《電路分析基礎(chǔ)》課件第8章

8.1正弦量

8.2正弦量的相量表示法

8.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型

8.4阻抗和導(dǎo)納

8.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析

8.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

8.7復(fù)功率

8.8最大功率傳輸

8.9非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析

8.10練習題及解答提示

習題8第8章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析從前面兩章的分析可知，線性非時變動態(tài)電路的全響應(yīng)是由固有響應(yīng)分量和強制響應(yīng)分量兩部分組成的。固有響應(yīng)分量是電路微分方程所對應(yīng)的齊次微分方程的解，其變化規(guī)律完全由電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)決定；強制響應(yīng)分量是電路微分方程的特解，它的變化規(guī)律與激勵有關(guān)，與電路的初始狀態(tài)無關(guān)。當電路的全部固有頻率的實部均小于零，即固有響應(yīng)分量經(jīng)過一段時間后衰減為零時，相應(yīng)的電路稱為漸進穩(wěn)定電路。正弦函數(shù)激勵的線性漸進穩(wěn)定電路達到穩(wěn)態(tài)時，電路各處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)均為與激勵同頻率的正弦函數(shù)，這就是本章要討論的線性非時變動態(tài)電路在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。對正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和求解稱為正弦穩(wěn)態(tài)分析。無論是在實際應(yīng)用中還是在理論分析中，正弦穩(wěn)態(tài)分析都是非常重要的。首先，由于正弦電壓和電流較容易產(chǎn)生，與非電量的轉(zhuǎn)換也較方便，在實際應(yīng)用中的許多設(shè)備和儀器都是以正弦信號作為電源或信號源的，因此許多實用電路都是正弦穩(wěn)態(tài)電路。其次，正弦信號是一種基本信號，根據(jù)傅立葉級數(shù)和傅立葉變換理論，各種復(fù)雜的信號都可分解為一系列不同頻率的正弦信號之和。因此，利用疊加定理可將正弦穩(wěn)態(tài)分析推廣應(yīng)用到非正弦周期信號作用下的電路中。故正弦穩(wěn)態(tài)分析具有普遍意義。求解正弦穩(wěn)態(tài)電路響應(yīng)的經(jīng)典數(shù)學方法是求非齊次微分方程的特解。如果分析的是高階復(fù)雜電路，則對應(yīng)的就是要解高階微分方程的特解，其過程相當復(fù)雜。本章將引入相量用以代表正弦量，以它作為“工具”分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，其過程較時域分析大為簡化。這種分析方法稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法。

本章首先介紹正弦交流電的基本概念并引入相量，然后著重討論基爾霍夫定律的相量形式，電路基本元件的相量關(guān)系，阻抗和導(dǎo)納的概念，正弦穩(wěn)態(tài)電路相量分析法，正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率，最后對非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析作一簡單介紹。電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流統(tǒng)稱為正弦量。對正弦量的數(shù)學描述可以用sin函數(shù)，也可以用cos函數(shù)，本書采用cos函數(shù)。8.1正弦量8.1.1正弦量的三要素

圖8-1所示一段正弦穩(wěn)態(tài)電路的電流i為正弦電流，在圖示參考方向下，其數(shù)學表達式定義如下：

i=Imcos(ωt+φi)

(8-1)

圖8-2是正弦電流i的波形圖(φi>0)。

式(8-1)中的Im稱為正弦量的振幅，通常用帶下標m的大寫字母表示，它是正弦量在整個振蕩過程中達到的最大值，為正的常數(shù)。圖8-1一段正弦穩(wěn)態(tài)電路圖8-2正弦量的波形圖隨時間變化的角度(ωt+φi)稱為正弦量的相位，或稱相角，單位為弧度(rad)或度(°)。ω稱為正弦量的角頻率，是正弦量的相位隨時間變化的角速度，即

ω的單位為弧度/秒(rad/s)。

正弦量是周期函數(shù)，通常將正弦量完成一個循環(huán)所需的時間稱為周期，記為T，單位為秒(s)。而周期T的倒數(shù)，表示正弦量每秒所完成的循環(huán)次數(shù)，稱為頻率，記為f，即

或(8-3)(8-2)頻率的單位為赫茲(Hz，簡稱赫)，當頻率較高時，常采用千赫(kHz)、兆赫(MHz)和吉赫(GHz)等單位。它們之間的關(guān)系為：

1kHz=103Hz，1MHz=106Hz，1GHz=109Hz

周期T、頻率f和角頻率ω都是描述正弦量變化快慢的物理量。它們之間有如下關(guān)系：

φi是正弦量在t=0時刻的相位，稱為正弦量的初相位(初相角)，簡稱初相，其單位與相位相同。φi通常在主值范圍內(nèi)取值，即|φi|≤180°。(8-4)對一個正弦量而言，當它的振幅Im、初相φi和頻率f(或角頻率ω)確定了，那么這個正弦量的變化規(guī)律就完全確定了。因此，我們把正弦量的振幅、初相和頻率(或角頻率)稱為正弦量的三要素。

例8-1

已知正弦電流i=10sin(100πt－15°)A，試求該正弦電流的振幅Im、初相φi和頻率f。

解先將正弦電流的表達式化為基本形式(本書采用余弦函數(shù)表達式)，即

i=10sin(100πt－15°)=10cos(100πt－15°－90°)

=10cos(100πt－105°)A由正弦電流的基本表達式，得：

振幅Im=10A

初相φi=－105°

頻率

我國電力部門提供的交流電頻率為50Hz，它的周期為0.02s，角頻率為314rad/s。8.1.2正弦量的相位差

電路中常用“相位差”的概念描述兩個同頻正弦量之間的相位關(guān)系。為了說明相位差的概念，設(shè)兩個同頻正弦量的電壓u、電流i分別為：

u=Umcos(ωt+φu)

i=Imcos(ωt+φi)

φu為電壓u的初相，φi為電流i的初相，那么這兩個正弦量間的相位差θ為

θ=(ωt+φu)－(ωt+φi)=φu－φi(8-5)相位差也在主值范圍內(nèi)取值，即|θ|≤180°。由式(8-5)可見：同頻正弦量的相位差等于它們的初相之差，是一個與時間無關(guān)的常數(shù)。在同頻率正弦量的相位差計算中經(jīng)常遇到以下五種情況:

(1)若θ=φu－φi>0,即φu>φi,則稱u超前i(或稱i滯后u)。

(2)若θ=φu－φi<0,即φu<φi,則稱u滯后i(或稱i超前u)。

(3)若θ=φu－φi=0，即φu=φi,則稱u與i同相位。

(4)若θ=φu－φi=±π，則稱u與i互為反相。

(5)若θ=φu－φi=，則稱u與i正交。

圖8-3給出了以上五種情況的相位差波形。圖8-3同頻正弦量的相位差

例8-2

已知正弦電壓

,

u2=10cos(ωt－π)V，試求它們的相位差，并說明兩電壓超前、滯后的情況。

解將u1化為基本形式，即

u1和u2間的相位差為

由于相位差，其值不在主值范圍內(nèi)，應(yīng)將其變換到主值范圍。可通過(θ±2π)對其進行變換。本例中應(yīng)?。?/p>

故u1滯后弧度，或u2超前弧度。即對于同頻率的兩個正弦量，若計時起點改變，雖然它們的初相發(fā)生變化，但由于初相的改變量相同，因而相位差不變，即相位差與計時起點的選擇無關(guān)?；诖耍谡曳€(wěn)態(tài)電路分析中，為方便起見，通過選擇合適的計時起點，使某個正弦量的初相為零，然后再由相位差來決定其它正弦量的初相，并將這個初相為零的正弦量稱為參考正弦量。對于兩個不同頻率的正弦量，由于它們的相位差總是隨時間而變化，無法確定它們之間的超前與滯后關(guān)系，因此不同頻率正弦量的相位差無實際意義。8.1.3正弦量的有效值

周期信號的瞬時值是隨時間變化的,工程上為了衡量其效應(yīng)，常采用有效值。

周期信號的有效值是從能量等效的角度定義的。現(xiàn)以周期電流信號i為例來加以說明。

讓周期電流i和直流電流I分別通過兩個阻值相等的電阻R，若在相同的時間T(周期電流i的周期)內(nèi)，兩個電阻消耗的能量相等，那么定義該直流電流的值為周期電流信號i

的有效值，記為I。當直流電流I通過電阻R時，在時間T內(nèi)消耗的能量為

W=RI2T(8-6)

當周期電流信號i流過電阻R時，在相同的時間T內(nèi)消耗的電能為

(8-7)根據(jù)有效值的定義，式(8-6)與式(8-7)相等，得

由式(8-8)可以看出：周期電流i的有效值是其瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再取平方根，故有效值也稱為均方根值，通常用大寫字母表示。(8-8)當周期電流為正弦電流時，將i=Imcos(ωt+φi)代入式(8-8)，便可得到正弦量的有效值與正弦量的振幅之間的關(guān)系，即

(8-9)注意：工程計算中，“≈”符號常用“=”符號代替，因此，。

同理，周期電壓u的有效值定義為

當周期電壓為正弦電壓時，將u=Umcos(ωt+φu)代入式(8-10)，便可得到正弦電壓的有效值為

(8-10)(8-11)由式(8-9)和式(8-11)可得：正弦量的有效值等于其振幅的,而與正弦量的角頻率ω和初相φ無關(guān)。因此正弦量可表示如下:

有效值是度量交流電大小的物理量。實驗室中,交流電流表和電壓表的讀數(shù)通常都指的是有效值,通常所說的民用220V的正弦交流電壓是指該正弦電壓的有效值是220V。有效值可代替振幅作為正弦量的一個要素。在正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，經(jīng)常會遇到加、減、求導(dǎo)及積分的運算，同頻率的正弦量之和或差仍為同一頻率的正弦量，正弦量對時間的導(dǎo)數(shù)或積分也仍為同一頻率的正弦量。當外加激勵一定時，各支路電壓、電流均為與外加激勵同頻率的正弦量。因此，分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，當激勵給定后，只要確定了正弦量的振幅和初相，這個正弦量就完全確定了。如果將正弦量的振幅(或有效值)和初相與復(fù)數(shù)中的模和輻角相對應(yīng)，那么就可以用復(fù)數(shù)來表示同頻率的正弦量。用來表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。我們先來復(fù)習復(fù)數(shù)的有關(guān)概念。

8.2正弦量的相量表示法任一復(fù)數(shù)A可有如下四種形式的數(shù)學表達式：

(1)直角坐標形式：

A=a1+ja2

(2)三角形式：

A=a(cosφ+jsinφ)

(3)指數(shù)形式：

A=aejφ

(4)極坐標形式：

A=a∠φ

其中:a1和a2分別稱為復(fù)數(shù)A的實部和虛部；a稱為復(fù)數(shù)A的模，它是非負值；φ稱為復(fù)數(shù)A的輻角；，稱為虛數(shù)單位。

四種形式的復(fù)數(shù)表示式可以進行等價互換，它們之間的關(guān)系如下：

a1=acosφ,

a2=asinφ

(8-12)

若把復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，則如圖8-4所示。即復(fù)數(shù)A可以用有方向的線段來表示，也就是用模為a和輻角為φ的有向線段來表示。

(8-13)圖8-4復(fù)數(shù)A的模和輻角

我們稱復(fù)函數(shù)ejωt為旋轉(zhuǎn)因子，它的模等于1，初相為零，并以角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)。任何一個復(fù)數(shù)乘以旋轉(zhuǎn)因子，該復(fù)數(shù)的模不變，但在復(fù)平面內(nèi)將逆時針旋轉(zhuǎn)ωt角度。

如果給復(fù)數(shù)aejφ乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt，則得到一個復(fù)指數(shù)函數(shù)A=aejφ·ejωt=aej(ωt+φ)=aejθ，θ=ωt+φ，即A=aej(ωt+φ)，根據(jù)歐拉公式可展開為(或直接將指數(shù)式變換為三角式)

A=aej(ωt+φ)=acos(ωt+φ)+jasin(ωt+φ)，顯然有Re［A］=

acos(ωt+φ)。

所以正弦量可以用上述形式的復(fù)指數(shù)函數(shù)描述，使正弦量與復(fù)指數(shù)函數(shù)的實部一一對應(yīng)起來。

若以正弦電流為例，則有

(8-14)由上式可以看出，復(fù)指數(shù)函數(shù)中的是以正弦量的有效值為模，以初相為輻角的一個復(fù)常數(shù)，這個復(fù)常數(shù)定義為正弦量的相量，記為，即

字母I上打一點，即用“”表示相量，用來與有效值“I”加以區(qū)分，也表示與一般所說的復(fù)數(shù)不同。按正弦量有效值定義的相量稱為“有效值”相量。(8-15)相量也可用正弦量的振幅值定義，由式(8-14)可得

稱為正弦量的“振幅”相量，顯然有

(8-16)在正弦穩(wěn)態(tài)分析中所說的相量，如無下標m，通常都指有效值相量。相量是一個復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖。圖8-5所示為正弦電流的相量圖。只有相同頻率的相量才能畫在同一復(fù)平面內(nèi)。在分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，可借助相量圖來分析電路。另外，由于相量是復(fù)數(shù)，故復(fù)數(shù)的各種數(shù)學表達形式和運算規(guī)則同樣適用于相量。圖8-5正弦電流的相量圖一個正弦量和它的相量之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，它們只是一種變換關(guān)系，不是相等的關(guān)系。對于我們所討論的正弦電流i=Imcos(ωt+φi)，必然有如下的變換式：

若已知正弦電流i，就可得到它的相量；若已知一個正弦電流的相量，且已知角頻率ω，那么這個正弦電流i就完全確定了。

要注意：i不等于，相量是正弦電流i的變換式，并非正弦電流i本身。對于正弦電壓同樣有：

例8-3

試寫出下列正弦量所對應(yīng)的相量，并畫出相量圖。

解本書統(tǒng)一用cos函數(shù)表示正弦量，將u寫為

可得兩個正弦量的相量分別為：

(極坐標式)

(直角坐標式)

(極坐標式)

(直角坐標式)

它們的相量圖如圖8-6所示。圖8-6正弦量的相量圖

例8-4]已知，試寫出它們所代表的正弦電壓。

解

ω=2πf=2π×50=100πrad/s

因此

u1=50cos(100πt－30°)V

u2=100cos(100πt+150°)V我們知道，兩類約束(KCL、KVL及元件的VCR)是電路分析的兩個基本依據(jù)，要解決直接從正弦穩(wěn)態(tài)電路列出相量方程的問題，必須先解決正弦穩(wěn)態(tài)條件下兩類約束的相量形式問題，這樣就可以方便地用相量法來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路了。8.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型8.3.1基爾霍夫定律的相量形式

1.基爾霍夫電流定律(KCL)的相量形式

由KCL，對電路中任一節(jié)點有

i1+i2+…+ik+…=0即

當上式中的電流全為同頻率的正弦量時，則可變換為相量形式，即

即

也就是說，任一節(jié)點上同頻率正弦電流對應(yīng)相量的代數(shù)和為零。

2.基爾霍夫電壓定律(KVL)的相量形式

由KVL，對電路中任一回路有

u1+u2+…+uk+…=0即

當式中的電壓全為同頻率的正弦量時，則可變換為相量形式，即

即

也就是說，任一回路中同頻率正弦電壓對應(yīng)相量的代數(shù)和為零。

例8-5

圖8-7(a)所示電路節(jié)點上有，

。試求電流i3，并作出各電流相量的相量圖。

圖8-7例8-5題圖

解電壓i1和i2所對應(yīng)的相量分別為：

由KCL的相量形式，得

則

對應(yīng)于的正弦量為

各電流相量圖如圖8-7(b)所示。(作相量圖時,可將復(fù)平面上的坐標軸去掉，以水平方向上的水平線為基準來作相量圖。)

例8-6

圖8-8(a)所示的部分電路中，已知

試求電壓u3，并作出各電壓相量的相量圖。

解電壓u1和u2所對應(yīng)的相量分別為：

圖8-8例8-6題圖

由圖8-8(a)，根據(jù)KVL的相量形式，得

因此

各電壓相量的相量圖如圖8-8(b)所示。8.3.2三種基本電路元件VCR的相量形式

1.電阻元件VCR的相量形式

設(shè)電阻元件R的時域模型如圖8-9(a)所示，由歐姆定律有

uR=RiR(8-17)

當有正弦電流通過電阻R時，電阻R上的電壓為圖8-9電阻元件的正弦穩(wěn)態(tài)特性

正弦電壓uR的初相也為φi，振幅為，說明電阻上的電壓uR和電流iR都是同頻率的正弦量。若令電壓相量為，則電阻元件VCR的相量形式為

顯然,

UR=RIR(或IR=GUR)

(8-19)

φu=φi

(8-20)(8-18)

(即)它們的有效值(或振幅值)仍符合歐姆定律，而初相角相等，即電阻元件上的電壓、電流同相位。式(8-18)為電阻元件VCR的相量形式。圖8-9(b)為電阻的相量模型，圖8-9(c)是電阻元件上電壓、電流的相量圖。由相量圖可直觀地看到，電壓、電流相量在同一個方向的直線上，它們的相位差為零。

2.電感元件VCR的相量形式

設(shè)電感元件L的時域模型如圖8-10(a)所示，由電感元件的時域VCR關(guān)系有

當有正弦電流通過電感L時，其上電壓為

(8-21)圖8-10電感元件的正弦穩(wěn)態(tài)特性該式說明:電感L上的電壓、電流為同頻正弦量，電感電壓uL的初相為φi+90°，振幅為。若令電壓相量為，則電感元件VCR的相量形式為

或(8-22)

顯然,

UL=ωLIL(8-23)

φu=φi+90°(8-24)由式(8-23)和式(8-24)可見，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，從相位上看，是電感電壓超前電流90°；從數(shù)值上看，電壓與電流的有效值(或振幅)之比為ωL，需要注意的是，它與角頻率ω有關(guān)。在電路理論中，稱該比值為電感的電抗，簡稱感抗，單位為歐(姆)(Ω)，記為XL,即

XL=ωL

(8-25)感抗XL具有和電阻相同的量綱，但它是隨著頻率f(或ω)而變的。將感抗的倒數(shù)稱為電感的電納，簡稱感納，單位為西［門子］(S)，記為BL，即

利用感抗和感納的定義，電感元件VCR的相量形式又可表示為

(8-26)(8-27)或式(8-23)表明，電壓、電流有效值的關(guān)系不僅與L有關(guān)，而且還與角頻率ω有關(guān)。當L值一定時，對一定的IL來說，ω越高則UL越大；ω越低則UL越小。當ω=0(相當于直流激勵)時，UL=0，電感相當于短路，這正是直流穩(wěn)態(tài)時電感應(yīng)有的表現(xiàn)。

圖8-10(b)是電感的相量模型，圖8-10(c)是電感上電壓、電流的相量圖。

3.電容元件VCR的相量形式

設(shè)電容元件C的時域模型如圖8-11(a)所示。它的電壓、電流關(guān)系的相量形式與電感L具有對偶關(guān)系，推導(dǎo)過程類似。

由電容元件的時域VCR關(guān)系有：

當有正弦電壓施加于電容時，有

(8-28)

圖8-11電容元件的正弦穩(wěn)態(tài)特性

該式說明:電容C上的電壓、電流為同頻正弦量，電容電流iC的初相為φu+90°，振幅為。若令電流相量為，則電容元件VCR的相量形式為

或(8-29)

顯然，

(8-30)

φu=φi－90°

(8-31)由式(8-30)和式(8-31)可見，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，從相位上看，電容電壓滯后電流90°；從數(shù)值上看，電容電壓與電流的有效值(或振幅)之比為1/(ωC)，同樣，該比值與角頻率ω有關(guān)。在電路理論中，稱該比值為電容的電抗，簡稱容抗，單位為歐(姆)(Ω)，記為XC，即

(8-32)容抗XC具有和電阻相同的量綱，但它是隨著頻率f(或ω)而變的。將容抗的倒數(shù)稱為電容的電納，簡稱容納，單位為西［門子］(S)，記為BC，即

(8-33)

利用容抗和容納的定義，電容元件VCR的相量形式又可表示為

或(8-34)式(8-30)表明，電壓、電流有效值的關(guān)系不僅與C有關(guān)，而且還與角頻率ω有關(guān)。當C值一定時，對一定的UC來說，ω越高則IC越大，也就是說電流越容易通過；ω越低則IC越小，也就是說電流越難通過；當ω=0(相當于直流激勵)時，IC=0，電容相當于開路。這正是直流穩(wěn)態(tài)時電容應(yīng)有的表現(xiàn)。

圖8-11(b)是電容的相量模型，圖8-11(c)是電容上電壓、電流的相量圖。

例8-70.5H電感元件中的電流

試求電感兩端的電壓u。

解設(shè)電感元件上電壓u和電流i為關(guān)聯(lián)參考方向。

由已給正弦電流，有

(有效值相量)

電感的感抗為

XL=ωL=100×0.5=50Ω由電感元件VCR的相量形式，得電感兩端的電壓為

得

例8-8

流過0.5F電容的電流為

試求電容的電壓u。

解設(shè)電容元件上電壓u和電流i為關(guān)聯(lián)參考方向。

由已給正弦電流，有

(有效值相量)

電容的容抗為

由電容元件VCR的相量形式，得電容的電壓為

得

例8-9

正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖8-12(a)所示，已知u=

120cos(1000t+90°)V，R=15Ω，L=30mH，C=83.3μF,求電流i并畫相量圖。

圖8-12例8-9題圖

解根據(jù)元件的VCR相量式求解，R、L、C元件并聯(lián)，所加電壓同為u。

由于(振幅值相量),因此，對電阻元件R，有

對電感元件L，有對電容元件C，有

由KCL的相量式,得

故

i=10cos(1000t+127°)A

各正弦量的相量關(guān)系如圖8-12(b)所示。由相量圖可見：電阻元件的電壓、電流同相位，電感元件上電壓超前電流90°，電容元件的電流超前電壓90°。為了便于分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，我們已引入了相量的概念，給出了KCL、KVL的相量形式，并討論了R、L、C三種基本元件VCR的相量形式。若要把電阻電路的分析方法推廣應(yīng)用到正弦穩(wěn)態(tài)電路中，還需引入正弦穩(wěn)態(tài)電路的阻抗和導(dǎo)納的概念，以及下一節(jié)所要介紹的相量模型的概念。8.4阻抗和導(dǎo)納8.4.1阻抗和導(dǎo)納的概念

1.阻抗Z的概念

一線性無源二端網(wǎng)絡(luò)如圖8-13(a)所示，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，其端口的電壓和電流為同頻率的正弦量。設(shè)端口電壓相量和電流相量為關(guān)聯(lián)參考方向。

定義端口電壓相量與電流相量的比值為該無源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗，用符號Z表示，即

或(8-35)(8-36)圖8-13無源二端網(wǎng)絡(luò)及其阻抗Z

式(8-36)與電阻電路中的歐姆定律形式相同，所不同的是電壓和電流都用相量表示，稱為歐姆定律的相量形式。需要注意的是，Z

不是正弦量，而是一個復(fù)數(shù)，稱為復(fù)阻抗，其模|Z|=U/I稱為阻抗模(常將Z簡稱為阻抗)，輻角θZ=φu－φi稱為阻抗角。

Z的單位為Ω，其電路符號同電阻，如圖8-13(b)所示。

式(8-35)為阻抗Z的極坐標式，將其轉(zhuǎn)化為直角坐標形式，有

(8-37)式中：

R稱為阻抗Z的電阻分量，X稱為阻抗Z的電抗分量。此時無源二端網(wǎng)絡(luò)可用一個電阻元件R和一個電抗元件X串聯(lián)的電路等效，如圖8-13(c)所示。阻抗Z的電阻分量R和電抗分量X與阻抗的模|Z|構(gòu)成一個直角三角形，通常稱為阻抗三角形，如圖8-13(d)所示。

(1)當X>0時，θZ>0,二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓超前于電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性。此時阻抗Z的電抗分量可用電感元件來等效，阻抗Z的虛部為正，稱為感性阻抗。(8-39)(8-38)

(2)當X<0時，θZ<0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電流超前于電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性。此時阻抗Z的電抗分量可用電容元件來等效，阻抗Z的虛部為負，稱為容性阻抗。

(3)當X=0時，θZ=0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓與電流同相位，網(wǎng)絡(luò)呈電阻性。此時阻抗Z無電抗分量，只有電阻分量，可用一個電阻元件來等效。當圖8-13(a)所示的無源二端網(wǎng)絡(luò)分別是R、L、C單個元件時，我們在上一節(jié)已得到各元件VCR的相量形式分別為：

R

(8-40)

L

(8-41)

C

(8-42)那么由阻抗定義式(8-35)，可得R、L、C元件的阻抗分別為

可見，在正弦穩(wěn)態(tài)電路分析中，只要把R、L、C元件參數(shù)分別用其阻抗R、jωL、表示,那么各元件VCR的相量形式可統(tǒng)一為歐姆定理的形式。(8-45)(8-44)(8-43)

2.導(dǎo)納Y的概念

對圖8-13(a)所示的無源二端網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)納Y定義為電流相量與電壓相量的比值，用符號Y表示，即

或

式(8-47)稱為歐姆定律的另一形式。導(dǎo)納Y也不是一個正弦量，而是一個復(fù)數(shù)，稱為復(fù)導(dǎo)納。其模|Y|=I/U稱為導(dǎo)納模，輻角θY=φi－φu稱為導(dǎo)納角。導(dǎo)納Y的單位為西門子(S)，其電路符號同電導(dǎo)，如圖8-14(a)所示。(8-46)(8-47)圖8-14無源二端網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納Y式(8-46)為導(dǎo)納Z的極坐標式，將其化為直角坐標形式，有

式中：

G=|Y|cosθY,

B=|Y|sinθY

(8-50)(8-48)(8-49)

G稱為導(dǎo)納Y的電導(dǎo)分量，B稱為導(dǎo)納Y的電納分量。此時無源二端網(wǎng)絡(luò)可用一個電導(dǎo)元件G和一個電納元件B并聯(lián)的電路等效，如圖8-14(b)所示。導(dǎo)納Y的電導(dǎo)分量G和電納分量B與導(dǎo)納的模|Y|構(gòu)成一個直角三角形，通常稱為導(dǎo)納三角形，如圖8-14(c)所示。

(1)當B>0時，θY>0,二端網(wǎng)絡(luò)端口電流超前于電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性。此時導(dǎo)納Y的電納分量可等效為一個電容元件，導(dǎo)納Y的虛部為正，稱為容性導(dǎo)納。

(2)當B<0時，θY<0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓超前于電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性。此時導(dǎo)納Y的電納分量可等效為一個電感元件，導(dǎo)納Y的虛部為負，稱為感性導(dǎo)納。

(3)當B=0時，θY=0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓與電流同相位，網(wǎng)絡(luò)呈電阻性。此時導(dǎo)納Y無電納分量，只有電導(dǎo)分量，可用一個電導(dǎo)元件來等效。

由式(8-40)、式(8-41)和式(8-42)所給出的R、L、C元件VCR的相量式，又根據(jù)式(8-46)所給出的導(dǎo)納Y的定義式，可得元件R、L、C

的導(dǎo)納分別為：

上式為R、L、C元件VCR相量形式另一統(tǒng)一的歐姆定理形式。

由以上分析可知，正弦穩(wěn)態(tài)電路中的無源二端網(wǎng)絡(luò)，就其端口而言，既可用阻抗等效，也可用導(dǎo)納等效。需要注意的是，由于阻抗和導(dǎo)納都是角頻率ω的函數(shù)，因此隨著ω的改變，電路的性質(zhì)(感性、容性或電阻性)及元件的阻抗(或?qū)Ъ{)都會隨之改變。

3.阻抗Z和導(dǎo)納Y的關(guān)系

由阻抗和導(dǎo)納的定義可知，對同一個二端網(wǎng)絡(luò)，有

同理：

這就是說，由電阻與電抗的串聯(lián)等效電路(如圖8-13(c)所示)可變?yōu)殡妼?dǎo)與電納并聯(lián)的等效電路(如圖8-14(b)所示)，反之亦然。兩種等效電路的變換及各分量的計算如圖8-15

所示。

一般情況下，R并非是G的倒數(shù)，而|X|也不是|B|的倒數(shù)。圖8-15阻抗Z和導(dǎo)納Y兩種模型及互換

例8-10

試求：100μF的電容在角頻率為100rad/s及200rad/s時的阻抗和容抗；0.5H電感在角頻率為100rad/s及200rad/s時的阻抗和感抗。

解對100μF的電容：

當ω1=100rad/s時，阻抗為

容抗為

當ω2=200rad/s時，阻抗為

容抗為

對0.5H的電感：

當ω1=100rad/s時，阻抗為

感抗為

當ω2=200rad/s時，阻抗為

感抗為

例8-11

試求:100μF的電容在角頻率為100rad/s及200rad/s時的導(dǎo)納和容納；0.5H電感在角頻率為100rad/s及200rad/s時的導(dǎo)納和感納。

解對100μF的電容：

當ω1=100rad/s時,

導(dǎo)納為

容納為

當ω2=200rad/s時，

導(dǎo)納為

容納為

對0.5H的電感：

當ω1=100rad/s時，

導(dǎo)納為

感納為

當ω2=200rad/s時，

導(dǎo)納為

感納為

由以上兩例可見：阻抗和導(dǎo)納，容抗和感抗，容納和感納這些量都與頻率(或角頻率)有關(guān)，當頻率不同時，這些參數(shù)就不同。

8.4.2阻抗Z和導(dǎo)納Y的串聯(lián)與并聯(lián)

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，設(shè)有n個阻抗相串聯(lián)，各電壓、電流的參考方向如圖8-16(a)所示，則它的等效阻抗Zeq為

(8-51)

其等效電路如圖8-16(b)所示。阻抗的串聯(lián)計算與電阻的串聯(lián)計算在形式上相似。各個阻抗上的電壓為

式中：為總電壓；為第k個阻抗Zk上的電壓。(8-52)圖8-16阻抗的串聯(lián)設(shè)有n個導(dǎo)納相并聯(lián)，各電壓、電流參考方向如圖

8-17(a)所示，則它的等效導(dǎo)納Yeq為

其等效電路如圖8-17(b)所示。同樣，導(dǎo)納的并聯(lián)計算與電導(dǎo)的并聯(lián)計算在形式上相似。各個導(dǎo)納上的電流為

式中：為總電流；為第k個導(dǎo)納Yk中的電流。(8-53)(8-54)圖8-17阻抗的并聯(lián)

對常見的兩個阻抗Z1和Z2相并聯(lián)的情況，容易推導(dǎo)其等效阻抗為

兩阻抗的并聯(lián)計算在形式上同兩電阻的并聯(lián)計算。對應(yīng)于兩電阻串、并聯(lián)的分壓、分流公式，當兩個阻抗Z1和Z2相串聯(lián)時，分壓公式為

(8-55)(8-56)當兩個阻抗Z1和Z2相并聯(lián)時，分流公式為

(8-57)前面各節(jié)已為正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析奠定了理論基礎(chǔ)，當電路內(nèi)的各電壓、電流用相量表示，并引用阻抗和導(dǎo)納的概念時，那么這些相量必然服從基爾霍夫定律的相量形式和歐姆定律的相量形式，即8.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析

KCL

KVL

VCR

這些定律的形式和電阻電路中同一定律的形式完全相同，其差別僅在于不直接用電壓和電流，而用相應(yīng)的電壓相量和電流相量；不用電阻和電導(dǎo)，而用阻抗和導(dǎo)納。根據(jù)這一對換關(guān)系，計算電阻電路的一些公式和方法就可以完全用到正弦穩(wěn)態(tài)分析中來?；蚋鶕?jù)所給的電路模型，按照電阻電路的分析方法來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，首先應(yīng)做出電路的相量模型。相量模型和正弦穩(wěn)態(tài)電路(時域模型)具有相同的拓撲結(jié)構(gòu)，將時域模型中的各正弦電壓、電流用相量表示，各個元件用阻抗(或?qū)Ъ{)表示，即

就從時域模型得到了相量模型?；蚧蜻\用相量和相量模型來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法稱為相量法(或相量分析)。用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本步驟是：

(1)畫出電路的相量模型；

(2)確定一種求解方法(等效變換法，網(wǎng)孔法，節(jié)點法，戴維南定理等)；

(3)根據(jù)KCL、KVL及元件VCR的相量形式建立電路的相量方程(組)；

(4)解方程(組)，求得待求的電壓相量或電流相量；

(5)將相應(yīng)的相量變換為正弦量；

(6)需要時畫出相量圖。

以下通過具體的例題說明相量分析法。

例8-12

RLC串聯(lián)電路如圖8-18(a)所示，已知R=2Ω,L=2H,C=0.25F,

us=10cos(2t)V，求回路中的電流I及各元件電壓uR、uL和uC，并作出相量圖。

圖8-18例8-12題圖

解

(1)作相量模型。

電路中各電壓、電流都用相量表示，相量模型如圖8-18(b)所示。

(2)由相量模型得總阻抗。

則

(3)各時域表達式分別為：

(4)作出各正弦量的相量圖如圖8-18(c)所示。超前電流45°，電路呈感性。由阻抗Z的阻抗角也可直接判斷電壓、電流的相位關(guān)系。由于阻抗角θZ=φu－φi=

45°>0，即電壓超前電流45°，故電路呈現(xiàn)感性。

、、組成一電壓三角形。

相量圖的一般作法是：對電路并聯(lián)部分，以并聯(lián)電壓相量為基準，由各并聯(lián)元件的VCR確定各并聯(lián)支路的電流相量與電壓相量之間的夾角，再根據(jù)節(jié)點上的KCL方程，用相量首尾相接求和法則，畫出節(jié)點上的各支路電流相量組成的多邊形；對電路串聯(lián)部分，以串聯(lián)電流相量為基準，由各串聯(lián)元件的VCR確定各串聯(lián)支路的電壓相量與電流相量之間的夾角，再根據(jù)回路上的KVL方程，用相量首尾相接求和法則，畫出回路上各電壓相量所組成的多邊形。這樣就得到了電路完整的相量圖。

例8-13

GCL并聯(lián)電路如圖8-19(a)所示。已知G=1S,L=2H,C=0.5F,is=3cos(2t)A，求u0(t)，并作相量圖。

圖8-19例8-13題圖

解作該時域電路的相量模型如圖8-19(b)所示，其中:

電路中各電壓、電流都用相量表示。由相量圖得總導(dǎo)納為

則

由各元件VCR的相量式得

故

作相量圖如圖8-19(c)所示。由相量圖可見，電流相量超前電壓相量，所以電路呈容性。由導(dǎo)納Y的導(dǎo)納角也可直接判斷電壓、電流的相位關(guān)系。由于導(dǎo)納角

θY=φi－φu=36.9°>0，電流超前電壓36.9°，故電路呈容性。電流相量、、組成一電流三角形。

例8-14

試求圖8-20所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中的電壓，已知。

圖8-20例8-14題圖

解電路中含有阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)，正弦穩(wěn)態(tài)相量模型中阻抗(或?qū)Ъ{)串、并聯(lián)的有關(guān)計算可仿照串、并聯(lián)電阻電路的分析方法進行。

設(shè)各電壓參考方向如圖中所示。由c、d端向右看的等效阻抗為

由阻抗串聯(lián)分壓公式，得

在abda回路中，根據(jù)KVL得

例8-15

在圖8-21(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中,

C1=C2=10μF,L=0.05H,R=50Ω,求電流i。

圖8-21例8-15題圖

解該題可根據(jù)網(wǎng)孔法求解。作相量模型如圖8-21(b)所示，其中:

選網(wǎng)孔電流方向如圖8-21(b)所示，列網(wǎng)孔方程如下:

整理得

解得:

故

i(t)=4cos(103t+45°)A

例8-16

試用節(jié)點分析法求圖8-22所示電路中的電流。

圖8-22例8-16題圖

解設(shè)電路的參考節(jié)點及節(jié)點電壓如圖8-22所示，則可列節(jié)點方程為

輔助方程為

聯(lián)立求解，得

例8-17

試用戴維南定理求圖8-23(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路的電流i2,已知。

圖8-23例8-17題圖

解作電路的相量模型如圖8-23(b)所示。由戴維南定理先求a、b左邊電路的戴維南等效電路。

(1)求開路電壓。

將圖8-23(b)中3Ω支路移開，得圖8-23(c)，設(shè)回路繞向為逆時針，由KVL得

得

(2)求等效阻抗Z0。

將圖8-23(c)中的獨立源置零，所得電路如圖8-23(d)所示，并設(shè)端口處電壓相量為，電流相量為(加壓求流法)。

根據(jù)支路電流分析法列方程如下：

由式(1)、式(2)得將式(4)代入式(3)，得

所以

(3)求響應(yīng)電流i2。

用所求的戴維南等效電路代替原電路中a、b左邊部分，電路如圖8-23(e)所示，由此可得：

即

例8-18

電路如圖8-24(a)所示，已知I=0.5A，U=U1=

250V，P=100W,求電阻R1、容抗XC和感抗XL(XL≠0)。

圖8-24例8-18題圖

解該題可借助相量圖進行計算。設(shè)=250∠0°V，可得相量圖如圖8-24(b)所示，由題可得

由相量圖，得

又△eaf與△cad相似，故

則

在正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，由于包含有電感和電容等儲能元件，故正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率、能量問題要比電阻電路的計算復(fù)雜，會出現(xiàn)在純電阻電路中所沒有的現(xiàn)象，也就是能量的往返現(xiàn)象。所以,功率和能量的計算不能用與電阻電路的類比來解決，而是需要引入一些新的概念。本節(jié)將從正弦穩(wěn)態(tài)電路中二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率入手，引入有功功率(平均功率)、無功功率、視在功率的概念及計算。8.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率設(shè)圖8-25(a)所示為正弦穩(wěn)態(tài)線性無源二端網(wǎng)絡(luò)N0，端口電壓、電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，它們的瞬時表達式分別為

下面對瞬時功率、平均功率、視在功率、無功功率進行討論和計算。圖8-25二端網(wǎng)絡(luò)N的功率

1.瞬時功率p

二端網(wǎng)絡(luò)N0吸收的瞬時功率等于電壓u和電流i的乘積，即

(8-58)式(8-58)表明，瞬時功率有兩個分量：一為恒定分量；二為正弦分量，且其頻率為電壓或電流頻率的兩倍。其波形如圖8-25(b)所示。由波形可見，瞬時功率可正可負，當p>0時，表示網(wǎng)絡(luò)N0吸收功率;當p<0時，表示網(wǎng)絡(luò)N0發(fā)出功率。

2.平均功率p(有功功率)

瞬時功率隨時間而變，故實際意義不大,且不便于測量。通常引用平均功率的概念。平均功率是指瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值。該平均值又稱為有功功率，簡稱功率，記為P，即

(8-59)式中：U、I分別為二端網(wǎng)絡(luò)N0端子上的電壓、電流有效值；cosθZ為無源二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)，可用λ表示；θZ稱為無源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗角，也稱功率因數(shù)角。需要強調(diào)的是，只有對無源二端網(wǎng)絡(luò)，cosθZ才稱為功率因數(shù)，θZ才稱為阻抗角；若是有源網(wǎng)絡(luò)，仍可按式(8-59)計算平均功率，但此時cosθZ已無功率因數(shù)的意義了，而θZ也不是阻抗角了，只是端口電壓與電流的相位差。平均功率的單位用瓦(W)表示。

3.視在功率S

許多電力設(shè)備的容量是由它們的額定電流和額定電壓的乘積決定的，為此引入視在功率的概念，將二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓和電流有效值的乘積稱為視在功率，記為S，即

S=UI(8-60)

它具有功率的量綱，但一般不等于平均功率。它的單位是伏·安(V·A)，由式(8-59)顯然有

(8-61)由R、L、C組成的無源二端網(wǎng)絡(luò)，其等效阻抗的電阻分量R≥0，故阻抗角，功率因數(shù)λ恒為非負值。為了從已知的功率因數(shù)λ判斷出網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，通常

當電流超前于電壓，即θZ<0時，在功率因數(shù)λ后注明“導(dǎo)前”；反之，當電流滯后于電壓，即θZ>0時，在功率因數(shù)λ后注明“滯后”。

下面討論幾種特殊情況下網(wǎng)絡(luò)的功率和能量。

(1)二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電阻R。此時，

電阻元件上電壓、電流同相位，φu=φi，故θZ=0。

瞬時功率為

平均功率為

P=UIcosθZ=UI

功率因數(shù)為

λ=cosθZ=1

可見，網(wǎng)絡(luò)只從外電路吸收能量，而沒有能量的往返交換。

(2)二端網(wǎng)絡(luò)為純電抗X。此時，電抗元件上電壓、電流相位差90°，φu－φi=±90°，故。

瞬時功率為

平均功率為

P=UIcosθZ=0

功率因數(shù)為

λ=cosθZ=0

可見，網(wǎng)絡(luò)不消耗能量，只與外電路不斷地進行能量的往返交換。也就是說，電抗元件(L和C等元件)只儲能而不耗能。

(3)無源二端網(wǎng)絡(luò)含有受控源。此時，阻抗角|θZ|可能大于，則平均功率P=UIcosθZ為負值，說明二端網(wǎng)絡(luò)

對外提供能量。

(4)二端網(wǎng)絡(luò)為電阻R和電抗X的串聯(lián)。由例8-12可知，

構(gòu)成一直角三角形，UR=UcosθZ，UX=U|sinθZ|，此時，

可推得電阻R吸收的瞬時功率為

電阻R吸收的平均功率為

即二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率等于其等效阻抗中電阻分量所吸收的平均功率。

同樣可得電抗X吸收的瞬時功率為

電抗X吸收的平均功率為

即等效阻抗中電抗分量所吸收的平均功率為零，故電抗不消耗能量，只與外電路進行能量交換。

為衡量由儲能元件引起的與外部電路交換的功率，下面給出無功功率的定義。

4.無功功率Q

在電路分析中，將能量交換的最大值UIsinθZ稱為網(wǎng)絡(luò)的無功功率，記為Q，即

Q=UIsinθZ

(8-62)

無功功率的單位為乏(Var)。

由式(8-59)、式(8-60)和式(8-62)可見，P、Q和S構(gòu)成一直角三角形，如圖8-26所示，該三角形稱為功率三角形。顯然有

(8-63)

圖8-26功率三角形

例8-19

電路的相量模型如圖8-27所示，端口電壓有效值U=100V，試求該網(wǎng)絡(luò)的有功功率P、無功功率Q、視在功率S和功率因數(shù)λ。

圖8-27例8-19題圖

解求功率必先解電路，求得所需部分的電壓、電流，就可求得相應(yīng)的功率。該題為求得電流，設(shè)端口電壓相量=100∠0°V。

端口處的等效阻抗為

可得：

該二端網(wǎng)絡(luò)端口處電流超前于電壓，阻抗角θZ=

－36.9°<0，故在功率因數(shù)后注明“導(dǎo)前”。(導(dǎo)前)

為了用相量法反映出正弦穩(wěn)態(tài)電路各種功率之間的關(guān)系，下面引入復(fù)功率的概念。

設(shè)無源二端網(wǎng)絡(luò)端口處的電壓、電流相量為

8.7復(fù)功率且、為關(guān)聯(lián)參考方向，則復(fù)功率定義如下：

復(fù)功率的單位為伏·安(V·A)，它不代表正弦量，故不用相量表示。復(fù)功率本身無任何物理意義，僅僅是為了計算方便而引入的。(8-64)復(fù)功率是以平均功率P為實部，無功功率Q為虛部，視在功率S為模，阻抗角θZ為輻角的復(fù)數(shù)。在電路分析中，若已知二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓相量和電流相量，則利用式(8-64)便可方便地求出P、Q和S。復(fù)功率又可表示為

可以證明，對整個電路復(fù)功率守恒，即

顯然，有功功率和無功功率均守恒，即

而視在功率是不守恒的。

例8-20

電路如圖8-28所示，已知，支路1中,Z1=R1+jX1=10+j17.3Ω;支路2中,Z2=R2－jX2=17.3-j10Ω。求電路的平均功率P、無功功率Q、復(fù)功率，并驗證其功率守恒。圖8-28例8-20題圖

解在圖示參考方向下，各支路電流為

由KCL得總電流為

電路的平均功率為

P=UsIcos15°=100×7.07cos15°=683W

電路的無功功率為

Q=UsIsin15°=100×7.07sin15°=183Var

電路的復(fù)功率為

當然，可直接求取復(fù)功率，取其實部為平均功率，虛部為無功功率。下面驗證該電路功率守恒。電源的復(fù)功率為

由于和為非關(guān)聯(lián)參考方向，故電源的復(fù)功率計算式前加“-”號，則支路1的復(fù)功率為

支路2的復(fù)功率為

顯然:

可見，平均功率P、無功功率Q、復(fù)功率均守恒。即即即需要強調(diào)的是，視在功率S是不守恒的，因為

Ss+S1+S2=707+500+500≠0即∑S≠0

在實際工程中，大多數(shù)負載為感性負載，例如異步電動機、感應(yīng)加熱設(shè)備等，這些感性負載的功率因數(shù)較低。由平均功率表達式P=UIcosθZ可知，當電壓一定時，cosθZ愈小，由電網(wǎng)輸送給此負載的電流就愈大。這一方面占用較多的電網(wǎng)容量，使電網(wǎng)不能充分發(fā)揮其供電能力，又會在輸電線路上引起較大的功率損耗和電壓降。因此，有必要提高此類感性負載的功率因數(shù)。工程上常采用給感性負載并電容的方法來提高電路的功率因數(shù)。為說明功率因數(shù)的提高，假設(shè)一感性負載如圖8-29(a)所示。圖8-29功率因數(shù)的提高

(1)并電容C前，輸電線上的電流等于感性負載中電流，即，且負載消耗的平均功率為

PL=UILcosθZ=UIcosθZ

由于功率因數(shù)較低，功率因數(shù)角θZ就比較大，如圖

8-29(b)的相量圖所示。

(2)并電容C后，電路中增加了一條電容支路，由KCL的相量形式，得

由圖8-29(b)所示的相量圖可見，電容電流超前電壓

90°。由于的補償作用，輸電線上的電流(值)變小了，不再等于；也使電路中電壓和電流的夾角較θZ小，使得，即電路的功率因數(shù)提高了。由于所并的電容C又不消耗功率，即PC=0，故并電容后負載消耗的平均功率不變，即

并電容C后，也不影響原感性負載的工作狀態(tài)，因為負載上所加電壓不變，通過負載的電流不變，負載消耗的平均功率PL也不變，即負載仍可正常工作，且電路的功率因數(shù)也提高了。

例8-21

圖8-30(a)所示電路外加50Hz、380V的正弦電壓，感性負載吸收的功率PL=20kW，功率因數(shù)λL=0.6。若要使電路的功率因數(shù)提高到λ=0.9，求在負載兩端并接的電容值。

圖8-30例8-21題圖

解由題可得，并電容C前，感性負載中電流的有效值為

此時

感性負載的阻抗角θZ為

θZ=arccos0.6=53.13°

設(shè)電壓源電壓相量為，則感性負載電流相量為，相量圖如圖8-30(b)所示。并電容后，增加了支路，保持不變，又

，電源輸出電流變化了，其有效值為

因λ=0.9，故功率因數(shù)角為

則

由KCL，得電容電流相量為

因IC=ωCU，故

圖8-30(b)中虛線所示是符合要求的另一解答。此時電路性質(zhì)變?yōu)槿菪缘牧耍且环N過補償，這種補償需更大的電容量，經(jīng)濟上不可取。在直流電路分析中，已經(jīng)討論了負載電阻從具有內(nèi)阻的直流電源獲得最大功率的問題，本節(jié)將討論在正弦穩(wěn)態(tài)電路中的最大功率傳輸問題。

當可變負載ZL接于含源二端網(wǎng)絡(luò)N時，如圖8-31(a)所示，根據(jù)戴維南定理可得其等效電路如圖8-31(b)所示，等效電路中的電壓源和阻抗分別為和Z0，當含源二端網(wǎng)絡(luò)N確定后，它們都是給定的不變量。其中Z0=R0+jX0，而可變負載ZL=RL+jXL。8.8最大功率傳輸圖8-31最大功率傳輸下面我們討論最大功率傳輸?shù)臈l件及最大功率的求取。

由圖8-31(b)可得負載電流為

則

(8-65)(8-66)負載吸收的平均功率為RL所吸收的平均功率，即

要使負載獲得最大功率，由式(8-67)可得，必須先滿足

XL=－X0(8-68)

此時

(8-67)(8-69)式(8-69)中RL為變量，令

由此解得

RL=R0(8-70)

綜上分析可得，負載獲得最大功率的條件為

(8-71)這一條件稱為共軛匹配，此時負載獲得的最大功率為

(8-72)

例8-22

電路如圖8-32(a)所示，已知ZL為可變負載,試求ZL為何值時可獲得最大功率？最大功率為多少？

圖8-32例8-22題圖

解根據(jù)戴維南定理求得a、b端左邊電路的等效電路如圖8-32(b)所示，其中:

由ZL獲得最大功率的條件，得ZL值，即

其最大功率為

8.9.1非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析

在前面章節(jié)中，對直流電路和正弦穩(wěn)態(tài)電路進行了分析。在實際應(yīng)用中，常會遇到激勵為非正弦的周期信號時電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問題，也就是非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析問題。

8.9非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析一個周期為T的非正弦周期函數(shù)f(t)(例如三角波、周期矩形波等)，當滿足狄里赫利條件時，即f(t)在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點，有限個極大值和極小值，且f(t)在一個周期內(nèi)絕對可積，則f(t)可展開為如下三角形式的傅里葉級數(shù)：

(8-73)式中：

其中：，稱為f(t)的基本角頻率或基波角頻率；a0、ak和bk稱為傅里葉系數(shù)。(8-74)若將式(8-73)中的同頻率項合并，則可得另一形式為

(8-75)式中：

其中：A0是周期信號f(t)在一個周期內(nèi)的平均值，稱為信號的直流分量；Akcos(kω1t+φk)稱為信號的k次諧波分量。當k=1時，A1cos(ω1t+φ1)又稱為一次諧波或基波分量。(8-76)式(8-75)表明，任一周期信號只要滿足狄里赫利條件就可分解為直流分量和一系列不同頻率的正弦量之和，而實際應(yīng)用的周期信號幾乎都滿足狄里赫利條件。因此，根據(jù)疊加定理可知，非正弦周期信號激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等于其直流分量和各次諧波分量單獨作用所得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加。這種分析方法稱為諧波分析法。為分析方便，表8-1給出了幾種常見周期信號的傅里葉級數(shù)。表8-1幾種常見周期信號的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)是一個無窮級數(shù)。從理論上講，把一個非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)時，必須取無窮多項才能準確地代表原有函數(shù)，但在實際應(yīng)用中不可能取無窮多項諧波分量。由于傅里葉級數(shù)的收斂性，在工程上通常只需計算傅里葉級數(shù)的前幾項就可達到精度要求。至于具體應(yīng)取幾項，應(yīng)根據(jù)實際要求而定。利用諧波分析法分析非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時要

注意：

(1)當直流分量單獨作用時，電路中的電感L相當于短路，電容C相當于開路。用電阻電路的分析方法求其響應(yīng)。

(2)當諧波分量單獨作用時，因諧波分量為正弦量，故針對每一諧波分量，仍可用相