2025屆廣東省佛山市禪城區(qū)高三統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（一） （解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市禪城區(qū)2025屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C.2 D.5【答案】B【解析】因，所以，故選：B.2.已知，且（）A.B B. C. D.【答案】D【解析】由可得.故選：D.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，，所以，故選：B4.拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，在擲出的兩枚骰子點數(shù)之和為6點的條件下，點數(shù)均為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】擲出的兩枚骰子的點數(shù)之和為6點包含，共5種情況，其中點數(shù)均為奇數(shù)的有，共3種情況，所以概率.故選：A5.已知是奇函數(shù)，則（）A. B.0 C. D.4【答案】A【解析】因為是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以，即，所以，即，則.故選：A.6.記為等差數(shù)列的前項和，已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，所以，解得，所以，，故選：A7.已知圓臺的高為1，下底面的面積，體積為，則該圓臺的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，圓臺與外接球的軸截面，如下，設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，外接球的半徑為，由下底面的面積為，則，圓臺的體積，即，解得或（舍），設(shè)，和中，，，兩式聯(lián)立，解得，，所以圓臺外接球的表面積為.故選：C8.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則，因為時，，故當時，，故在上單調(diào)遞增，且．因為，故，即，所以，故關(guān)于直線對稱，故在上單調(diào)遞減，且，當時，，則；當時，，則；所以使得成立的的取值范圍是.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，與平面，，，能使的充分條件是（）A.， B.，C.，， D.，，【答案】BD【解析】對于A：，，，也可能平行，故錯誤；對于B：若，，則，正確；對于C：，，，由線面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故錯誤；對于D：由，，可得：，再由，可證，故正確.故選：BD10.已知，，且，則（）A.的最小值為18 B.的最小值為36C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，由于，即，則，即，當且僅當時等號成立，所以的最小值為18，故A正確；對于B，由，當且僅當且時等號成立，顯然不能同時成立，取不到等號，故B錯誤；對于C，由于，所以有，當且僅當時等號成立，即的最小值為，故C正確；對于D，因為，，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立，則的最小值為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.1是的極大值B.當時，C.當時，有且僅有一個零點，且D.若存在極小值點，且，其中，則【答案】ABD【解析】由題意可得，，令，當時，得或．對于A，當時，在和0,+∞上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值；當時，，在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，所以A正確；對于B，當時，在上單調(diào)遞增，又，因為，所以，所以B正確；對于C，當時，在上單調(diào)遞增，由于，所以在上存在唯一的零點且小于0；若，則的極小值，即在0,+∞上沒有零點，所以有且僅有一個零點且小于0，所以C錯誤；對于D，若存在極小值點，則，即，因為，所以，所以，，即，又，所以，所以D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的三個頂點分別為，，，且，則______．【答案】5【解析】由，，得，，因為，所以，則，得，解得.故答案為：.13.若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，求導(dǎo)可得，因此切線斜率，又切線過原點，可得，化簡可得，令，則，當時，，即在上單調(diào)遞減，當時，，即在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，，即可得，因此可得，即可得.14.已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的最大值為______．【答案】【解析】設(shè)的最小正周期為，且，因為在上單調(diào)，則，可得，又因為，且，可知為的對稱中心，不妨設(shè)，如圖所示：依次討論對應(yīng)為點，A，，種情況，且，若對應(yīng)為點（或點之后），則，即，不合題意；若求的最大值，即的最小值，即與之間包含的周期最多，若對應(yīng)為點，則為的對稱軸，且，則，，滿足，且此時為最小值，所以取值的最大值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，．（1）求角的大小；（2）若，求的周長．解：（1）由題意知：，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以；（2）由正弦定理得：，由（1）知：，所以，由余弦定理得：即，所以，所以的周長為．16.某機構(gòu)為了解市民對交通的滿意度，隨機抽取了100位市民進行調(diào)查，結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占．（1）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為市民對于交通的滿意度與是否上班存在關(guān)聯(lián)？滿意不滿意合計上班族非上班族合計（2）該機構(gòu)欲再從全市隨機選取市民，進一步征求改善交通現(xiàn)狀的建議．規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過6次，若隨機抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達到6次時，抽樣結(jié)束．以調(diào)查數(shù)據(jù)中的滿意度估計全市市民的滿意度，求抽樣次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．解：（1）由題意可知，滿意不滿意合計上班族154055非上班族351045合計5050100假設(shè)：市民對交通的滿意度與是否上班獨立，因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為市民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．（2）的可能取值為1，2，3，4，5，6．由（1）可知市民的滿意度和不滿意度均為，所以，，，，，所以的分布列為：123456所以．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，，點是線段上一點，且二面角的余弦值為，求的值．（1）證明：在底面中，因為，，所以．因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因為平面，所以．又因為，，，平面，所以平面又因為平面，所以平面平面（2）解：取中點，連接，．因為，且，所以四邊形為矩形．即平面，又因為在中，，所以，，兩兩垂直．以，，分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，設(shè)，則，，．設(shè)平面的法向量m=則，令，可得，即，因為平面，所以平面的法向量，所以．化簡得即，解得或（舍），即．18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若存、在，滿足，證明：；（3）對任意的，恒成立，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求的取值范圍．解：（1）的定義域為，．當時，，在上單調(diào)遞增；當時，令，得或（舍去），當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）方法一：當時，，由，得，即由于，事實上，令，，時，；時，；所以，所以，即．所以，當且僅當時，等號成立，所以，得證．方法二：當時，，，由（1）知時，在上單調(diào)遞增，當時，可證．不妨設(shè)，要證，即證，即證，因為，所以即證．令，其中，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以．當時，因為，所以，所以，所以．綜上，．（3）方法一：，由，得，即，所以對任意的，恒成立，等價于，由于，事實上，令，，時，；時，；所以，所以，即．所以，當且僅當時，等號成立（方程顯然有解），即，所以．所以的取值范圍是．方法二：，由，得，即，所以對任意，恒成立，等價于令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以存在，使得，所以，即，所以，所以，令，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以又時，；時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍是．19.歐幾里得在《幾何原本》中證明算術(shù)基本定理：任何一個大于1自然數(shù)，可以寫成有限個素數(shù)的乘積，如果不考慮這些素數(shù)在乘積中的順序，這個乘積形式是唯一的．對于任意正整數(shù)，記為的所有正因數(shù)的個數(shù)，為的所有正因數(shù)的和．（1）若數(shù)列，，，①寫出，；②求數(shù)列的前項和；（2）對于互不相等的素數(shù)、、，證明：，，并求的值．解：（1）①因為的正因數(shù)有1，3，9，所以，；②由題意可知：的正因數(shù)有，則，，可得，所以．（2）為素數(shù)，的正因數(shù)組成的集合為，，；的正因數(shù)組成的集合為，，；的正因數(shù)組成的集合為，，；的正因數(shù)組成的集合為，則，，所以，．因為，所以，，，由（2）知，，則，，，所以．廣東省佛山市禪城區(qū)2025屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C.2 D.5【答案】B【解析】因，所以，故選：B.2.已知，且（）A.B B. C. D.【答案】D【解析】由可得.故選：D.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，，所以，故選：B4.拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，在擲出的兩枚骰子點數(shù)之和為6點的條件下，點數(shù)均為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】擲出的兩枚骰子的點數(shù)之和為6點包含，共5種情況，其中點數(shù)均為奇數(shù)的有，共3種情況，所以概率.故選：A5.已知是奇函數(shù)，則（）A. B.0 C. D.4【答案】A【解析】因為是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以，即，所以，即，則.故選：A.6.記為等差數(shù)列的前項和，已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，所以，解得，所以，，故選：A7.已知圓臺的高為1，下底面的面積，體積為，則該圓臺的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，圓臺與外接球的軸截面，如下，設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，外接球的半徑為，由下底面的面積為，則，圓臺的體積，即，解得或（舍），設(shè)，和中，，，兩式聯(lián)立，解得，，所以圓臺外接球的表面積為.故選：C8.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則，因為時，，故當時，，故在上單調(diào)遞增，且．因為，故，即，所以，故關(guān)于直線對稱，故在上單調(diào)遞減，且，當時，，則；當時，，則；所以使得成立的的取值范圍是.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，與平面，，，能使的充分條件是（）A.， B.，C.，， D.，，【答案】BD【解析】對于A：，，，也可能平行，故錯誤；對于B：若，，則，正確；對于C：，，，由線面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故錯誤；對于D：由，，可得：，再由，可證，故正確.故選：BD10.已知，，且，則（）A.的最小值為18 B.的最小值為36C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，由于，即，則，即，當且僅當時等號成立，所以的最小值為18，故A正確；對于B，由，當且僅當且時等號成立，顯然不能同時成立，取不到等號，故B錯誤；對于C，由于，所以有，當且僅當時等號成立，即的最小值為，故C正確；對于D，因為，，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立，則的最小值為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.1是的極大值B.當時，C.當時，有且僅有一個零點，且D.若存在極小值點，且，其中，則【答案】ABD【解析】由題意可得，，令，當時，得或．對于A，當時，在和0,+∞上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值；當時，，在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，所以A正確；對于B，當時，在上單調(diào)遞增，又，因為，所以，所以B正確；對于C，當時，在上單調(diào)遞增，由于，所以在上存在唯一的零點且小于0；若，則的極小值，即在0,+∞上沒有零點，所以有且僅有一個零點且小于0，所以C錯誤；對于D，若存在極小值點，則，即，因為，所以，所以，，即，又，所以，所以D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的三個頂點分別為，，，且，則______．【答案】5【解析】由，，得，，因為，所以，則，得，解得.故答案為：.13.若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，求導(dǎo)可得，因此切線斜率，又切線過原點，可得，化簡可得，令，則，當時，，即在上單調(diào)遞減，當時，，即在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，，即可得，因此可得，即可得.14.已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的最大值為______．【答案】【解析】設(shè)的最小正周期為，且，因為在上單調(diào)，則，可得，又因為，且，可知為的對稱中心，不妨設(shè)，如圖所示：依次討論對應(yīng)為點，A，，種情況，且，若對應(yīng)為點（或點之后），則，即，不合題意；若求的最大值，即的最小值，即與之間包含的周期最多，若對應(yīng)為點，則為的對稱軸，且，則，，滿足，且此時為最小值，所以取值的最大值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，．（1）求角的大?。唬?）若，求的周長．解：（1）由題意知：，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以；（2）由正弦定理得：，由（1）知：，所以，由余弦定理得：即，所以，所以的周長為．16.某機構(gòu)為了解市民對交通的滿意度，隨機抽取了100位市民進行調(diào)查，結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占．（1）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為市民對于交通的滿意度與是否上班存在關(guān)聯(lián)？滿意不滿意合計上班族非上班族合計（2）該機構(gòu)欲再從全市隨機選取市民，進一步征求改善交通現(xiàn)狀的建議．規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過6次，若隨機抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達到6次時，抽樣結(jié)束．以調(diào)查數(shù)據(jù)中的滿意度估計全市市民的滿意度，求抽樣次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．解：（1）由題意可知，滿意不滿意合計上班族154055非上班族351045合計5050100假設(shè)：市民對交通的滿意度與是否上班獨立，因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為市民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．（2）的可能取值為1，2，3，4，5，6．由（1）可知市民的滿意度和不滿意度均為，所以，，，，，所以的分布列為：123456所以．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，，點是線段上一點，且二面角的余弦值為，求的值．（1）證明：在底面中，因為，，所以．因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因為平面，所以．又因為，，，平面，所以平面又因為平面，所以平面平面（2）解：取中點，連接，．因為，且，所以四邊形為矩形．即平面，又因為在中，，所以，，兩兩垂直．以，，分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，設(shè)，則，，．設(shè)平面的法向量m=則，令，可得，即，因為平面，所以平面的法向量，所以．化簡得即，解得或（舍），即．18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若存、在，滿足，證明：；（3）對任