2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題1（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．2 C． D．3．直線(xiàn)的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．已知直線(xiàn)平分圓：的周長(zhǎng)，則（

）A． B． C． D．5．雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．46．若是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在正三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，N為棱上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，若記正三棱柱的體積為V，則四棱錐的體積為（

）A． B．C． D．8．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則（

）A．若，則 B．若，共線(xiàn)，則C．不可能是單位向量 D．若，則10．已知為正實(shí)數(shù)，，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值3 D．的最小值為1611．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)三者的乘積.如下圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，，，設(shè)的離心率為，則（

）A．若，則B．四邊形的面積與的面積之比為C．四邊形的內(nèi)切圓方程為D．設(shè)橢圓外陰影部分的面積為，橢圓內(nèi)陰影部分的面積為，則三、填空題12．直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為.13．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，短軸的長(zhǎng)為為上異于的兩點(diǎn).設(shè)，且，則的周長(zhǎng)的最大值為.四、解答題15．記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若為邊上一點(diǎn)，，，，求.16．已知圓與軸相切于點(diǎn)（0，3），圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）與點(diǎn)（﹣2，﹣3）的直線(xiàn)上．（1）求圓的方程；（2）圓與圓：相交于M、N兩點(diǎn)，求兩圓的公共弦MN的長(zhǎng)．17．（本題不能使用空間向量）如圖，在三棱柱中，底面中角為直角，，側(cè)面底面，，直線(xiàn)與平面所成角為.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.18．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線(xiàn)，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).19．若坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線(xiàn)與某正方形四條邊的所在直線(xiàn)均相切，則稱(chēng)曲線(xiàn)為正方形的一條“切曲線(xiàn)”，正方形為曲線(xiàn)的一個(gè)“切立方”.(1)試寫(xiě)出圓的一個(gè)切立方的四條邊所在直線(xiàn)的方程；(2)已知正方形的方程為，且正方形為雙曲線(xiàn)的一個(gè)“切立方”，求雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍；(3)已知為函數(shù)的圖像上任一點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.若奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且在時(shí)，設(shè)函數(shù)的圖像為曲線(xiàn)，試問(wèn)曲線(xiàn)是否存在切立方，并說(shuō)明理由.答案：題號(hào)12345678910答案ADABCDBCADACD題號(hào)11答案ABD1．A【分析】直接解出集合，根據(jù)交集含義即可.【詳解】，則.故選：A.2．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.3．A【分析】通過(guò)斜率求出傾斜角【詳解】整理得,直線(xiàn)斜率為，，所以?xún)A斜角為30°.故選：A4．B【分析】由已知可得直線(xiàn)過(guò)圓心，代入圓心坐標(biāo)可求.【詳解】由，可得圓心為，因?yàn)橹本€(xiàn)平分圓：的周長(zhǎng)，所以直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，則，解得.故選：B.5．C【分析】利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程易知C的漸近線(xiàn)為，所以，則.故選：C6．D【分析】通過(guò)誘導(dǎo)公式求出，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解即可.【詳解】是第二象限角，且，，，故選：D.7．B【分析】設(shè)，取AC的中點(diǎn)D，可得BD⊥平面，分別計(jì)算四棱錐的體積與正三棱柱的體積，即可得解.【詳解】正三棱柱中，設(shè)，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，則BD⊥AC，BD＝，，正三棱柱的體積，平面ABC，BD平面ABC，則BD，又BD⊥AC，，平面，則BD⊥平面，，則四棱錐的體積．故選：B．8．C【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理可求出的關(guān)系，即可求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椋傻?，所以，則，，由余弦定理可得，即，即故橢圓離心率故選：C.9．AD【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系、向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C，利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及利用坐標(biāo)求模判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，解得，A正確；對(duì)于B，由，共線(xiàn)，得，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，是單位向量，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，D正確．故選：AD10．ACD【分析】由基本不等式可得A正確；舉反例可得B錯(cuò)誤；反向代入結(jié)合基本不等式可得C正確；展開(kāi)之后由完全平方式可得D正確；【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，令，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)或等號(hào)成立，故D正確；故選：ACD.11．ABD【分析】根據(jù)題意可得，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例結(jié)合橢圓的離心率即可判斷A；根據(jù)橢圓的面積與菱形面積計(jì)算即可判斷B；根據(jù)菱形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)求得半徑與圓心即可得圓的方程，從而判斷C；根據(jù)橢圓面積及菱形面積關(guān)系，即可判斷，的關(guān)系，從而可判斷D.【詳解】由題可得，上、下頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，因?yàn)?，，，所以，?duì)于A，若，則，所以，則，故橢圓離心率，故A正確；對(duì)于B，四邊形的面積為，橢圓的面積，則面積比為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為，則在中可得，所以，則四邊形的內(nèi)切圓方程為，故C不正確；對(duì)于D，由題意有又，所以，所以，而且，故，故D正確.故選：ABD.12．2,1【分析】化簡(jiǎn)得，令即可.【詳解】，令，則，故其恒過(guò)點(diǎn).故答案為.13．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合臨界值的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以需要滿(mǎn)足：，解得，故答案為.14．8【分析】根據(jù)條件求出橢圓方程，再運(yùn)用幾何關(guān)系求出最大值.【詳解】由條件，，即，，設(shè)，由題意：，則，，即，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，；設(shè)左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為，如下圖：則的周長(zhǎng),，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，，l的得最大值為8；故8.15．(1)(2)【分析】（1）等價(jià)變形已知條件，得到，結(jié)合余弦定理即可得解.（2）由余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求得，最后根據(jù)以及誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】（1），則，所以，因?yàn)椋?（2）由（1）得，，因?yàn)椋?，，如圖在中，由余弦定理，即，在中由正弦定理，即，所以，因?yàn)椋?，在?，顯然為銳角，則.16．（1）；（2）.【分析】（1）求出過(guò)點(diǎn)（2,1）與點(diǎn)（﹣2,﹣3）的直線(xiàn)的方程，又由條件得到圓心在直線(xiàn)y=3上，解方程組可得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的半徑，于是可得圓的方程；（2）將圓的方程化為一般式，與圓的方程作差后可得兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程，然后求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而可得公共弦的長(zhǎng)．【詳解】（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）與點(diǎn)（﹣2，﹣3）的直線(xiàn)方程為，即y=x﹣1．由題意可得，圓心在直線(xiàn)y=3上，由，解得圓心坐標(biāo)為（4，3），故圓C1的半徑為4．則圓C1的方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2=16；（2）∵圓C1的方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2=16，即x2+y2﹣8x﹣6y+9=0，圓C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9=0，兩式作差可得兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程為3x+4y﹣9=0．圓C1的圓心到直線(xiàn)3x+4y﹣9=0的距離d=．∴兩圓的公共弦MN的長(zhǎng)為．（1）求圓的方程時(shí)注意平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如以下結(jié)論：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；②圓心在任一弦的中垂線(xiàn)上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線(xiàn)．（2）當(dāng)兩圓相交時(shí)，將兩個(gè)圓的方程相減后消去二次項(xiàng)，可得兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程，利用此結(jié)論求解可提高解題的效率．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)二面角的正弦值為【分析】（1）求證平面即可由面面垂直的判定定理得證平面平面；（2）分別作交于，作交于，連接，進(jìn)而得平面，從而得是二面角的平面角，接著由等面積法求出和即可由得解．【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，所以；因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?、平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以直線(xiàn)與平面所成的角為，所以，因?yàn)?，且，，，故，作交于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，作交于，連接，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面角，因?yàn)榧?，所以，因?yàn)榧?，所以，所以，所以二面角的正弦值為?8．(1)橢圓的方程為(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及的周長(zhǎng)，可得的值，從而可求解橢圓方程；（2）（i）先利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出兩條直線(xiàn)的斜率，再結(jié)合橢圓的方程，代入化簡(jiǎn)即可；（ii）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理與（i）中斜率乘積為定值，化簡(jiǎn)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）依題意可設(shè)橢圓，且，又的周長(zhǎng)為，即，所以，所以橢圓的方程為．（2）證明：（i）設(shè),，,，，由（1）可知，，所以，，因?yàn)?，即，所以，所以，又，所以，所以；（ii）因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，,，,，聯(lián)立，得，所以，，由（i）可知，，即，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．19．(1)(2)(3)存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)“切立方”的定義，結(jié)合圖象，找到一個(gè)切立方的四條邊所在直線(xiàn)的方程即可；（2）根據(jù)“切立方”的定義，聯(lián)立曲線(xiàn)和正方形的方程，由于相切，則，即可求解；（3）設(shè)第一個(gè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)為：，根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和正方形對(duì)邊平行，因此可設(shè)第二條切線(xiàn)為：，同理求出第三條和第四條切線(xiàn)，然后驗(yàn)證四條切線(xiàn)形成的圖形是否為正方形.【詳解】（1）根據(jù)“切立方”的定義，結(jié)合圖象可得，（答案不唯一）.（2）由正方形的方程為，則，由正方形為雙曲線(xiàn)的一個(gè)“切立方”，則，聯(lián)立可得，整理可得，則，整理得，即，則，所以.（3）由題意得，當(dāng)時(shí)，，設(shè)第一個(gè)切點(diǎn)為，則，則過(guò)該點(diǎn)的一條切線(xiàn)方程為：，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此如果曲線(xiàn)是存在切立方，則正方形也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故與第一條邊平行的正方形的另一條邊所