2024屆遼寧省丹東市高三上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市2024屆高三上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】依題意，，而，則,所以.故選：D.2.復數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意有.故選：A.3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐底面的半徑為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】設圓錐的底面圓半徑為，母線為，則，解得，所以側(cè)面展開圖扇形的弧長為，有，解得，即圓錐的底面圓半徑為1.故選：A4.已知對數(shù)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，設對數(shù)函數(shù)的解析式為且，由，得，解得，所以對數(shù)函數(shù)解析式為.所以，得或，當時，得，當時，得.故原不等式的解集為.故選：B5.有6個座位連成一排，安排3個人就坐，恰有兩個空位相鄰的坐法為（）A.48種 B.72種 C.96種 D.108種【答案】B【解析】根據(jù)題意，有6個座位連成一排，安排3個人就座，有3個空座位，把這三個空座位分成兩組，2個相鄰的，1個單獨放置的．將三人連同座位全排列，共有種情況，再把兩組不同的空座位插入到三個人產(chǎn)生的四個空位里，有種，所以不同坐法有種．故選：B6.已知圓過，，三點，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】設圓的標準方程為，因為圓過，，三點，所以，解得，所以，故，故選:C.7.已知銳角，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，.故選:A.8.已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令可得，則，故A錯誤令，則，所以，故B錯誤，令，則，所以，令，則，則，，，D錯誤，令，則，則，令，則，則，故C正確，故選：C二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.有一個零點B.的極小值為C.的對稱中心為D.直線是曲線的切線【答案】ACD【解析】A：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，故函數(shù)在R上只有一個零點，故A正確；B：由選項A的分析可知，函數(shù)的極小值為，故B錯誤；C：令，定義域為R，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對稱中心為，將函數(shù)圖象向下平移1個長度單位，得函數(shù)的圖象，所以的對稱中心為，故C正確；D：由選項A知，令，又，所以切線方程為，即，所以直線是曲線在點處的切線，故D正確.故選：ACD10.把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上遞增 D.關于直線對稱【答案】BCD【解析】A：將函數(shù)的圖象上點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，可得，再向左平移個單位長度，得，所以函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；B：由選項A知，則，故B正確；C：由，，得，令，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；D：易知，又，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，故D正確.故選：BCD11.已知直三棱柱的體積為，，，，O為的中點，則（）A. B.點A到平面的距離為C.直三棱柱的外接球的半徑為 D.直線與所成角的余弦值為【答案】AC【解析】設，由，得，所以，解得，即，故A正確；B：因為面，所以面，由面，得.設點A到平面的距離為，由等體積法可得，，即，又，，所以，即點A到平面的距離為，故B錯誤；C：由題意，易知為直三棱柱的外接球的球心，設半徑為R，則，所以，故C正確；D：如圖，取的中點D，連接OD、AD，則且，所以（或其補角）為直線AO與直線BC所成角，在中，，由余弦定理，得，故D錯誤.故選：AC.12.已知為坐標原點，過拋物線：的焦點的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，直線與C交于N，若直線與的傾斜角互補，則（）A.直線的斜率為 B.C.線段中點的縱坐標為 D.【答案】ACD【解析】由題意若直線與的傾斜角互補，其中，由題意設中點為，則垂直平分，所以，又A第一象限，所以，所以，即，所以直線（）的斜率為，故A正確；由A選項分析可知，直線（）的斜率為，所以直線（、）的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得，所以，所以，故B錯誤，由A選項分析，又直線與的傾斜角互補，，所以由直線的斜率為，所以直線的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得線段中點的縱坐標為，故C正確；由，，得，，所以，又，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.若隨機變量，且，則__________.【答案】0.8【解析】因為隨機變量，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，所以，所以.故答案為：0.814.設單位向量，的夾角為60°，則___________.【答案】2【解析】,故答案為：215.已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則___________.【答案】【解析】由題意設等比數(shù)列首先公比分別為（否則與矛盾），所以，，兩式相比得，解得，所以.故答案為：.16.已知橢圓：的左右焦點分別為，，點A在上，點B在y軸上，，，則C的離心率為_________.【答案】【解析】令橢圓C的半焦距為c，設，則，由點B在y軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以C的離心率為.故答案為：.四、解答題17.記為數(shù)列的前項和，，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）結(jié)合題意：因為，當時，，所以①②得，即，所以，當時，上式也成立.故的通項公式.（2）記，由（1）問所以，即，所以，所以③④得即，整理得：.18.記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，D是邊上的點，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由可得,由于，所以，因此（2）由，可得，由余弦定理可得,即，化簡可得，又，，代入可得，化簡得，進而，解得.19.如圖，在三棱錐中，，，，，點M，N分別為，的重心.（1）求證：面；（2）若平面與平面所成的角為45°，且平面平面，求三棱錐的體積.（1）證明：因為點M，N分別是的重心，取AB的中點D，連接PD，CD，如圖，則，在中，，所以，故，又面，面，所以面；（2）解：由題意知，，，取BC中點O，取AC的中點E，連接OP，OE，則，由面面，面面，面，得面，又面，所以，建立如圖空間直角坐標系，設，則，由，得，所以，易知為面的一個法向量，設面的一個法向量為，則，令，則，所以，故，由，解得.所以，即三棱錐的體積為.20.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，某地區(qū)舉行中國象棋比賽，先進行小組賽，每三人一組，采用單循環(huán)賽（任意兩人之間只賽一場），每場比賽勝者積3分，負者積0分，平局各1分.根據(jù)積分排名晉級淘汰賽，若出現(xiàn)積分相同的情況，則再進行同分加賽，直到排出小組1，2，3名為止，已知甲、乙、丙三人分在同一個小組，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲、乙對局時，甲勝概率為，平局概率為；甲、丙對局時，甲勝概率為，平局概率為；乙、丙對局時，乙勝概率為，平局概率為，各場比賽相互獨立.（1）甲乙丙單循環(huán)賽分出勝負的局數(shù)為，求；（2）甲乙丙單循環(huán)賽結(jié)束，乙丙同積4分，設加賽次后乙獲得小組第一名的概率為，證明：.（1）解：單循環(huán)賽共賽3場，故X可能取值為0,1,2,3，則，，所以；（2）證明：當乙丙同積4分式，說明乙丙各勝1場，各平局1場，而甲負2場得0分.若乙丙加賽1場后乙勝，此時乙獲得小組第一的概率為；若乙丙加賽2場后乙勝，說明加賽的第1場平局，第2場乙勝，此時；若乙丙加賽3場后乙勝，說明加賽的前2場平局，第3場乙勝，此時；若乙丙加賽4場后乙勝，說明加賽的前3場平局，第4場乙勝，此時；若乙丙加賽n場后乙勝，說明加賽的前場平局，第n場乙勝，此時.所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，即證.21.已知雙曲線的漸近線方程為，點在上.（1）求的方程；（2）過點的直線交于、兩點，直線、與軸的交點分別為、，求證：線段的中點為定點.（1）解：因為點在雙曲線上，則，又因為，則，又因為雙曲線的漸近線方程為，則，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，直線與雙曲線相切，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，即，設點、，聯(lián)立可得，由題意可知，，解得，由韋達定理可得，，直線的方程為，在直線的方程中，令，得，即點，同理可得點，因為，所以，線段的中點坐標為，即線段的中點為定點.22.已知定義在上的函數(shù)和.（1）求證：；（2）設在存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.（1）證明：記（），所以，因此在上單調(diào)遞減，故，故，（2）解：,則，由于在存在極值點，所以有正的實數(shù)根，即方程有正的實數(shù)根，令，則，且，故變形為，進而等價于有正的實數(shù)根，令，，則，令，則，當時，則，所以在單調(diào)遞增，故，進而，此時在單調(diào)遞增，故，此時不符合要求，當時，則，所以在單調(diào)遞減，故，進而，此時在單調(diào)遞減，故，此時不符合要求，當時，則在單調(diào)遞增，由于，當時，，故存在，使得，故當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，又當時，，因此存在，使得單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，故當是的零點，綜上可得遼寧省丹東市2024屆高三上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】依題意，，而，則,所以.故選：D.2.復數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意有.故選：A.3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐底面的半徑為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】設圓錐的底面圓半徑為，母線為，則，解得，所以側(cè)面展開圖扇形的弧長為，有，解得，即圓錐的底面圓半徑為1.故選：A4.已知對數(shù)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，設對數(shù)函數(shù)的解析式為且，由，得，解得，所以對數(shù)函數(shù)解析式為.所以，得或，當時，得，當時，得.故原不等式的解集為.故選：B5.有6個座位連成一排，安排3個人就坐，恰有兩個空位相鄰的坐法為（）A.48種 B.72種 C.96種 D.108種【答案】B【解析】根據(jù)題意，有6個座位連成一排，安排3個人就座，有3個空座位，把這三個空座位分成兩組，2個相鄰的，1個單獨放置的．將三人連同座位全排列，共有種情況，再把兩組不同的空座位插入到三個人產(chǎn)生的四個空位里，有種，所以不同坐法有種．故選：B6.已知圓過，，三點，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】設圓的標準方程為，因為圓過，，三點，所以，解得，所以，故，故選:C.7.已知銳角，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，.故選:A.8.已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令可得，則，故A錯誤令，則，所以，故B錯誤，令，則，所以，令，則，則，，，D錯誤，令，則，則，令，則，則，故C正確，故選：C二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.有一個零點B.的極小值為C.的對稱中心為D.直線是曲線的切線【答案】ACD【解析】A：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，故函數(shù)在R上只有一個零點，故A正確；B：由選項A的分析可知，函數(shù)的極小值為，故B錯誤；C：令，定義域為R，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對稱中心為，將函數(shù)圖象向下平移1個長度單位，得函數(shù)的圖象，所以的對稱中心為，故C正確；D：由選項A知，令，又，所以切線方程為，即，所以直線是曲線在點處的切線，故D正確.故選：ACD10.把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上遞增 D.關于直線對稱【答案】BCD【解析】A：將函數(shù)的圖象上點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，可得，再向左平移個單位長度，得，所以函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；B：由選項A知，則，故B正確；C：由，，得，令，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；D：易知，又，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，故D正確.故選：BCD11.已知直三棱柱的體積為，，，，O為的中點，則（）A. B.點A到平面的距離為C.直三棱柱的外接球的半徑為 D.直線與所成角的余弦值為【答案】AC【解析】設，由，得，所以，解得，即，故A正確；B：因為面，所以面，由面，得.設點A到平面的距離為，由等體積法可得，，即，又，，所以，即點A到平面的距離為，故B錯誤；C：由題意，易知為直三棱柱的外接球的球心，設半徑為R，則，所以，故C正確；D：如圖，取的中點D，連接OD、AD，則且，所以（或其補角）為直線AO與直線BC所成角，在中，，由余弦定理，得，故D錯誤.故選：AC.12.已知為坐標原點，過拋物線：的焦點的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，直線與C交于N，若直線與的傾斜角互補，則（）A.直線的斜率為 B.C.線段中點的縱坐標為 D.【答案】ACD【解析】由題意若直線與的傾斜角互補，其中，由題意設中點為，則垂直平分，所以，又A第一象限，所以，所以，即，所以直線（）的斜率為，故A正確；由A選項分析可知，直線（）的斜率為，所以直線（、）的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得，所以，所以，故B錯誤，由A選項分析，又直線與的傾斜角互補，，所以由直線的斜率為，所以直線的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得線段中點的縱坐標為，故C正確；由，，得，，所以，又，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.若隨機變量，且，則__________.【答案】0.8【解析】因為隨機變量，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，所以，所以.故答案為：0.814.設單位向量，的夾角為60°，則___________.【答案】2【解析】,故答案為：215.已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則___________.【答案】【解析】由題意設等比數(shù)列首先公比分別為（否則與矛盾），所以，，兩式相比得，解得，所以.故答案為：.16.已知橢圓：的左右焦點分別為，，點A在上，點B在y軸上，，，則C的離心率為_________.【答案】【解析】令橢圓C的半焦距為c，設，則，由點B在y軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以C的離心率為.故答案為：.四、解答題17.記為數(shù)列的前項和，，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）結(jié)合題意：因為，當時，，所以①②得，即，所以，當時，上式也成立.故的通項公式.（2）記，由（1）問所以，即，所以，所以③④得即，整理得：.18.記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，D是邊上的點，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由可得,由于，所以，因此（2）由，可得，由余弦定理可得,即，化簡可得，又，，代入可得，化簡得，進而，解得.19.如圖，在三棱錐中，，，，，點M，N分別為，的重心.（1）求證：面；（2）若平面與平面所成的角為45°，且平面平面，求三棱錐的體積.（1）證明：因為點M，N分別是的重心，取AB的中點D，連接PD，CD，如圖，則，在中，，所以，故，又面，面，所以面；（2）解：由題意知，，，取BC中點O，取AC的中點E，連接OP，OE，則，由面面，面面，面，得面，又面，所以，建立如圖空間直角坐標系，設，則，由，得，所以，易知為面的一個法向量，設面的一個法向量為，則，令，則，所以，故，由，解得.所以，即三棱錐的體積為.20.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，某地區(qū)舉行中國象棋比賽，先進行小組賽，每三人一組，采用單循環(huán)賽（任意兩人之間只賽一場），每場比賽勝者積3分，負者積0分，平局各1分.根據(jù)積分排名晉級淘汰賽，若出現(xiàn)積分相同的情況，則再進行同分加賽，直到排出小組1，2，3名為止，已知甲、乙、丙三人分在同一個小組，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲、乙對局時，甲勝概率為，平局概率為；甲、丙對局時，甲勝概率為，平局概率為；乙、丙對局時，乙勝概率為，平局概率為，各場比賽相互獨立.（1）甲乙丙單循環(huán)賽分出勝負的局數(shù)為，求；（2）甲乙丙單循環(huán)賽結(jié)束，乙丙同積4分，設加賽次后乙獲得小組第一名的概率為，證明：.（1）解：單循環(huán)賽共賽3場，故X可能取值為0,1