第一實數(shù)集與函數(shù)復(fù)習(xí)課程

第一章實數(shù)集與函數(shù)

§1實數(shù)§2數(shù)集確界原理§3函數(shù)的概念§4復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1.1實數(shù)一.實數(shù)及其性質(zhì)二.絕對值與不等式

若規(guī)定：

則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù).實數(shù)對正整數(shù)對負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,先將-y表示成無限小數(shù)，再在無限小數(shù)前加負(fù)號．如:-8=-7.999一.實數(shù)及其性質(zhì)：1.回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.說明:

對于負(fù)實數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)2.兩個實數(shù)的大小關(guān)系

說明:

.自然規(guī)定任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中給定兩個非負(fù)實數(shù)LLLLLLL

1)定義1

對于負(fù)實數(shù)其n位不足近似和n位過剩近似分別規(guī)定為和

注意：對任何實數(shù)x,有,命題1

設(shè)實數(shù)的性質(zhì)

1.實數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實數(shù).

2.實數(shù)集是有序的.即任意兩個實數(shù)a,b必滿足下述三個關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個實數(shù)，則3.實數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù),且既有有理數(shù),也有無理數(shù).6.實數(shù)集R與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系.即任一實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點,反之,數(shù)軸上的每一點也都唯一的代表一個實數(shù)..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

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>

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?

使得

則存在正整數(shù)

若

即對任何

實數(shù)具有阿基米德性

例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數(shù)證明設(shè)ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeeea0-a二.絕對值與不等式從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距離：

絕對值定義：絕對值的一些主要性質(zhì)性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出幾個重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有平均值不等式:等號當(dāng)且僅當(dāng)