2024-2025學(xué)年江蘇省南京市兩校高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市兩校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，，則.故選：A.2.已知，則（）A.－1 B.1 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.3.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】由，所以.故選；D.4.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定可知，，的否定為，.故選：A.5.已知，則“”是“”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】若，，滿足，但不成立；若，則，則成立.“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由不等式性質(zhì)，，故A錯(cuò)誤，由，故B錯(cuò)誤；由，故C正確；由，故D錯(cuò)誤.故選：C7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，，所以.故選：B.8.定義：表示、中的較小者．若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖中的實(shí)線所示：令，可得或，即點(diǎn)A0,-1、，令，可得，即點(diǎn)B1,-1，由圖可知，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是-1,0，且當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)均完成了道選項(xiàng)為、、、的單選題，他們的對(duì)話如下：甲：我選的；乙：我選的；丙：我選的；丁：我選的不是．已知這四位同學(xué)選的選項(xiàng)各不相同，且只有一位同學(xué)說(shuō)了謊，則說(shuō)謊的同學(xué)可能是（）A甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】AB【解析】若甲說(shuō)了謊，則乙選，丙選，甲不選，則甲選，丁選，合乎題意；若乙說(shuō)了謊，則甲選，丙選，乙不選，則乙選，丁選，合乎題意；若丙說(shuō)了謊，則甲選，乙選，丙不選，則丙選，丁選，不合乎題意；若丁說(shuō)了謊，則丁選，丙選，不合乎題意.故選：AB.10.已知函數(shù)，的定義域均為，下列結(jié)論正確的是（）注：函數(shù)的零點(diǎn)是當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)自變量的值A(chǔ).若，均增函數(shù)，則也為增函數(shù)B.若，均為減函數(shù)，則也為減函數(shù)C.若，均存在零點(diǎn)，則也存在零點(diǎn)D.若，均存在零點(diǎn)，則也存在零點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)A，，均增函數(shù)，則也為增函數(shù)，故A正確；對(duì)B，，均為減函數(shù)，則不一定是減函數(shù)，例如，不是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)槎x域?yàn)?，且有解，則有解，故C正確；對(duì)D，，均存在零點(diǎn)，則不一定有零點(diǎn)，例如都有零點(diǎn)，但無(wú)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)，正數(shù)，且且，則（）A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】ACD【解析】由，所以，對(duì)A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)下時(shí)取等號(hào)，令，則，解得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由，令，則，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)D，由可得，所以，令，由B知，則由可知當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，故D正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.【答案】【解析】由可知：，故，即函數(shù)的定義域?yàn)?13.已知，，則__________（用、表示）【答案】【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所?14.已知，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有個(gè)整數(shù)，，，則_________，的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意，，即，設(shè)不等式的解集為，則，，則，因?yàn)椴坏仁浇饧杏星覂H有個(gè)整數(shù)，所以，即，解得，所以的對(duì)稱(chēng)軸滿足，而，即離對(duì)稱(chēng)軸距離最近的整數(shù)只有，所以，所以三個(gè)整數(shù)解為，所以，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知全集，集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則或x≥4，此時(shí)，.（2）因?yàn)?，則，顯然，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知，命題，，命題，．（1）若為真命題，求的最小值；（2）若和恰好一真一假，求的取值范圍.解：（1）為真命題，即對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，即的最小值為.（2）若為真命題，即當(dāng)時(shí)，有解，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以只需，即，所以當(dāng)真假時(shí)，則，解得；當(dāng)假真時(shí)，則，解得，綜上，的取值范圍.17.已知、為東西方向的海岸線上相距的兩地（在的東側(cè)），是、之間距地處的一地，在地正南方向處有一海島，由海島開(kāi)往海岸的小船以的速度按直線方向航行.（1）某人在海島上乘小船在距地正東方向處的地登岸，登岸后以的速度向東步行到地，求此人從海島到達(dá)地的時(shí)間；（2）一快遞員以的速度從地向地騎行，同時(shí)某人乘小船從海島向海岸出發(fā)，兩人恰好相遇于、之間的地，且距地，求快遞員的速度的最大值．解：（1）如下圖所示：由題意可得，，，，，由勾股定理可得，因此，此人從海島到達(dá)地的時(shí)間為.（2）如下圖所示：，，，，由勾股定理可得，由題意可得，即，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，快遞員的速度的最大值為.18.已知函數(shù)，．（1）是否存在，使得？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)證明：，且，．注：函數(shù)在上單調(diào)遞增．解：（1）函數(shù)，，由，得，解得，所以存在x∈R，使得，.（2）依題意，函數(shù)定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，，，由，得，則，即，因此，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減.（3）依題意，函數(shù)，①，，由，得，則，于是；②，，由，得，于是；③，，，，當(dāng)時(shí)，，，，則，，因此；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，則，，因此，即，，所以，且，.19.我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都可以表示成．當(dāng)時(shí)，記的整數(shù)部分的位數(shù)為，例如；當(dāng)時(shí)，記的非有效數(shù)字的個(gè)數(shù)為，例如．（1）求，，并寫(xiě)出的表達(dá)式（不必寫(xiě)出過(guò)程）；（2）若，且取，求以及；（3）已知，猜想：與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：（1），，由題意，當(dāng)時(shí)，整數(shù)部分的位數(shù)為，當(dāng)時(shí)，的非有效數(shù)字的位數(shù)為，所以.（2）由，則，所以，故，，.（3）猜想：，當(dāng)時(shí)，為正整數(shù)且不可能是10的倍數(shù)，所以存在，使得，此時(shí)，而，所以，所以.江蘇省南京市兩校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，，則.故選：A.2.已知，則（）A.－1 B.1 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?故選：B.3.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】由，所以.故選；D.4.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定可知，，的否定為，.故選：A.5.已知，則“”是“”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】若，，滿足，但不成立；若，則，則成立.“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由不等式性質(zhì)，，故A錯(cuò)誤，由，故B錯(cuò)誤；由，故C正確；由，故D錯(cuò)誤.故選：C7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，，所以.故選：B.8.定義：表示、中的較小者．若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖中的實(shí)線所示：令，可得或，即點(diǎn)A0,-1、，令，可得，即點(diǎn)B1,-1，由圖可知，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是-1,0，且當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)均完成了道選項(xiàng)為、、、的單選題，他們的對(duì)話如下：甲：我選的；乙：我選的；丙：我選的；丁：我選的不是．已知這四位同學(xué)選的選項(xiàng)各不相同，且只有一位同學(xué)說(shuō)了謊，則說(shuō)謊的同學(xué)可能是（）A甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】AB【解析】若甲說(shuō)了謊，則乙選，丙選，甲不選，則甲選，丁選，合乎題意；若乙說(shuō)了謊，則甲選，丙選，乙不選，則乙選，丁選，合乎題意；若丙說(shuō)了謊，則甲選，乙選，丙不選，則丙選，丁選，不合乎題意；若丁說(shuō)了謊，則丁選，丙選，不合乎題意.故選：AB.10.已知函數(shù)，的定義域均為，下列結(jié)論正確的是（）注：函數(shù)的零點(diǎn)是當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)自變量的值A(chǔ).若，均增函數(shù)，則也為增函數(shù)B.若，均為減函數(shù)，則也為減函數(shù)C.若，均存在零點(diǎn)，則也存在零點(diǎn)D.若，均存在零點(diǎn)，則也存在零點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)A，，均增函數(shù)，則也為增函數(shù)，故A正確；對(duì)B，，均為減函數(shù)，則不一定是減函數(shù)，例如，不是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)槎x域?yàn)?，且有解，則有解，故C正確；對(duì)D，，均存在零點(diǎn)，則不一定有零點(diǎn)，例如都有零點(diǎn)，但無(wú)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)，正數(shù)，且且，則（）A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】ACD【解析】由，所以，對(duì)A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)下時(shí)取等號(hào)，令，則，解得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由，令，則，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)D，由可得，所以，令，由B知，則由可知當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，故D正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.【答案】【解析】由可知：，故，即函數(shù)的定義域?yàn)?13.已知，，則__________（用、表示）【答案】【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所?14.已知，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有個(gè)整數(shù)，，，則_________，的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意，，即，設(shè)不等式的解集為，則，，則，因?yàn)椴坏仁浇饧杏星覂H有個(gè)整數(shù)，所以，即，解得，所以的對(duì)稱(chēng)軸滿足，而，即離對(duì)稱(chēng)軸距離最近的整數(shù)只有，所以，所以三個(gè)整數(shù)解為，所以，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知全集，集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則或x≥4，此時(shí)，.（2）因?yàn)?，則，顯然，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知，命題，，命題，．（1）若為真命題，求的最小值；（2）若和恰好一真一假，求的取值范圍.解：（1）為真命題，即對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，即的最小值為.（2）若為真命題，即當(dāng)時(shí)，有解，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以只需，即，所以當(dāng)真假時(shí)，則，解得；當(dāng)假真時(shí)，則，解得，綜上，的取值范圍.17.已知、為東西方向的海岸線上相距的兩地（在的東側(cè)），是、之間距地處的一地，在地正南方向處有一海島，由海島開(kāi)往海岸的小船以的速度按直線方向航行.（1）某人在海島上乘小船在距地正東方向處的地登岸，登岸后以的速度向東步行到地，求此人從海島到達(dá)地的時(shí)間；（2）一快遞員以的速度從地向地騎行，同時(shí)某人乘小船從海島向海岸出發(fā)，兩人恰好相遇于、之間的地，且距地，求快遞員的速度的最大值．解：（1）如下圖所示：由題意可得，，，，，由勾股定理可得，因此，此人從海島到達(dá)地的時(shí)間為.（2）如下圖所示：，，，，由勾股定理可得，由題意可得，即，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，快遞員的速度的最大值為.18.已知函數(shù)，．（1）是否存在，使得？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)證明：，且，．注：函數(shù)在上單調(diào)遞增．解：（1）函數(shù)，，由，得，解得，所以存在x∈R，使得，.（2）依題意，函數(shù)定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，，，由，得，則，即，因此，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減.（3）依題意，函數(shù)，①，，由，得，