2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解m的范圍.【詳解】依題意，解得或故選：D2.已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則的公比是（）.A.1 B.2. C.3 D.5【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差與首項(xiàng)的關(guān)系即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，整理得，則，所以的公比.故選：C3.已知，記在處的切線為，則過(guò)與垂直的直線方程為（）.A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出與其垂直的直線方程.【詳解】由，求導(dǎo)得，則切線的斜率為，因此過(guò)與垂直的直線斜率為1，方程為.故選：A4.已知直線，圓，其中若點(diǎn)在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）.A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切【正確答案】A【分析】求出圓心到直線的距離的表達(dá)式，再由在圓外，求出，與的關(guān)系，進(jìn)而求出與的關(guān)系，判斷出直線與圓的位置關(guān)系．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以可得，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交．故選：A．5.數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）.A.63 B.127 C.255 D.256【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的特征，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故選：C6.已知為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且，則弦的中點(diǎn)到直線距離的最大值為（）．A. B. C. D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由數(shù)形結(jié)合即可求點(diǎn)到直線距離的最大值.【詳解】依題意，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接，則圓心到直線的距離為，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最大值為.故選：C7.已知函數(shù)，則的最大值為（）.A.2 B. C. D.【正確答案】B【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值.【詳解】，由于，則，令,即，解得，,即，解得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故選：B8.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得，且，則雙曲線的離心率（A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及三角形的面公式可以得到為直角三角形，進(jìn)而由勾股定理可以求解.【詳解】由雙曲線的定義可知得因，，設(shè)，則，，，為直角三角形，，即，，故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分）.9.已知為橢圓上一點(diǎn)，分別為橢圓的上焦點(diǎn)和下焦點(diǎn)，若構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)可能是（）.A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，按直角頂點(diǎn)為點(diǎn)和焦點(diǎn)分類求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)，由為直角三角形，則直角可能為若為直角，則，由，得；若為直角，則，由，得；若為直角，則在圓上，由，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)可能是AD.故選：AD10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列命題正確的有（）.A.若為等差數(shù)列，則一定是等差數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則一定是等比數(shù)列C.若，則一定是等比數(shù)列D.若，則一定是等比數(shù)列【正確答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的片段和性質(zhì)即可求解A，舉反例即可求解BD，根據(jù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解C.【詳解】對(duì)于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，同理可得，所以，所以，，仍為等差數(shù)列，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B,取數(shù)列為，1，，1，，，，不能成等比數(shù)列，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，由可得時(shí)，，相減可得（），由可得，因此對(duì)任意都成立，故是等比數(shù)列，C正確，對(duì)于D，由可得，相減可得，若，不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.下列不等式恒成立的有（）.A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】ABD【分析】分別構(gòu)造，，，，即可利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性得解.【詳解】對(duì)于A，令，則，故在單調(diào)遞增，故，故，A正確，對(duì)于B，設(shè)，則當(dāng)時(shí)在1,+∞單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在0,1單調(diào)遞增，故，故，B正確，對(duì)于C，令,，當(dāng)在0,+∞單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，所以，故，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，則，故在1,+∞單調(diào)遞增，故，故，D正確，故選：ABD12.已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的值可能是（）.A.1 B.3 C.4 D.5【正確答案】CD【分析】根據(jù)拋物線的定義及圓的性質(zhì)求出的最小值即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，圓的圓心為，半徑為1，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)點(diǎn)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，點(diǎn)位于之間時(shí)等號(hào)成立，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，AB不可能，CD可能.故選：CD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶颖硎緸殛P(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知為橢圓上一點(diǎn)，，分別為上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義及圓的性質(zhì)求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由在橢圓上，得，解得，，則橢圓的焦點(diǎn)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)分別為線段的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)，所以的最大值為.故14.已知在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________．【正確答案】1【分析】根據(jù)給定條件，求出導(dǎo)數(shù)進(jìn)而求出值，再驗(yàn)證即可.【詳解】由，求導(dǎo)得，由在處取得極小值，得，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，因此是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以.故115.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)___________.【正確答案】【分析】根據(jù)的關(guān)系即可作差求解.【詳解】由可得，兩式相減可得，當(dāng)時(shí)，，故，故16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.若，四邊形的面積為，則_______．【正確答案】【分析】設(shè)出方程，與拋物線方程聯(lián)立，可得，橫坐標(biāo)的積，結(jié)合已知向量等式求解，的坐標(biāo)，即可由面積公式求解.【詳解】由題意可知直線有斜率且不為0,設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，得．不妨設(shè)在第一象限，,，,，則，又，，即，聯(lián)立，解得或（舍，則，即，進(jìn)而可得所以解得，故四、解答題（本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).【正確答案】（1）（2）分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由題：拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2，即，所以拋物線方程：【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立直線和得，解得，，18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且_________.在①；②成等比數(shù)列；③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并解答下面問(wèn)題：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)推出數(shù)列為等差數(shù)列，公差．若選①，根據(jù)等差中項(xiàng)求出，再求出，根據(jù)和可得通項(xiàng)公式；若選②，根據(jù)等比中項(xiàng)列式求出，可得；若選③，根據(jù)等差數(shù)列求和公式列式求出，可得；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和得，即可求證.【小問(wèn)1詳解】由，得，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差．若選①，因?yàn)?，所以，得，所以，，所以，若選②，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，所以，所以．若選③，因?yàn)?，所以，所以，【小?wèn)2詳解】，所以，又因?yàn)椋裕?9.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即得.（2）求出導(dǎo)數(shù)，由在上恒成立求解即得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)得，由在上單調(diào)遞減，得，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)雙曲線左頂點(diǎn)的直線與圓相切.（1）求直線的方程；（2）若直線與雙曲線交于另一點(diǎn)求的面積.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）已知過(guò)A?2,0，討論直線斜率是否存在，斜率不存在時(shí)不符合題意，斜率存在時(shí)設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，由直線和圓相切得到圓心到直線的距離為半徑，解出的值即可得到直線方程；（2）若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由得到三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】由知左頂點(diǎn)A?2,0，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)與圓不想切不符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)即，由與圓相切得，解得或，所以直線的方程為或.【小問(wèn)2詳解】由知，所以漸近線斜率為，若直線的斜率為，則與雙曲線只有點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，舍去；若直線的方程為，與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立消去并整理得，解得或，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?21.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若的前項(xiàng)和為，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）對(duì)已知等式分解因式化簡(jiǎn)可得，則數(shù)列是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法可求出.【小問(wèn)1詳解】由，得，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，所以，所以，所以.22.已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓交于另一點(diǎn)，求面積的最大值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率及四邊形面積列式求出，即可求出橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線l與橢圓的