2024-2025學(xué)年青海省西寧市高二上冊(cè)第二次階段測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年青海省西寧市高二上學(xué)期第二次階段測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，向量，且，則（）A. B. C.2 D.8【正確答案】B解析：因?yàn)?，所以，解得，由可知，，解得，所?故選：B.2.正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為（

）A. B. C. D.【正確答案】C解析：設(shè),因四面體體積為，所以，解得,以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以，設(shè)平面的法向量為,所以，即，令，則，所以,設(shè)與平面所成角為，.故選：C.3.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A解析：因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得.即，所以，則圓的方程為.對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，所以此圓的圓心.根據(jù)斜率公式，這里，，則.因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.4.已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B.C. D.【正確答案】B解析：設(shè)點(diǎn)，因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（*）又在橢圓上，則①，②，由，可得，將（*）代入，化簡(jiǎn)得，即，可知直線的斜率為，故直線的方程為：，即.故選：B.5.如圖，在平行六面體中，，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則錯(cuò)誤的是（

）A. B.C. D.【正確答案】B解析：利用三角形法則，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，所以，故選項(xiàng)C正確,，，所以選項(xiàng)D正確.故選：6.已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的所有取值之和為（）A.-2 B. C.1 D.2【正確答案】B解析：因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或1，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意，所以實(shí)數(shù)的所有取值之和為.故選：B7.直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn).若，則（）A. B.3 C. D.【正確答案】C解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，由，得，則，由，得，得，聯(lián)立解得，，所以.故選：C8.年月日時(shí)分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè).①橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為②線段長(zhǎng)度的取值范圍是③的面積最小值是④的周長(zhǎng)恒為A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C解析：由題意，橢圓中幾何量，所以，則，故①正確；因?yàn)椋蓹E圓性質(zhì)可知，所以，故②正確；設(shè)，則，取，則，故③錯(cuò)誤；由橢圓定義知，，所以的周長(zhǎng)，故④正確，故答案為①②④.故選：C.二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.若直線：與圓：相交，則點(diǎn)在圓的外部B.直線被圓所截得的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為C.若圓上有4個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則有D.若過點(diǎn)作圓：的切線只有一條，則切線方程為【正確答案】AD解析：對(duì)于A項(xiàng)，由題意可得，所以，從而點(diǎn)在圓的外部，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，直線恒過定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交，則最長(zhǎng)的弦為直徑4，故B項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于C項(xiàng)，圓心到直線的距離為，如圖，直線與圓相交，，與平行，且與直線的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該滿足，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，過點(diǎn)作圓：的切線只有一條，則點(diǎn)在圓上，又，故切線的斜率為，所以切線方程為，即，故D項(xiàng)正確.故選：AD.10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若F到準(zhǔn)線的距離為2，則下列說法正確的有（）A.周長(zhǎng)的最小值為B.若，則最小值為4C.若直線過點(diǎn)F，則直線的斜率之積恒為D.若外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為【正確答案】BD解析：因?yàn)镕到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線，，，準(zhǔn)線，對(duì)于A，過作，垂足為，則，所以周長(zhǎng)的最小值為，故A不正確；對(duì)于B，若，則弦過，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，設(shè)的中點(diǎn)為，過作，垂足為，則，即最小值為4，故B正確；對(duì)于C，若直線過點(diǎn)F，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，設(shè)、，則，，所以，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)闉橥饨訄A的弦，所以圓心的橫坐標(biāo)為，因?yàn)橥饨訄A與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓的半徑為，所以該圓面積為，故D正確.故選：BD11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為面的中心，、分別為和的中點(diǎn)，則（）A.平面B.若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.點(diǎn)到直線的距離為D.平面與平交【正確答案】BD解析：A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，故，所以，故與平面不平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，把平面與平面以為公共邊展開到同一平面內(nèi)，如圖，連接與相交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值，B正確；C選項(xiàng)，，，，，點(diǎn)到直線的距離為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，顯然與不平行，故平面與平面不平行，又兩平面不重合，故兩平交，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在長(zhǎng)方體中，，已知異面直線與，與所成角的大小分別為和，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______.【正確答案】##解析：如圖建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，，且設(shè)，則，，，，，則，，.因?yàn)楫惷嬷本€與所成角為，所以，因?yàn)楫惷嬷本€與所成角為，所以，所以可得，，所以，，設(shè)平面法向量為，則，令，則因?yàn)?，，則點(diǎn)到平面距離.故答案為.13.已知直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，若直線，則______．【正確答案】解析：由題得，即，解得．故14.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過F1作圓的切線與雙曲線C的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若則雙曲線C的離心率為____________.【正確答案】解析：設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，連接，作作，垂足為，由于圓的半徑為，則，且為的中位線，可得，又，所以，即有，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，則，可得，所以，由雙曲線的定義可得，即，所以，由，則，所以雙曲線C的離心率為.故．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求過兩點(diǎn)和，且圓心在軸上圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【正確答案】解析：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，依題意得，即，解得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知拋物線：的焦點(diǎn)為．（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．【正確答案】（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線.（2）【小問1解析】由拋物線方程可得，，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線.【小問2解析】設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)在軸上方，則在軸下方，根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，將代入可得或（舍），所以，所以,所以直線的直線方程為，即，聯(lián)立，消去可得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，所以，所以.17.求與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【正確答案】或解析：把方程寫成，則其焦距，所以，又，所以，，故所求橢圓的方程為，或.18.已知直線，直線．（1）若，求，之間的距離；（2）若，求，及軸圍成的三角形的面積．【正確答案】（1）（2）．【小問1解析】因?yàn)?，所以，整理得，解得或．?dāng)時(shí)，，，，重合；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．故，則，之間距離為．【小問2解析】因?yàn)椋?，解得．，的方程分別為，．聯(lián)立方程組，得．因?yàn)?，與軸的交點(diǎn)分別為，，所以，及軸圍成的三角形的面積為．19.如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分