第十五講　二次函數(shù)的應(yīng)用

第十五講二次函數(shù)的應(yīng)用1.如圖,在正方形ABCD中,AB=4,動(dòng)點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā),沿射線AB,射線BC的方向勻速運(yùn)動(dòng),且速度的大小相等,連接DM,MN,ND.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為x(0≤x≤4),△DMN的面積為S,下列圖像中能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是(A)2.汽車剎車后行駛的距離s(單位:米)關(guān)于行駛時(shí)間t(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系式是s=15t-6t2.則汽車從剎車到停止所用時(shí)間為1.25秒.

3.(2024·自貢)九(1)班勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地,地上兩段圍墻AB⊥CD于點(diǎn)O(如圖),其中AB上的EO段圍墻空缺.同學(xué)們測(cè)得AE=6.6m,OE=1.4m,OB=6m,OC=5m,OD=3m,班長(zhǎng)買來可切斷的圍欄16m,準(zhǔn)備利用已有圍墻,圍出一塊封閉的矩形菜地,則該菜地的最大面積是46.4m2.

4.從噴水池噴頭噴出的水柱,在空中形成一條拋物線,如圖所示,在拋物線各個(gè)位置上,水柱的豎直高度y(單位:m)與它距離噴頭的水平距離x(單位:m)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-2x2+4x+1,噴出水柱的最大高度是3m.

5.(2024·煙臺(tái))每年5月的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日,今年的主題是“科技助殘,共享美好生活”.康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,每輛輪椅盈利200元時(shí),每天可售出60輛;單價(jià)每降低10元,每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售,但每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元.設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元,每天的銷售利潤(rùn)為y元.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?(2)全國(guó)助殘日當(dāng)天,公司共獲得銷售利潤(rùn)12160元,請(qǐng)問這天售出了多少輛輪椅?【解析】(1)y=(200-x)(60+4×x10=-0.4x2+20x+12000=-0.4(x2-50x+625)+12250=-0.4(x-25)2+12250.∵200-x≥180,∴x≤20,∴當(dāng)x=20時(shí),利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為-0.4(20-25)2+12250=12240(元).答:y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-0.4x2+20x+12000;每輛輪椅降價(jià)20元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為12240元.(2)12160=-0.4(x-25)2+12250,0.4(x-25)2=12250-12160,0.4(x-25)2=90,(x-25)2=225,解得x1=40(不符合題意,舍去),x2=10.∴售出輪椅的輛數(shù)為60+4×1010=64答:售出了64輛輪椅.6.如圖,要圍一個(gè)矩形菜園ABCD,其中一邊AD是墻,且AD的長(zhǎng)不能超過26m,其余的三邊AB,BC,CD用籬笆,且這三邊的和為40m,有下列結(jié)論:①AB的長(zhǎng)可以為6m;②AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2;③菜園ABCD面積的最大值為200m2.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(C)A.0 B.1 C.2 D.37.加工爆米花時(shí),爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率y與加工時(shí)間x(單位:min)滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.2x2+1.5x-2,則最佳加工時(shí)間為3.75min.

8.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲.某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)題,請(qǐng)解答這道題.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1m長(zhǎng).嘉嘉在點(diǎn)A(6,1)處將沙包(看成點(diǎn))拋出,其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在點(diǎn)B(0,c)處接住,然后跳起將沙包回傳,其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線C2:y=-18x2+n8x+c+1(1)寫出C1的最高點(diǎn)坐標(biāo),并求a,c的值;(2)若嘉嘉在x軸上方1m的高度上,且到點(diǎn)A水平距離不超過1m的范圍內(nèi)可以接到沙包,求符合條件的n的整數(shù)值.【解析】(1)∵拋物線C1:y=a(x-3)2+2,∴C1的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),∵點(diǎn)A(6,1)在拋物線C1:y=a(x-3)2+2上,∴1=a(6-3)2+2,∴a=-19,∴拋物線C1:y=-19(x-3)當(dāng)x=0時(shí),c=1;(2)∵嘉嘉在x軸上方1m的高度上,且到點(diǎn)A水平距離不超過1m的范圍內(nèi)可以接到沙包,∴此時(shí),嘉嘉的坐標(biāo)范圍是(5,1)~(7,1),當(dāng)經(jīng)過(5,1)時(shí),1=-18×25+n解得n=175當(dāng)經(jīng)過(7,1)時(shí),1=-18×49+n解得n=417∴175≤n≤41∵n為整數(shù),∴符合條件的n的整數(shù)值為4和5.9.(2024·青海)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,有一斜坡OA,從點(diǎn)O處拋出一個(gè)小球,落到點(diǎn)A(3,32)處.小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線y=-x2+bx的一部分(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo);(3)斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹,點(diǎn)B是OA的三等分點(diǎn),小球恰好越過樹的頂端C,求這棵樹的高度.【解析】(1)由題意得,點(diǎn)A(3,32)是拋物線y=-x2+bx上的一點(diǎn)∴-32+3b=32∴-9+3b=32,∴b=7∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+72(2)∵拋物線的表達(dá)式為y=-x2+72x=-(x-74)2+∴拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(74,4916(3)如圖,過點(diǎn)A,B分別作x軸的垂線,垂足分別是點(diǎn)E,D.又∵∠BOD=∠AOE,∠BDO=∠AEO,∴△OBD∽△OAE,∴ODOE=BDAE=又∵點(diǎn)B是OA的三等分點(diǎn),∴OBOA=1∵A(3,32)∴AE=32,OE=3,∴BDAE=OBOA∴BD=13AE=1∵ODOE=OBOA=13,∴OD=1∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入y=-x2+72x中,∴y=-12+72×1=∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,52),∴CD=5∴CB=CD-BD=52-12答:這棵樹的高度是2.10.公路上正在行駛的甲車,發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后,開始減速,減速后甲車行駛的路程s(單位:m)、速度v(單位:m/s)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示,其圖像如圖所示.(1)當(dāng)甲車減速至9m/s時(shí),它行駛的路程是多少?(2)若乙車以10m/s的速度勻速行駛,兩車何時(shí)相距最近,最近距離是多少?【解析】(1)由題圖可知:二次函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn),設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為s=at2+bt,一次函數(shù)表達(dá)式為v=kt+c,∵一次函數(shù)圖像經(jīng)過(0,16),(8,8),則8=8k+c16=c∴一次函數(shù)表達(dá)式為v=-t+16,令v=9,則t=7,∴當(dāng)t=7時(shí),速度為9m/s,∵二次函數(shù)圖像經(jīng)過(2,30),(4,56),則4a+2b=3016∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=-12t2+16t令t=7,則s=-492+16×7=87.∴當(dāng)甲車減速至9m/s時(shí),它行駛的路程是87.5m;(2)∵當(dāng)t=0時(shí),甲車的速度為16m/s,∴當(dāng)10<v<16時(shí),兩車之間的距離逐漸變小,當(dāng)0<v<10時(shí),兩車之間的距離逐漸變大,∴當(dāng)v=10m/s時(shí),兩車之間距離最小,將v=10代入v=-t+16中,得t=6,將t=6代入s=-12t2+16t中,得s此時(shí)兩車之間的距離為:10×6+20-78=2m,∴6s時(shí)兩車相距最近,最近距離是2m.11.(2024·武漢)16世紀(jì)中葉,我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”,它是二級(jí)火箭的始祖.火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線,當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí),自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí),火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行.某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程.如圖,以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn),地平線為x軸,垂直于地面的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,分別得到拋物線y=ax2+x和直線y=-12x+b.其中,當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為9km時(shí),自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí)(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km,①直接寫出a,b的值;②火箭在運(yùn)行過程中,有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低1.35km,求這兩個(gè)位置之間的距離.(2)直接寫出a滿足什么條件時(shí),火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km.【解析】(1)①∵y=ax2+x經(jīng)過點(diǎn)(9,3.6),∴81a+9=3.6,解得a=-115∵y=-12x+b經(jīng)過點(diǎn)(9,3.∴3.6=-12×9+b,解得b=8.1②由①得y=-115x2+=-115(x2-15x+2254)=-115(x-152)2+154∴火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)是154km∴154-1.35=2.4(km)∴2.4=-115x2+x整理得x2-15x+36=0.解得x1=12>9(不符合題意,舍去),x2=3.由①得y=-12x+8.1(x∴2.4=-12x+8.1,解得x=11.4∴11.4-3=8.4(km).答:這兩個(gè)位置之間的距離為8.4km;(2)∵當(dāng)x=9時(shí),y=81a+9,∴火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,81a+9).設(shè)火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為15km,∴y=-12x+b經(jīng)過點(diǎn)(9,81a∴-12×9+b∴當(dāng)-227<a<0時(shí),火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km12.某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y=ax2(a>0)型拋物線圖像.發(fā)現(xiàn):如圖1所示,該類型圖像上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F0,14a的距離MF,始終等于它到定直線l:y=-14a的距離MN(該結(jié)論不需要證明),他們稱:定點(diǎn)F為圖像的焦點(diǎn),定直線l為圖像的準(zhǔn)線,y=-14a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點(diǎn)O為FH例如:拋物線y=12x2,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,12,準(zhǔn)線方程為l:y=-12.其中MF=MN,FH=2OH=1【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程:,.

【技能訓(xùn)練】(2)如圖2所示,已知拋物線y=18x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo)【能力提升】(3)如圖3所示,已知過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A,B,C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;【拓展升華】(4)古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí),提出了分線段的“中末比”問題:點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng),即滿足:ACAB=BCAC=5-12.后人把5-12這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù),把點(diǎn)C如圖4所示,拋物線y=14x2的焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H(0,-1),E為線段HF的“黃金分割”點(diǎn),點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)MHMF=2時(shí),請(qǐng)直接寫出△HME【解析】(1)∵a=2,∴14a=答案:0,18(2)∵a=18,∴-1∴準(zhǔn)線為y=-2,∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,∴18x2∴x=±42,∴P(42,4)或(-42,4);(3)如圖,作AG⊥l于點(diǎn)G,作BK⊥l于點(diǎn)K,∴AG