廣東省2025年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試卷試題（含答案解析）

2025年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．76．函數(shù)，的最小正周期為（

）A． B． C． D．7．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，且，，則邊（

）A． B． C． D．8．在公差為的等差數(shù)列中，若，則（

）A．4 B． C．3 D．9．在等差數(shù)列中，滿足，，則（

）A．11 B．14 C．15 D．1710．不等式的解集為（）A． B．C．或 D．11．某校高二年級(jí)1000名學(xué)生參加一次交通安全知識(shí)測(cè)試，所得成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則成績(jī)不低于90分的人數(shù)為（

）A．500 B．300 C．200 D．10012．某田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員40人，女運(yùn)動(dòng)員20人，按性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從該田徑隊(duì)全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為6的樣本，則應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空題13．在等差數(shù)列中，，則.14．在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，則a1＝，n＝.15．已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．16．已知向量與不共線，而且與共線，則的值為.17．某校為了解今年春季學(xué)期開(kāi)學(xué)第一周，高二年級(jí)學(xué)生參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)，有關(guān)部門隨機(jī)抽查了該校高二年級(jí)100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們今年春季學(xué)期開(kāi)學(xué)第一周參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中這100名同學(xué)今年春季學(xué)期開(kāi)學(xué)第一周參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）范圍是，數(shù)據(jù)分組為.這100名同學(xué)中，今年春季學(xué)期開(kāi)學(xué)第一周參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的人數(shù)為人.18．如圖，在直三棱柱中，．若，則與平面所成的角的大小為．三、解答題19．在中，已知(1)求角(2)若，求邊的取值范圍.20．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間．21．某商場(chǎng)隨機(jī)抽取了100名員工的月銷售額（單位：千元），將的所有取值分成，，，，五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中.

(1)求a，b的值；(2)求這100名員工月銷售額的第70百分位數(shù)；(3)若月銷售額在這一組中男女職工人數(shù)為，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女職工的概率.22．如圖，在直三棱柱中，D是線段BC的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)若，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求三棱錐的體積．參考答案一．選擇題1．B【分析】利用交集的定義直接求得答案.【詳解】集合，集合，則.故選：B2．A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍，即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，故充分性成立；若函數(shù)為增函數(shù)，則，所以必要性不成立；所以“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A3．A【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算直接得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：A4．A【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知.故選：A5．D【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以最大值與最小值之和為7.故選：D6．B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)直接得解.【詳解】由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，最小正周期為,故選：B7．C【分析】由三角形面積公式求得，再由余弦定理得到.【詳解】由，解得，由余弦定理得，所以.故選：C.8．D【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解【詳解】因?yàn)闉楣顬榈牡炔顢?shù)列，所以故選：D9．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)求解．【詳解】是等差數(shù)列，則，故選：B．10．A【分析】直接求解一元二次不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】解不等式，得，所以原不等式的解集為.故選：A11．C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出不低于90分的頻率，即可求得人數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可知，成績(jī)不低于90分的頻率為：，所以成績(jī)不低于90分的人數(shù)為.故選：C12．C【分析】根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系，列式求得答案.【詳解】由題意，應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為.故選：C二．填空題13．2【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)，得，問(wèn)題得解.【詳解】是等差數(shù)列，，，解得.故答案為：2.14．23【分析】根據(jù)所給條件，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程即可得解.【詳解】由得n2－13n＋30＝0，∴n＝3或n＝10.又當(dāng)n＝3時(shí)，a1＝2>0；當(dāng)n＝10時(shí)，a1＝<0，不合題意，舍去，故a1＝2，n＝3.故答案為：2；3.15．【分析】分析可知：原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，則，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，可得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16．/【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解.【詳解】因?yàn)榕c共線，又向量與不共線，所以，解得，故答案為：17．68【分析】計(jì)算出參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的頻率，進(jìn)而得到出參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的人數(shù).【詳解】今年春季學(xué)期開(kāi)學(xué)第一周參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的頻率為，故參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的人數(shù)為.故答案為：6818．/【分析】根據(jù)線面垂直可得線面角的幾何角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】連接,由于直三棱柱中，平面，平面，故,又,平面，故平面,由于,所以平面,故為與平面所成的角，由于，所以,，由于為銳角，所以，故答案為：三．解答題19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用邊轉(zhuǎn)角及正弦的和角公式，得到，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用正弦定理得到，從而得到，即可求解.【詳解】（1）由，得到，所以，又，則，得到，所以.（2）由正弦定理知，又，所以，，由，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，其中，，則，解得，所以邊的取值范圍為.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)周期公式求解；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間求解.【詳解】（1）的最小正周期為.（2）令，，解得：，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.21．(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形面積和為1，并結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)百分位數(shù)的概念求解；（3）根據(jù)古典概型列出基本事件計(jì)算得解.【詳解】（1）由已知得，所以，又因?yàn)椋裕?（2）由于樣本在的頻率為，在的頻率為，所以這100名員工月銷售額的第70百分位數(shù)為.（3）月銷售額在這一組的人數(shù)為.其中男職工3人，記為A，B，C，女職工2人，記為a，b，從中隨機(jī)抽取2人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個(gè)，其中，事件“至少有一名女職工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個(gè)，所以，所抽取的2人中至少有一名女職工的