【答案】A【解析】函數(shù)的導數(shù)，由得，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；故選：A.4.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的斜率為，由于，設(shè)傾斜角為，則，，所以.故選：B.5.已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對于A：若，則或或與相交，故A錯誤；對于B：要得到，則需要與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，只有得不到，故B錯誤；對于C：若，則或與相交，故C錯誤；對于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正確；故選：D6.如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為，新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，即，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A.7.設(shè)橢圓與橢圓的離心率分別為，若，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】D【解析】已知橢圓與橢圓離心率分別為，，又，則，，則，設(shè)，，則根據(jù)對勾函數(shù)知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，則,，則，即的最大值為，無最小值．故選：D．8.已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是.接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)，.且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪.那么是（）A.83 B.87 C.91 D.95【答案】D【解析】根據(jù)題意將數(shù)列分組，第一組為第一項是，第二組為為第二項和第三項是，，依次類推，第組為，，，…，第組含有項，所以第組的和為：，前組內(nèi)一共含有項數(shù)為：，所以前組內(nèi)的項數(shù)和為：，若該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪.，只需將消去即可；若，則，，不滿足；若，則，，不滿足；若，則，，滿足；故滿足如條件的最小整數(shù)為95.故選：D二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知直線與圓交于兩點，則（）A.直線過定點 B.線段長最大值為6C.線段長的最小值為4 D.面積的最大值為【答案】ABC【解析】直線即直線，聯(lián)立，解得，，所以直線過定點，故A正確；當直線過圓圓心時，線段最長，為圓的直徑，等于6，故B正確；當直線AB與過原點和點的直線垂直時，弦長AB最短，因為原點C到點的距離為，此時，故C正確；因為，所以的面積取得最大值時，此時，故D錯誤.故選：ABC.10.如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體，且該八面體的各棱長均相等，則（）A.平面平面B.平面平面C.直線與平面所成角的正弦值是D.平面與平面夾角的余弦值是【答案】AD【解析】連接AC交BD于點O，則點O為正方形ABCD的中心，由對稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面CDE，平面，所以平面，同理平面，又，AF，平面，所以平面平面，A正確；取中點，連接，則，所以為二面角的平面角，設(shè)該八面體的棱長為，則，所以，所以二面角不是直二面角，則平面與平面不垂直，而平面平面，所以平面與平面也不垂直，B錯誤；同理，取中點，連接，為二面角的平面角，，所以平面與平面夾角的余弦值是，D正確；由，，得，在正方形ABCD中，，平面BEDF，平面BEDF，又，所以平面BEDF，所以即為直線AE與平面BDE所成的角，設(shè)該八面體的棱長為2，則，所以，所以，C錯誤.故選：AD.11.設(shè)直線與拋物線相交于兩點，且與圓相切于點，M為線段的中點（）A.當時，直線的斜率為1B.當時，線段的長為8C.當時，符合條件的直線有兩條D.當時，符合條件的直線有四條【答案】BD【解析】對A，如圖,設(shè),,則,兩式相減得,.當?shù)男甭蚀嬖跁r,，則有,又,所以.當時，，故A錯誤；對B，由，得,即，因此，即必在直線上.當時，，點，直線的方程為，恰好過拋物線焦點，故，故B正確；對C，將代入,得，由在拋物線內(nèi)部得，因為點在圓上,所以,當時，，解得，與矛盾，此時的斜率為的直線不存在，如圖：當?shù)男甭什淮嬖跁r，符合條件的直線只有一條，為，故C錯誤；對D，當時，，解得，符合，此時的斜率為的直線有兩條，為和，當?shù)男甭什淮嬖跁r,符合條件的直線也有兩條，為和，故D正確.故選：BD12.生態(tài)學研究發(fā)現(xiàn)：當種群數(shù)量較少時，種群近似呈指數(shù)增長，而當種群增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學上提出了著名的邏輯斯諦模型：，其中是正數(shù)，表示初始時刻種群數(shù)量，r表示種群的內(nèi)秉增長率，K表示環(huán)境容納量，近似刻畫t時刻的種群數(shù)量.下面判斷正確的是（）A.如果，那么存在B.如果，那么對任意C.如果，那么存在在t點處的導數(shù)D.如果，那么導函數(shù)在上存在最大值【答案】ABD【解析】由可得，當時，，令，解得：，因為為種群的內(nèi)秉增長率，，所以，A正確；，因為，，所以，故對任意的，，B正確；，因為，那么任意的，在點處的導數(shù)恒成立，故C錯誤；令，則，因為，令得：，解得：，令得：，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，那么的導函數(shù)在上存在極大值，也是最大值，D正確．故選:ABD．三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13.已知直線和，若，則_______.【答案】2【解析】直線的斜率為，，直線的斜率，即，經(jīng)檢驗，滿足題意.故答案為：2.14.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則_______.【答案】28【解析】.故答案為：28.15.已知圓臺的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為6，圓臺的體積為，且它的兩個底面圓周都在球O的球面上，則_______.【答案】【解析】設(shè)圓臺的高為h，依題意，解得．設(shè)，則，解得，故．故答案為：.16.已知三棱錐的體積為是空間中一點,，則三棱錐的體積是_______.【答案】10【解析】因為，則，即，即，所以，因為，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點，使得成立，即，所以，即，則，又三棱錐的體積為15，則.故答案為：1017.已知曲線和，點分別在曲線上，記點Q的橫坐標為，則的最小值是_______.【答案】【解析】設(shè)點坐標為，為的焦點，點到準線距離為，則，則，又，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，故，則，即的最小值是.故答案為：.18.如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標平面的第一象限（每個圓與相鄰的圓外切或與坐標軸相切），若斜率為3的直線將8個圓分成面積相等的兩部分，則直線的方程是_______.【答案】【解析】當過的直線將圓與圓區(qū)域平分，過的直線將圓與圓區(qū)域平分時，將8個圓劃分為面積相等的兩個區(qū)域且，直線的方程為：，即直線。故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.已知圓經(jīng)過點，，.（1）求圓的方程；（2）過點作直線與圓相切，求直線的方程.解：（1）線段的垂直平分線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，由，解得，圓的半徑，圓的方程為；（2）由題易得直線l的斜率存在，設(shè)過點P的直線為，即，圓心到直線的距離，解得或，直線方程為或.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1），則，又，所以的切線方程為；（2），故是函數(shù)的一個零點，由題意可知，方程有兩個不同的非零實數(shù)根，顯然不合題意，令，則，設(shè)，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故，又時，，時，，故，即.21.已知為正項數(shù)列的前n項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由題意知：且，兩式相減，可得，，可得，又，當時，，即，解得或（舍去），所以，從而，所以數(shù)列表示首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由，可得，所以.22.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，平面,為中點.（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）設(shè)點N在直線上，若的面積是，求的值.解：（1）由已知在中，，，又四邊形是平行四邊形，，取中點H，則，，，兩兩垂直，以為軸建立直角坐標系，則為邊上的高，，，M為中點，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，設(shè)平面的法向量為，，取，平面與平面夾角余弦值為；（2）設(shè)，則；，，設(shè)N點到的距離為d，則，，，即，.另解：，設(shè)N點到的距離為d，則，，延長至E，使得，則且，又平面，所以平面，而平面，，所以E點即為N點，.23.已知雙曲線，點，直線與雙曲線C交于不同的兩點.（1）若的重心在直線上，求k的值；（2）若直線過雙曲線C的右焦點F，且直線的斜率之積是，求的面積.解：（1）設(shè)，聯(lián)立方程，即，又的重心為，由題設(shè)，即，.所以，則.（2）由題設(shè)，直線，聯(lián)立方程即，，則，，代入化簡得，所以或（過M點舍），直線為，代入雙曲線得，，而M點到的距離為d，則，.浙江省麗水市2023-2024學年高二上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題卷規(guī)定的位置上.2.答題時，請按照答題卷上“注意事項”的要求，在答題卷相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知等比數(shù)列前n項和為，公比，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比數(shù)列求和公式得.故選：D.2.已知向量，則的值是（）A. B. C.8 D.12【答案】B【解析】由于，則，于是.故選：B3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A., B., C., D.,【答案】A【解析】函數(shù)的導數(shù)，由得，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；故選：A.4.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的斜率為，由于，設(shè)傾斜角為，則，，所以.故選：B.5.已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對于A：若，則或或與相交，故A錯誤；對于B：要得到，則需要與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，只有得不到，故B錯誤；對于C：若，則或與相交，故C錯誤；對于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正確；故選：D6.如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為，新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，即，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A.7.設(shè)橢圓與橢圓的離心率分別為，若，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】D【解析】已知橢圓與橢圓離心率分別為，，又，則，，則，設(shè)，，則根據(jù)對勾函數(shù)知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，則,，則，即的最大值為，無最小值．故選：D．8.已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是.接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)，.且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪.那么是（）A.83 B.87 C.91 D.95【答案】D【解析】根據(jù)題意將數(shù)列分組，第一組為第一項是，第二組為為第二項和第三項是，，依次類推，第組為，，，…，第組含有項，所以第組的和為：，前組內(nèi)一共含有項數(shù)為：，所以前組內(nèi)的項數(shù)和為：，若該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪.，只需將消去即可；若，則，，不滿足；若，則，，不滿足；若，則，，滿足；故滿足如條件的最小整數(shù)為95.故選：D二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知直線與圓交于兩點，則（）A.直線過定點 B.線段長最大值為6C.線段長的最小值為4 D.面積的最大值為【答案】ABC【解析】直線即直線，聯(lián)立，解得，，所以直線過定點，故A正確；當直線過圓圓心時，線段最長，為圓的直徑，等于6，故B正確；當直線AB與過原點和點的直線垂直時，弦長AB最短，因為原點C到點的距離為，此時，故C正確；因為，所以的面積取得最大值時，此時，故D錯誤.故選：ABC.10.如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體，且該八面體的各棱長均相等，則（）A.平面平面B.平面平面C.直線與平面所成角的正弦值是D.平面與平面夾角的余弦值是【答案】AD【解析】連接AC交BD于點O，則點O為正方形ABCD的中心，由對稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面CDE，平面，所以平面，同理平面，又，AF，平面，所以平面平面，A正確；取中點，連接，則，所以為二面角的平面角，設(shè)該八面體的棱長為，則，所以，所以二面角不是直二面角，則平面與平面不垂直，而平面平面，所以平面與平面也不垂直，B錯誤；同理，取中點，連接，為二面角的平面角，，所以平面與平面夾角的余弦值是，D正確；由，，得，在正方形ABCD中，，平面BEDF，平面BEDF，又，所以平面BEDF，所以即為直線AE與平面BDE所成的角，設(shè)該八面體的棱長為2，則，所以，所以，C錯誤.故選：AD.11.設(shè)直線與拋物線相交于兩點，且與圓相切于點，M為線段的中點（）A.當時，直線的斜率為1B.當時，線段的長為8C.當時，符合條件的直線有兩條D.當時，符合條件的直線有四條【答案】BD【解析】對A，如圖,設(shè),,則,兩式相減得,.當?shù)男甭蚀嬖跁r,，則有,又,所以.當時，，故A錯誤；對B，由，得,即，因此，即必在直線上.當時，，點，直線的方程為，恰好過拋物線焦點，故，故B正確；對C，將代入,得，由在拋物線內(nèi)部得，因為點在圓上,所以,當時，，解得，與矛盾，此時的斜率為的直線不存在，如圖：當?shù)男甭什淮嬖跁r，符合條件的直線只有一條，為，故C錯誤；對D，當時，，解得，符合，此時的斜率為的直線有兩條，為和，當?shù)男甭什淮嬖跁r,符合條件的直線也有兩條，為和，故D正確.故選：BD12.生態(tài)學研究發(fā)現(xiàn)：當種群數(shù)量較少時，種群近似呈指數(shù)增長，而當種群增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學上提出了著名的邏輯斯諦模型：，其中是正數(shù)，表示初始時刻種群數(shù)量，r表示種群的內(nèi)秉增長率，K表示環(huán)境容納量，近似刻畫t時刻的種群數(shù)量.下面判斷正確的是（）A.如果，那么存在B.如果，那么對任意C.如果，那么存在在t點處的導數(shù)D.如果，那么導函數(shù)在上存在最大值【答案】ABD【解析】由可得，當時，，令，解得：，因為為種群的內(nèi)秉增長率，，所以，A正確；，因為，，所以，故對任意的，，B正確；，因為，那么任意的，在點處的導數(shù)恒成立，故C錯誤；令，則，因為，令得：，解得：，令得：，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，那么的導函數(shù)在上存在極大值，也是最大值，D正確．故選:ABD．三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13.已知直線和，若，則_______.【答案】2【解析】直線的斜率為，，直線的斜率，即，經(jīng)檢驗，滿足題意.故答案為：2.14.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則_______.【答案】28【解析】.故答案為：28.15.已知圓臺的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為6，圓臺的體積為，且它的兩個底面圓周都在球O的球面上，則_______.【答案】【解析】設(shè)圓臺的高為h，依題意，解得．設(shè)，則，解得，故．故答案為：.16.已知三棱錐的體積為是空間中一點,，則三棱錐的體積是_______.【答案】10【解析】因為，則，即，即，所以，因為，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點，使得成立，即，所以，即，則，又三棱錐的體積為15，則.故答案為：1017.已知曲線和，點分別在曲線上，記點Q的橫坐標為，則的最小值是_______.【答案】【解析】設(shè)點坐標為，為的焦點，點到準線距離為，則，則，又，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，故，則，即的最小值是.故答案為：.18.如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標平面的第一象限（每個圓與相鄰的圓外切或與坐標軸相切），若斜率為3的直線將8個圓分成面積相等的兩部分，則直線的方程是_______.【答案】【解析】當過的直線將圓與圓區(qū)域平分，過的直線將圓與圓區(qū)域平分時，將8個圓劃分為面積相等的兩個區(qū)域且，直線的方程為：，即直線。故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說