2024-2025學(xué)年遼寧省朝陽市重點(diǎn)高中高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省朝陽市重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，，則.故選：C.2.命題:“，”的否定為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】因?yàn)樵}為全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，并且需要否定結(jié)論，所以原命題“，”的否定為“，”.故選：D.3.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于AC，當(dāng)時(shí)，AC顯然錯(cuò)誤；對于B，取滿足，顯然，顯然不成立，故錯(cuò)誤；對于D，由，因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：D.4.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）①與；②與；③與；④與.A.①② B.③④ C.②④ D.①④【答案】C【解析】對于①，由函數(shù)可得，解得，則其定義域?yàn)?，由函?shù)可得，解得，則其定義域?yàn)?，故①不符合題意；對于②，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋盛诜项}意；對于③，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，故③不符合題意；對于④，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，故④符合題意.故選：C.5.命題“”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，可得在上能成立，因，故得.由題意知，是選項(xiàng)的范圍的真子集即可.故選：D.6.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】不等式可化，因?yàn)?，所以，所以不等式的解集為，所以，，則，因?yàn)椋裕?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以.故選：D．7.設(shè)，，，則a，b，c的大小順序是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，綜上：.故選：D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，【答案】B【解析】對于A，因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，所以，即4是的一個(gè)周期，故A正確；對于B，由4是的一個(gè)周期，知，，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，令，可得，作函數(shù)和y=fx的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，則，故D正確．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.方程組的解集是B.若集合中只有一個(gè)元素，則C.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件D.已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為4【答案】CD【解析】對于A，因?yàn)椋獾?，所以解集為，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)集合，滿足題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，可得，因此或，故B錯(cuò)誤；對于C，由可知一元二次方程的判別式，即該方程有兩根，且兩根之積，即兩根異號，所以充分性成立；若一元二次方程有一正一負(fù)根，可知兩根之積為負(fù)，即，也即，所以必要性成立，故C正確；對于D，由可知是集合的子集，所以集合可以是，，，共4個(gè)，故D正確.故選：CD.10.已知正數(shù)，滿足，下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】正數(shù)，滿足，對于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，A錯(cuò)誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，D正確.故選：BCD.11.對于函數(shù)下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值為0B.當(dāng)時(shí)，存在最小值C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D.的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【解析】選項(xiàng)A：時(shí)，，又因?yàn)?，，故函?shù)最小值為0（當(dāng)x=0時(shí)取到），選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B：不妨設(shè)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)函數(shù)不存在最小值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在R上不單調(diào)遞增，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然單調(diào)遞增，又t-1<0,t-12>0當(dāng)時(shí)，無解，即在上無零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，0和，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，0和，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由A知，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)，在上也無零點(diǎn)，此時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)椋x項(xiàng)正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；當(dāng)，只需，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.13.函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)，且y=fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則不等式的解集為______.【答案】【解析】因?yàn)閥=fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，所以，.又，所以，即．因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是上的增函數(shù)，所以，即2x-1>-22x-1<1，即x>-1所以.14.已知函數(shù)若，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______；若函數(shù)的最小值為a，則實(shí)數(shù)a的值為______.【答案】1或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，fx=當(dāng)時(shí)，由，得，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，，無解，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，即函數(shù)y=fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（2）①若，即時(shí)，則fx=a+1所以在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以．②當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得，不合題意，舍去．③當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得或（舍去）．綜上可得或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若，求；；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，或，則或x>6=x|x≠6（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，對于集合，不等式，即，解得，所以，因?yàn)槭荁的真子集，，所以m-1>-1m+1<6，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.某國產(chǎn)車企業(yè)在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場.已知該車型年固定研發(fā)成本為3000萬元，每生產(chǎn)百輛，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車的售價(jià)為9萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售量×售價(jià)成本）（2）年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大？并求出最大年利潤.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，即當(dāng)年產(chǎn)量為百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.17.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，，使得，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1）由函數(shù)是奇函數(shù)，則，可得，，，解得，由，則，當(dāng)時(shí)，，可得，，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意.（2）由函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值；由函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則在上的最小值.由，，使得，則，即，解得.18.已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷的奇偶性，并求在區(qū)間上的值域；（3）解不等式.解：（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，故，所以，故在區(qū)間上的單調(diào)遞增.（2）為奇函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)，由于在區(qū)間上的單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，故在上值域?yàn)?（3）的定義域?yàn)?，令，解得，由得，?dāng)，即時(shí)，可得，整理得，所以，所以，所以，其中的根為或，由數(shù)軸標(biāo)根法得到不等式解為或，又，所以或，當(dāng)，即或時(shí)，由得，所以mm+2其中的根為或，同理得到不等式解為或或，又或，所以或，故不等式的解為.19.已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù)，，都有成立，且，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由等式，令，可得，由，解得.（2）由等式，令，可得，由（1）中的，整理可得，即，所以.（3）令，則，令，當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，此時(shí)方程至多只存在一個(gè)根，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，由，則，所以方程在0,+∞上無解，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，，，即，，則函數(shù)在12,1存在唯一零點(diǎn)，且在存在唯一零點(diǎn)，所以方程存在兩個(gè)根，且，由函數(shù)可作圖如下：由圖可知方程存在三個(gè)不同的根.綜上所述，.遼寧省朝陽市重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，，則.故選：C.2.命題:“，”的否定為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】因?yàn)樵}為全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，并且需要否定結(jié)論，所以原命題“，”的否定為“，”.故選：D.3.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于AC，當(dāng)時(shí)，AC顯然錯(cuò)誤；對于B，取滿足，顯然，顯然不成立，故錯(cuò)誤；對于D，由，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：D.4.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）①與；②與；③與；④與.A.①② B.③④ C.②④ D.①④【答案】C【解析】對于①，由函數(shù)可得，解得，則其定義域?yàn)?，由函?shù)可得，解得，則其定義域?yàn)?，故①不符合題意；對于②，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，故②符合題意；對于③，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋盛鄄环项}意；對于④，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，故④符合題意.故選：C.5.命題“”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，可得在上能成立，因，故得.由題意知，是選項(xiàng)的范圍的真子集即可.故選：D.6.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】不等式可化，因?yàn)椋?，所以不等式的解集為，所以，，則，因?yàn)?，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以.故選：D．7.設(shè)，，，則a，b，c的大小順序是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，綜上：.故選：D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，【答案】B【解析】對于A，因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，所以，即4是的一個(gè)周期，故A正確；對于B，由4是的一個(gè)周期，知，，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，令，可得，作函數(shù)和y=fx的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，則，故D正確．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.方程組的解集是B.若集合中只有一個(gè)元素，則C.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件D.已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為4【答案】CD【解析】對于A，因?yàn)?，解得，所以解集為，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)集合，滿足題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，可得，因此或，故B錯(cuò)誤；對于C，由可知一元二次方程的判別式，即該方程有兩根，且兩根之積，即兩根異號，所以充分性成立；若一元二次方程有一正一負(fù)根，可知兩根之積為負(fù)，即，也即，所以必要性成立，故C正確；對于D，由可知是集合的子集，所以集合可以是，，，共4個(gè)，故D正確.故選：CD.10.已知正數(shù)，滿足，下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】正數(shù)，滿足，對于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，A錯(cuò)誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，D正確.故選：BCD.11.對于函數(shù)下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值為0B.當(dāng)時(shí)，存在最小值C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D.的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【解析】選項(xiàng)A：時(shí)，，又因?yàn)椋?，故函?shù)最小值為0（當(dāng)x=0時(shí)取到），選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B：不妨設(shè)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)函數(shù)不存在最小值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在R上不單調(diào)遞增，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然單調(diào)遞增，又t-1<0,t-12>0當(dāng)時(shí)，無解，即在上無零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，0和，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，0和，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由A知，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)，在上也無零點(diǎn)，此時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)椋x項(xiàng)正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；當(dāng)，只需，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.13.函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)，且y=fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則不等式的解集為______.【答案】【解析】因?yàn)閥=fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，所以，.又，所以，即．因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是上的增函數(shù)，所以，即2x-1>-22x-1<1，即x>-1所以.14.已知函數(shù)若，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______；若函數(shù)的最小值為a，則實(shí)數(shù)a的值為______.【答案】1或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，fx=當(dāng)時(shí)，由，得，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，，無解，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，即函數(shù)y=fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（2）①若，即時(shí)，則fx=a+1所以在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以．②當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得，不合題意，舍去．③當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得或（舍去）．綜上可得或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若，求；；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，或，則或x>6=x|x≠6（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，對于集合，不等式，即，解得，所以，因?yàn)槭荁的真子集，，所以m-1>-1m+1<6，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.某國產(chǎn)車企業(yè)在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場.已知該車型年固定研發(fā)成本為3000萬元，每生產(chǎn)百輛，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車的售價(jià)為9萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售量×售價(jià)成本）（2）年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大？并求出最大年利潤.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，即當(dāng)年產(chǎn)量為百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.1