2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上冊期末數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線l過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為，則l在y軸上的截距為（）A. B.1 C. D.52.已知空間中三點(diǎn)，若，則（）A. B.4 C.3 D.3.設(shè)曲線C是雙曲線，則“C的方程為”是“C的漸近線方程為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不為0，且成等比數(shù)列，則（）A.1 B.2 C.3 D.55.古希臘幾何學(xué)家用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面去截一個(gè)圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，M為PB中點(diǎn)，某同學(xué)用平行于母線PA且過點(diǎn)M的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.2 B.3 C. D.6.如圖，在平行六面體中，，則直線與直線AC所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則面積的最大值是（）A. B. C. D.8.設(shè)，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若橢圓的焦距為2，則（）A.1 B.2 C.3 D.510.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.若，則的面積為2C.過P點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條D.存在直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為中點(diǎn)11.已知等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)D.若是數(shù)列中的項(xiàng)，則的值可能為712.在棱長為2的正方體中，，則下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積最大值為1C.若，則點(diǎn)到直線EF的距離為D.三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，且，則______14.己知圓與圓相切，則r的值為__________.15.已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），，若，則m的所有可能取值之和為__________.16.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，則的離心率為____________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求方程；（2）直線與交于兩點(diǎn)，求線段的長.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值.19.己知正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，.（1）若平面AEF，求值；（2）在（1）的條件下，求平面AEF與平面PAE夾角的余弦值．21.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．22.已知圓，定點(diǎn)，D是圓A上的一動(dòng)點(diǎn)，線段DB的垂直平分線交半徑DA于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；（2）若直線m與點(diǎn)E的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且，求面積的最大值．2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線l過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為，則l在y軸上的截距為（）A. B.1 C. D.5【正確答案】A【分析】設(shè)l在y軸上的截距為，根據(jù)斜率公式列式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€l一個(gè)方向向量為，可知直線l的斜率，設(shè)l在y軸上的截距為，即直線l過點(diǎn)，則，解得.故選：A.2.已知空間中三點(diǎn)，若，則（）A. B.4 C.3 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量平行的坐標(biāo)表示分析求解即可.【詳解】由題意可得：，若，則，解得，所以.故選：B.3.設(shè)曲線C是雙曲線，則“C的方程為”是“C的漸近線方程為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由方程為的漸近線為，且漸近線方程為的雙曲線方程為，結(jié)合充分、必要條件可得結(jié)果.【詳解】若的方程為，則，可得漸近線方程為，即充分性成立；若漸近線方程為，則雙曲線方程為，不一定為，即必要性不成立；所以“的方程為”是“的漸近線方程為”的充分而不必要條件，故選：A.4.已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不為0，且成等比數(shù)列，則（）A.1 B.2 C.3 D.5【正確答案】C【分析】設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，通過題設(shè)條件求得和的數(shù)量關(guān)系，再將用前項(xiàng)和公式展開，整體代入即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由成等比數(shù)列得,即：，解得：，.故選：C.5.古希臘幾何學(xué)家用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面去截一個(gè)圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，M為PB中點(diǎn)，某同學(xué)用平行于母線PA且過點(diǎn)M的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.2 B.3 C. D.【正確答案】D【分析】先利用中位線計(jì)算，結(jié)合對稱性判斷拋物線以為對稱軸，焦點(diǎn)在上，再以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求得參數(shù)p即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，則，，截圓錐的平面平行于母線PA且過母線PB的中點(diǎn)M，故O也在截面上，根據(jù)對稱性可知拋物線的對稱軸為，焦點(diǎn)在上，建立以M為原點(diǎn)，為x軸，過M點(diǎn)的垂線為y軸，設(shè)拋物線與底面交點(diǎn)為E，則，設(shè)拋物線為，則，解得，即該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，即為.故選：D.6.如圖，在平行六面體中，，則直線與直線AC所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由線段的位置關(guān)系及向量加減的幾何意義可得、，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求、，最后應(yīng)用夾角公式求直線夾角余弦值.【詳解】因?yàn)?，，可得，，又因?yàn)?，，可得，，所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：D.7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意不妨取，進(jìn)而求點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合方程分析求解.【詳解】對于曲線，令，即，可得，不妨取，可知，設(shè)，因?yàn)?，則，整理得，可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以面積的最大值是.故選：D.8.設(shè)，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用等比數(shù)列求和可得，結(jié)合題意代入運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若橢圓的焦距為2，則（）A.1 B.2 C.3 D.5【正確答案】CD【分析】討論橢圓焦點(diǎn)所在位置，結(jié)合之間的關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可知：，若焦點(diǎn)在x軸上，則，解得；若焦點(diǎn)在y軸上，則，解得；綜上所述：或.故選：CD.10.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.若，則的面積為2C.過P點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條D.存在直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為中點(diǎn)【正確答案】AB【分析】對A，根據(jù)雙曲線的定義判斷即可；對B，根據(jù)雙曲線定義結(jié)合勾股定理求解即可；對C，數(shù)形結(jié)合分析判斷即可；對D，根據(jù)點(diǎn)差法結(jié)合雙曲線性質(zhì)求解即可.【詳解】對A，根據(jù)雙曲線的定義可得，故A正確；對B，因?yàn)?，，則，又，故，即，故，故B正確；對C，由雙曲線的漸近線可得，過點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有與兩條漸近線分別平行的兩條直線、與雙曲線右支相切的兩條直線，共4條，故C錯(cuò)誤；對D，設(shè)存在兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，即，又，故，，故，即.由漸近線的性質(zhì)可得過點(diǎn)且斜率為2的直線與雙曲線無交點(diǎn)，故不存在直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為中點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)D.若是數(shù)列中的項(xiàng)，則的值可能為7【正確答案】ABD【分析】求出通項(xiàng)判斷A；求出公差、通項(xiàng)判斷BC；探討數(shù)列與的下標(biāo)關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，由題意得，A正確；對于B，新數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為2，故，B正確；對于C，由B選項(xiàng)知，令，則，即是數(shù)列的第8項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對于D，插入個(gè)數(shù)，則，則等差數(shù)列中的項(xiàng)在新的等差數(shù)列中對應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，于是，而是數(shù)列的項(xiàng)，令，當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABD12.在棱長為2的正方體中，，則下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積最大值為1C.若，則點(diǎn)到直線EF的距離為D.三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為【正確答案】ACD【分析】以為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，由于，則，選項(xiàng)A正確；由三棱錐的體積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得三棱錐的體積最大值，判斷出選項(xiàng)B；在中，利用等面積計(jì)算，可得點(diǎn)到直線的距離，判斷出選項(xiàng)C；求出三棱錐外接球球心坐標(biāo)，分析可知球心的軌跡為線段（沒有端點(diǎn)），可判斷出選項(xiàng)D．【詳解】以為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，，對于選項(xiàng)A：可得，，因?yàn)?，即，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)槿忮F的體積當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積取到最大值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若，則，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，在中，，，，則，且為銳角，可得，則，即，解得，故C正確；對于選項(xiàng)D：設(shè)三棱錐外接球球心由題意可知：，即，則，且，可知球心的軌跡為線段（沒有端點(diǎn)），且兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，所以三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為，故D正確；故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于選項(xiàng)D：可以利用補(bǔ)形法，將三棱錐補(bǔ)成長方體，可知三棱錐外接球球心即為長方體的中心.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，且，則______【正確答案】【分析】由向量垂直得向量的數(shù)量積等于計(jì)算即可得.【詳解】由，解得.故14.己知圓與圓相切，則r的值為__________.【正確答案】6或2【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩圓的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】圓圓心為，半徑為2；圓的圓心為，半徑為；由題意可得：或，且，解得或．故6或2.15.已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），，若，則m的所有可能取值之和為__________.【正確答案】【分析】由結(jié)合遞推關(guān)系式，分情況討論，分別求出的值即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，可知或，若，則；若，則；綜上所述，或，即m的所有可能取值之和．故16.設(shè)雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，則的離心率為____________.【正確答案】【分析】由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對稱性可得，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線與交于兩點(diǎn)，求線段的長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義直接求解即可；（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求解即可.【小問1詳解】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以根據(jù)拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以軌跡為的方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，，由，消去整理得，，，故弦長.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得出，利用勾股定理的逆定理可證得，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取線段的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，可知直線與平面所成角為，計(jì)算出、的長，即可求得的值，即為所求.【小問1詳解】證明：在中，，，，則，所以，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，、平面，因此，平?【小問2詳解】解：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，因?yàn)槠矫?，則平面，所以，與平面所成的角為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，因?yàn)椋?，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.19.己知正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項(xiàng)和.【正確答案】19.20.【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）由（1）可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)?，則，兩式相減得：，整理得，且為正項(xiàng)數(shù)列，可知，可得，即，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）可得，當(dāng)為奇數(shù)，則，可得，所以.20.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，.（1）若平面AEF，求的值；（2）在（1）的條件下，求平面AEF與平面PAE夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）建系，求平面的法向量，結(jié)合線面平面的向量關(guān)系分析求解；（2）由（1）可得平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，所以平面，如圖，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，可得，，，因?yàn)?，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，若平面AEF，則，解得.【小問2詳解】由（1）可得：平面的法向量為，由題意可知：平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.21.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【正確答案】（1