2024-2025學(xué)年安徽省六安高三上冊第四次月考（11月）數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省六安高三上學(xué)期第四次月考（11月）數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列命題不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點(diǎn)，若,,，則用基底表示向量為（

）

A． B．C． D．3．某學(xué)校高二年級選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出30位同學(xué)進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查研究，則“史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為（

）A．8 B．12 C．16 D．64．已知數(shù)列的首項(xiàng)，則（

）A．48 B．80 C．63 D．655．已知等差數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，若，則與最接近的整數(shù)是（

）A．5 B．4 C．2 D．16．已知數(shù)列滿足，若對于任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在棱長為2的正方體中，是線段上一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為B．存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為C．存在點(diǎn)使得二面角的平面角為D．當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為8．已知一圓柱的軸截面為正方形，母線長為，在該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4二、多選題（本大題共3小題）9．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法-商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（

）A． B． C． D．10．在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起到的位置，使得二面角是銳角，則三棱錐的外接球的表面積可以是（

）A． B． C． D．11．對于棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），下列說法正確的是（

）A．底面半徑為高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為高為的圓錐D．該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為的圓錐三、填空題（本大題共3小題）12．已知一組數(shù)據(jù)1，2，0，，x，1的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.13．已知四棱錐平面，底面是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則到直線的距離為.

14．若在長方體中，.則四面體與四面體公共部分的體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)三角形的內(nèi)角的對邊分別為且.(1)求角的大??；(2)若邊上的高為，求三角形的周長.16．已知無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的值；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖所示，在三棱柱中，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)(1)證明：；(2)求與平面所成角的正弦值.18．如圖1，在等腰梯形中，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，且，將半圓沿翻折如圖2.(1)求證：平面；(2)當(dāng)多面體的體積為32時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.19．若存在非零常數(shù)，使得數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列：是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，證明：

答案1．【正確答案】D【詳解】若，則,故A選項(xiàng)正確；由，，可以推出，故B選項(xiàng)正確；由平面與平面垂直的判定定理可知，若，則，故C選項(xiàng)正確；，，則或異面，故D不正確.故選：D.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】連接BD，E為PD的中點(diǎn)，

．故選C．3．【正確答案】A【詳解】由題意得，史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為.故選：A4．【正確答案】C【詳解】數(shù)列的首項(xiàng)，則：，整理得：，所以：，即：（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.則：，整理得：（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），則：，所以.故選：C5．【正確答案】C【詳解】設(shè)的公差為，則，所以，則，則與最接近的整數(shù)是2.故選：C.6．【正確答案】C【詳解】由對于任意都有知，數(shù)列為遞減數(shù)列，所以只需滿足，解得，故選：C7．【正確答案】D【詳解】解：異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，如圖所示：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為，所以A錯(cuò)誤；如圖所示；當(dāng)與或重合時(shí)，直線與所成的角最小，為，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對于D，如圖所示：過作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以分別是的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)?，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D8．【正確答案】D【詳解】因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，母線長為，所以圓柱的內(nèi)切球半徑為，若該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時(shí)，棱長最大，如圖該正四面體的棱長為，設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的射影為，即面，則球心在上，且，，所以，所以，在中，，即，整理可得：，解得或（舍），所以的最大值為4，故選：D9．【正確答案】ACD【分析】由已知題意，探索遞推規(guī)律，由規(guī)律得通項(xiàng)，由此判斷選項(xiàng).【詳解】由題意得，第層有個(gè)球，.即，，，，因?yàn)?，所以，A正確；由，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，C正確；由，D正確.故選ACD.10．【正確答案】AD【詳解】如圖，由菱形邊長為6，，可知是邊長為6的正三角形，取的中點(diǎn)為，連接，則,所以是二面角的平面角，設(shè)，外接球球心為，取分別為靠近的三等分點(diǎn)，連接,則平面，平面，連接，因?yàn)?，所以在中，，即，所以，由，可知，所以，故，所?結(jié)合選項(xiàng)可知，AD符合，BC不符合.故選：AD11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，圓錐和正方體高度相同，對照圓錐軸截面和正方體的表面，顯然圓錐不可能罩住水平放置的該正方體，A不對；

對于B，如圖，以三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價(jià)于求與平面所成角的正切值，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)A到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為，B正確；

對于C，如圖，平面內(nèi)，過的中點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，，，，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為高為的圓錐，C正確；

對于D，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時(shí)，該圓錐的體積為，D正確.事實(shí)上，以正方體的體對角線作為軸，為頂點(diǎn)的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)與（為的四等分點(diǎn)）重合時(shí)，，因此，因?yàn)?，所以，則，圓錐體積，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，體積的最大值為，D正確.故選：BCD.12．【正確答案】1【分析】由平均數(shù)的公式求得，根據(jù)中位數(shù)的概念求出結(jié)果.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，有，可求得.將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列后，觀察數(shù)據(jù)可知最中間的兩個(gè)數(shù)是1與1，其平均數(shù)即中位數(shù)是.故1.13．【正確答案】【詳解】由題意知，平面，平面，所以，又，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，得所以，記，則，，所以到直線的距離為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】記，由于，則為的第一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近），連，是的中點(diǎn)，由于平面，所以到平面的距離是到平面的獨(dú)立的一半，則公共部分是三棱錐，又，作，垂足為，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知平面，所以面，由等面積法可得，所以，故.故

15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，因?yàn)?，所以可化為，即，即，又易知，解得，?（2）由三角形面積公式得，代入得：，所以，故為正三角形，，周長等于16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，又因?yàn)?，所?（2）由（1）知，因?yàn)?，且，所以是?為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列，17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意，平面平面，所以，又，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）法一：由（1）知，又，所以，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，D0,1,0，所以，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，所以n=0,1,?1從而，故直線與平面所成角的正弦值為.法二：取中點(diǎn)，則，，記與平面所成角為，則，因?yàn)槠矫?，所以平?所以平面平面,所以,中，,所以由，知，即解得，過做垂線交CA的延長線垂足為,又，所以18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連，依題意，在等腰梯形中，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，且，由等邊三角形可知分布在同一個(gè)圓周上，且，則六邊形為正六邊形，面面.（2）在圖1中連交于，則，連交于，則，故在圖2中，平面，所以平面，同理可證得平面，記面與面所成角為，則，，故，即面面.法一（幾何法）：延長交于延長交于則為面與面交線且，取中點(diǎn)，連接，則，則即為面與面所成角.在中，，故，故面與面所成角的余弦值為.法二（坐標(biāo)法）：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，有，令得，同理可得面法向量，設(shè)面與面所成角為，故.19．【正確答案】(1)不是，理由見解析(2)，.(3)證明見解析【詳解】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義，則，故，因?yàn)槌闪?，成立，不成立，所以不是“?shù)列