2024-2025學(xué)年浙江省衢州市五校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∵，∴∴，故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】復(fù)數(shù)滿足，則.則的虛部為-2.故選：B.3.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知直線的一個方向向量為，根據(jù)直線方向向量與斜率的關(guān)系，直線的斜率.因?yàn)橹本€的斜率，且，所以.故選：A.4.“”是方程“表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】要使方程表示雙曲線，則.解不等式，可得.當(dāng)時，不一定滿足，例如當(dāng)時，方程不表示雙曲線；而當(dāng)方程表示雙曲線時，一定有，那么一定滿足.所以是方程表示雙曲線的必要不充分條件.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，，則，即.根據(jù)二倍角公式，則.將其分子分母同時除以得到，進(jìn)一步化為.把代入上式，可得.故選：C.6.已知正四面體的棱長為1，動點(diǎn)在平面上運(yùn)動，且滿足，則的值為（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】動點(diǎn)在平面上運(yùn)動，且不共線，則存在實(shí)數(shù)，使.即，所以.又，不共面，由空間向量基本定理可知，故，解得.即.因?yàn)樗拿骟w正四面體，且棱長為.所以，.所以.故選：C.7.已知事件滿足，則（）A.若與相互獨(dú)立，則 B.若與互斥，C.若，則與相互對立 D.若，則【答案】D【解析】選項(xiàng)A，若A與B相互獨(dú)立，則A與相互獨(dú)立，所以，故A錯誤；選項(xiàng)B，若A與B互斥，則不可能同時發(fā)生，即，故B錯誤；選項(xiàng)C，若，則由于不確定C與B是否互斥，所以無法確定兩事件是否對立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于”，則，但事件并不互斥，也不對立，故C錯誤；選項(xiàng)D，若，則，則，故D正確故選：D.8.設(shè)，若存在，使為偶函數(shù)，則可能的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)，.則是偶函數(shù)，因?yàn)椴豢赡苁瞧婧瘮?shù)，由兩函數(shù)解析式可知，若和都是偶函數(shù)，滿足題意.要使為偶函數(shù)，則，即，當(dāng)時，，函數(shù)為偶函數(shù)，要使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)即可.由恒成立，即對任意恒成立，（不合題意，舍去），或，.可得，，即，取可得，故C正確，其余選項(xiàng)不存在，使其成立.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.兩圓半徑相同 B.兩圓有3條公切線C.直線的方程是 D.線段的長度是【答案】AD【解析】，，所以A選擇正確；，，∴，兩個圓相交，所以有2條公切線，B選項(xiàng)錯誤；兩個方程相減得，C選項(xiàng)錯誤；垂徑定理可得，∴，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.已知樣本數(shù)據(jù)是兩兩不同的四個自然數(shù)，且樣本的平均數(shù)為4，方差為5，則該樣本數(shù)據(jù)中（）A.眾數(shù)為4 B.上四分位數(shù)為6 C.中位數(shù)為4 D.最小值為1【答案】BCD【解析】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)平均數(shù)公式，可得.又已知方差為，根據(jù)方差公式，則.展開結(jié)合，則，則即，則.開方則.不妨設(shè)，則，（1）當(dāng)時，，，顯然無解.（2）當(dāng)時，，，則，開方則.再討論：令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.（3）當(dāng)時，，，則，開方則.再討論：令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.令，顯然滿足題意自然數(shù)解.（4）當(dāng)時，，，則，開方則.又，則，顯然無滿足題意自然數(shù)解.（5）當(dāng)時，，，則，開方則.又，則顯然無滿足題意自然數(shù)解.綜上所得，滿足題意得自然數(shù)解只有：.分析各個選項(xiàng).眾數(shù)：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)，這里數(shù)據(jù)兩兩不同，沒有眾數(shù)，所以A選項(xiàng)錯誤.上四分位數(shù)：，即，所以上四分位數(shù)為，B選項(xiàng)正確.中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，中位?shù)為.C選項(xiàng)正確最小值：最小值為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.數(shù)學(xué)家伯努利仿照橢圓的定義，找到了一種新的曲線：伯努利雙紐線．他是這樣定義雙紐線的：設(shè)兩個定點(diǎn)，動點(diǎn)到的距離之積為的點(diǎn)的軌跡．則下列說法正確的是（）A.雙紐線有對稱中心和對稱軸 B.雙紐線方程是C.的最大值為 D.面積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)點(diǎn)是雙紐線上的點(diǎn)，那么點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)到，的距離之積與到，的距離之積相同.關(guān)于軸，設(shè)在雙紐線上，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)到，的距離之積與到，的距離之積相同，所以雙紐線有對稱中心和對稱軸，A選項(xiàng)正確.對于B，設(shè)，，.因?yàn)?，所?展開可得.進(jìn)一步展開.令，則，即.將代回得.展開.整理得，B選項(xiàng)正確.對于C，由均值不等式.已知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為，C選項(xiàng)錯誤.對于D，設(shè)，根據(jù)三角形面積公式.因?yàn)?，所?因?yàn)樽畲笾禐椋缘淖畲笾禐?，D選項(xiàng)正確.故選；ACD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【解析】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則焦點(diǎn)在x軸上，則,由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式知道點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.13.若關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是______．【答案】【解析】令，則，則，即.方程有解，可轉(zhuǎn)化為，即關(guān)于的方程，有解.設(shè)，，則，則當(dāng)即時，取最大值，；當(dāng)即時，取最小值，；則的值域?yàn)椋褂薪?，則的取值范圍是.故答案為：.14.棱長為2的正方體中，為內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【解析】如圖，連接與平面交于點(diǎn)，因?yàn)闉檎叫危瑒t，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，平面，則平面，由平面，則，同理可得：，且，平面，所以平面，因?yàn)?，且為邊長為的等邊三角形，即，解得，又因?yàn)?，則，且的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑，即，可知點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上（且在內(nèi)），當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時，取到最小值，又因?yàn)?，可得，所以的最小值?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知直線．（1）若直線與直線平行，求的值；（2）若圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線，直線過點(diǎn)，求曲線截直線所得的弦長的最小值．解：（1）因?yàn)橹本€與直線平行，則，解得.（2）圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線是圓，圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心，直線的斜率為，由題意可得，解得，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時，圓心到直線的距離取最大值，且，所以，圓截直線的弦長的最小值為.16.在平面四邊形中，，點(diǎn)在上且滿足，且（1）求；（2）若，求四邊形周長的最大值解：（1）在中，由正弦定理得：，又，則，于是．（2）依題意，，則，有，，則，在中，，令，在中，由余弦定理得，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形周長的最大值為.17.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求二面角的平面角的余弦值解：（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖所示，四邊形為等腰梯形，，，所以，即，即，又平面，平面.（2）方法一：設(shè)四棱錐的高為，，四邊形為平行四邊形，，，又平面；如圖，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，且，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，則，，設(shè)面法向量為n=a,b,c，則，取，則，得，由題意，，設(shè)二面角夾角為是鈍角，則．方法二：設(shè)四棱錐的高為，，，又平面；又平面平面平面，過作交延長線于，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，過作的垂線，垂足為，連，由于平面，平面平面，，則為所求二面角的平面角的補(bǔ)角．，四邊形平行四邊形，，，，，，平面，平面，，，設(shè)二面角的平面角為則．18.橢圓，動直線與橢圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．（1）若直線的斜率為．求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過原點(diǎn)的直線與垂直，垂足為，求面積的最大值．解：（1）設(shè)直線：，代入橢圓，得：動直線與橢圓相切于點(diǎn)．又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，．方程的解為，得（2）如圖：設(shè)直線交軸于因?yàn)橹本€與垂直，．聯(lián)立與，得將代入橢圓得動直線與橢圓相切于點(diǎn)得即當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．面積的最大值為．19.曼哈頓距離是一個充滿神秘與奧秘的距離，常用于需要按照網(wǎng)格布局移動的場景，例如無人駕駛出租車行駛、物流配送等．在算法設(shè)計(jì)中，曼哈頓距離也常用于圖像處理和路徑規(guī)劃等問題．曼哈頓距離用于標(biāo)明兩個點(diǎn)在空間（平面）直角坐標(biāo)系上的絕對軸距總和．例如在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個點(diǎn)它們之間的曼哈頓距離（1）已知點(diǎn)，求的值；（2）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，求動點(diǎn)圍成的圖形的面積：（3）已知空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，若動點(diǎn)圍成的幾何體的體積是，求的值．解：（1）．（2）設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以動點(diǎn)圍成的圖形是正方形，邊長為，面積為8．（3）動點(diǎn)圍成的幾何體為八面體，每個面均為邊長的正三角形，其體積為．證明如下：不妨將平移到，處，設(shè)，若，則，當(dāng)時，即，設(shè)，由，得所以四點(diǎn)共面，所以當(dāng)時，在邊長為的等邊三角形內(nèi)部（含邊界），同理可知等邊三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)，均滿足．所以滿足方程的點(diǎn)，構(gòu)成的圖形是邊長為的等邊三角形內(nèi)部（含邊界）、由對稱性可知，圍成的圖形為八面體，每個面均為邊長為的等邊三角形．故該幾何體體積．浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∵，∴∴，故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】復(fù)數(shù)滿足，則.則的虛部為-2.故選：B.3.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知直線的一個方向向量為，根據(jù)直線方向向量與斜率的關(guān)系，直線的斜率.因?yàn)橹本€的斜率，且，所以.故選：A.4.“”是方程“表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】要使方程表示雙曲線，則.解不等式，可得.當(dāng)時，不一定滿足，例如當(dāng)時，方程不表示雙曲線；而當(dāng)方程表示雙曲線時，一定有，那么一定滿足.所以是方程表示雙曲線的必要不充分條件.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，，則，即.根據(jù)二倍角公式，則.將其分子分母同時除以得到，進(jìn)一步化為.把代入上式，可得.故選：C.6.已知正四面體的棱長為1，動點(diǎn)在平面上運(yùn)動，且滿足，則的值為（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】動點(diǎn)在平面上運(yùn)動，且不共線，則存在實(shí)數(shù)，使.即，所以.又，不共面，由空間向量基本定理可知，故，解得.即.因?yàn)樗拿骟w正四面體，且棱長為.所以，.所以.故選：C.7.已知事件滿足，則（）A.若與相互獨(dú)立，則 B.若與互斥，C.若，則與相互對立 D.若，則【答案】D【解析】選項(xiàng)A，若A與B相互獨(dú)立，則A與相互獨(dú)立，所以，故A錯誤；選項(xiàng)B，若A與B互斥，則不可能同時發(fā)生，即，故B錯誤；選項(xiàng)C，若，則由于不確定C與B是否互斥，所以無法確定兩事件是否對立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于”，則，但事件并不互斥，也不對立，故C錯誤；選項(xiàng)D，若，則，則，故D正確故選：D.8.設(shè)，若存在，使為偶函數(shù)，則可能的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)，.則是偶函數(shù)，因?yàn)椴豢赡苁瞧婧瘮?shù)，由兩函數(shù)解析式可知，若和都是偶函數(shù)，滿足題意.要使為偶函數(shù)，則，即，當(dāng)時，，函數(shù)為偶函數(shù)，要使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)即可.由恒成立，即對任意恒成立，（不合題意，舍去），或，.可得，，即，取可得，故C正確，其余選項(xiàng)不存在，使其成立.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.兩圓半徑相同 B.兩圓有3條公切線C.直線的方程是 D.線段的長度是【答案】AD【解析】，，所以A選擇正確；，，∴，兩個圓相交，所以有2條公切線，B選項(xiàng)錯誤；兩個方程相減得，C選項(xiàng)錯誤；垂徑定理可得，∴，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.已知樣本數(shù)據(jù)是兩兩不同的四個自然數(shù)，且樣本的平均數(shù)為4，方差為5，則該樣本數(shù)據(jù)中（）A.眾數(shù)為4 B.上四分位數(shù)為6 C.中位數(shù)為4 D.最小值為1【答案】BCD【解析】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)平均數(shù)公式，可得.又已知方差為，根據(jù)方差公式，則.展開結(jié)合，則，則即，則.開方則.不妨設(shè)，則，（1）當(dāng)時，，，顯然無解.（2）當(dāng)時，，，則，開方則.再討論：令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.（3）當(dāng)時，，，則，開方則.再討論：令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.令，顯然滿足題意自然數(shù)解.（4）當(dāng)時，，，則，開方則.又，則，顯然無滿足題意自然數(shù)解.（5）當(dāng)時，，，則，開方則.又，則顯然無滿足題意自然數(shù)解.綜上所得，滿足題意得自然數(shù)解只有：.分析各個選項(xiàng).眾數(shù)：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)，這里數(shù)據(jù)兩兩不同，沒有眾數(shù)，所以A選項(xiàng)錯誤.上四分位數(shù)：，即，所以上四分位數(shù)為，B選項(xiàng)正確.中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，中位?shù)為.C選項(xiàng)正確最小值：最小值為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.數(shù)學(xué)家伯努利仿照橢圓的定義，找到了一種新的曲線：伯努利雙紐線．他是這樣定義雙紐線的：設(shè)兩個定點(diǎn)，動點(diǎn)到的距離之積為的點(diǎn)的軌跡．則下列說法正確的是（）A.雙紐線有對稱中心和對稱軸 B.雙紐線方程是C.的最大值為 D.面積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)點(diǎn)是雙紐線上的點(diǎn)，那么點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)到，的距離之積與到，的距離之積相同.關(guān)于軸，設(shè)在雙紐線上，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)到，的距離之積與到，的距離之積相同，所以雙紐線有對稱中心和對稱軸，A選項(xiàng)正確.對于B，設(shè)，，.因?yàn)?，所?展開可得.進(jìn)一步展開.令，則，即.將代回得.展開.整理得，B選項(xiàng)正確.對于C，由均值不等式.已知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為，C選項(xiàng)錯誤.對于D，設(shè)，根據(jù)三角形面積公式.因?yàn)?，所?因?yàn)樽畲笾禐椋缘淖畲笾禐?，D選項(xiàng)正確.故選；ACD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【解析】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則焦點(diǎn)在x軸上，則,由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式知道點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.13.若關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是______．【答案】【解析】令，則，則，即.方程有解，可轉(zhuǎn)化為，即關(guān)于的方程，有解.設(shè)，，則，則當(dāng)即時，取最大值，；當(dāng)即時，取最小值，；則的值域?yàn)?，要使有解，則的取值范圍是.故答案為：.14.棱長為2的正方體中，為內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【解析】如圖，連接與平面交于點(diǎn)，因?yàn)闉檎叫?，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，則平面，由平面，則，同理可得：，且，平面，所以平面，因?yàn)?，且為邊長為的等邊三角形，即，解得，又因?yàn)?，則，且的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑，即，可知點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上（且在內(nèi)），當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時，取到最小值，又因?yàn)?，可得，所以的最小值?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知直線．（1）若直線與直線平行，求的值；（2）若圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線，直線過點(diǎn)，求曲線截直線所得的弦長的最小值．解：（1）因?yàn)橹本€與直線平行，則，解得.（2）圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線是圓，圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心，直線的斜率為，由題意可得，解得，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時，圓心到直線的距離取最大值，且，所以，圓截直線的弦長的最小值為.16.在平面四邊形中，，點(diǎn)在上且滿足，且（1）求；（2）若，求四邊形周長的最大值解：（1）在中，由正弦定理得：，又，則，于是．（2）依題意，，則，有，，則，在中，，令，在中，由余弦定理得，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形周長的最大值為.17.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求二面角的平面角的余弦值解：（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖所示，四邊形為等腰梯形，，，所以，即，即，又平面，平面.（2）方法一：設(shè)四棱錐的高為，，四邊形為平行四邊形，，，又平面；如圖，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，且，設(shè)平面的法向量為m