《電路分析基礎》課件第4章

4.1疊加定理和齊次性定理

4.2替代定理

4.3戴維南定理和諾頓定理

4.4特勒根定理

4.5互易定理

4.6練習題及解答提示

習題4第4章網(wǎng)絡定理由獨立源和線性元件組成的電路稱為線性電路。線性電路滿足齊次性和可加性。齊次性定理和疊加定理所表達的就是線性電路的這一基本性質，這種基本性質在線性電阻電路中表現(xiàn)為電路的激勵和響應之間所具有的線性關系。4.1疊加定理和齊次性定理4.1.1疊加定理

疊加定理可表述為：對于具有唯一解的線性電路，如果有多個獨立源同時作用，則電路中任一響應(電流或電壓)等于各個電源單獨作用(其它獨立源置零)時在該處所產(chǎn)生的分響應(電流或電壓)的代數(shù)和。

下面首先利用圖4-1所示電路說明疊加定理。圖4-1疊加定理示意圖圖4-1(a)所示電路含有兩個獨立電流源，圖4-1(b)、4-1(c)給出了獨立電流源單獨作用時的電路。對于圖4-1(a)所示電路，由節(jié)點分析法可得節(jié)點電壓U1、U2與激勵之間的關系方程為

聯(lián)立求解上面的方程，得節(jié)點電壓為

由圖4-1(b)所示電路可得電流源Is1單獨作用時的節(jié)點電壓為

(4-1)(4-2)由圖4-1(c)所示電路可得電流源Is2單獨作用時的節(jié)點電壓為

顯然，式(4-2)、式(4-3)分別是式(4-1)等式右邊的第一項和第二項?？梢?，由兩個電流源共同作用所產(chǎn)生的節(jié)點電壓等于每個電流源單獨作用時在該節(jié)點上產(chǎn)生的電壓的代數(shù)和。(4-3)對于疊加定理的證明可以用回路分析法或節(jié)點分析法得到。下面用節(jié)點法證明如下：

設線性電路有b條支路、n個獨立節(jié)點，則可列出其節(jié)點方程組：

(4-4)方程組(4-4)中等式右邊的項isn1、isn2、…、isnn分別表示流入各獨立節(jié)點的獨立電流源電流及獨立電壓源變換為相應的電流源電流的代數(shù)和。若電路中含有受控源，則受控源的控制量用節(jié)點電壓表示后，受控源可記入自電導或互電導中。應用克萊姆法則，可求得第k

個節(jié)點的節(jié)點電壓為

(4-5)式中，D為方程組(4-4)的系數(shù)行列式；Dik

是D的第i行第k列的余因式，它們都是僅和元件參數(shù)有關的常數(shù)。若電路中含有m個獨立電流源和n個獨立電壓源，則isn1、isn2、…、isnn為is1、is2、…、ism和us1、us2、…、usn的線性組合，將各獨立電源的系數(shù)合并，式(4-5)可改寫成以各電源為獨立變量的表示形式，即

unk=k1is1+k2is2+…+kmism+km+1us1+…+km+nusn(4-6)式中，k1、k2、…、km+n為只與網(wǎng)絡中元件參數(shù)有關的常數(shù)。式(4-6)即證明了節(jié)點電壓unk等于各獨立源單獨作用在節(jié)點k上所產(chǎn)生的節(jié)點電壓的代數(shù)和。又由節(jié)點電壓的完

備性和支路的伏安關系，可證得線性網(wǎng)絡中任意響應也為各激勵單獨作用時在該支路所產(chǎn)生的分響應的代數(shù)和。

疊加定理說明了線性網(wǎng)絡的可加性這一性質。這種性質在線性電路的分析中起著重要的作用，它是分析線性電路的基礎。在應用疊加定理時應注意以下幾點：

(1)疊加定理適用于線性網(wǎng)絡，不適用于非線性網(wǎng)絡。

(2)應用疊加定理計算某一激勵單獨作用的分響應時，其他激勵置零，即獨立電壓源短路，獨立電流源開路；電路其余結構都不改變。

(3)任一激勵單獨作用時，該電源的內阻、受控源均應保留。

(4)受控源不能單獨作用。

(5)疊加的結果為代數(shù)和，因此要考慮總響應與各個分響應的參考方向或參考極性。當分響應的參考方向與總響應的參考方向一致時，疊加取“+”號，否則取“－”號。

(6)疊加定理只適用于計算線性網(wǎng)絡的電壓和電流，不能用于功率和能量的計算，因為它們是電壓或電流的二次函數(shù)。4.1.2齊次性定理

齊次性定理可表述為：在線性電阻電路中，若電路只有一個激勵(獨立電壓源或獨立電流源)作用，則電路中的任一響應(電壓或電流)和激勵成正比；若電路中含有多個激勵，則當所有激勵(獨立電壓源或獨立電流源)同時增大或縮小

k倍時(k為任意實常數(shù))，其響應將相應增大或縮小k倍。用齊次性定理可以方便地分析梯形電路。齊次性定理可以用疊加定理加以證明，這里不再贅述。

需要指出的是，齊次性定理與疊加定理是線性網(wǎng)絡的兩個相互獨立的性質，不能用疊加定理代替齊次性定理，也不能片面地認為齊次性定理是疊加定理的特例。4.1.3疊加定理和齊次性定理的應用

下面舉例說明疊加定理和齊次性定理的應用。

例4-1

試用疊加定理求圖4-2(a)所示電路的響應u。圖4-2例4-1題圖

解利用疊加定理求圖4-2(a)所示電路中的電壓時，可先分別求出9A電流源單獨作用(如圖4-2(b))和24V電壓源單獨作用(如圖4-2(c))時電路的分響應u′和u″，再疊加得

到總響應u。

當9A電流源單獨作用時，電壓源不起作用，將其用短路替代，如圖4-2(b)所示，由分流公式及元件伏安關系得

當24V電壓源單獨作用時，電流源不起作用，將其用開路替代，如圖4-2(c)所示，由分流公式及元件伏安關系得

根據(jù)疊加定理得兩電源同時作用時的電壓為

u=u′+u″=15+8=23V

例4-2

試用疊加定理計算圖4-3(a)所示電路中的電壓u、電流i及2Ω電阻所吸收的功率。

圖4-3例4-2題圖

解求圖4-3(a)所示電路中10V電壓源和5A電流源單獨作用時的分響應電路如圖4-3(b)和圖4-3(c)所示。在用疊加定理分析含受控源電路時應注意：疊加定理中說的只是獨立源單獨作用，受控源不能單獨作為電路的激勵；在求獨立源單獨作用的分響應時，受控源應和電阻一樣，始終保留在電路內，其控制量和受控源之間的控制關系不變，只不過控制量不再是原電路中的變量，而變?yōu)榉猪憫娐分械南鄳兞?，如圖4-3(b)和圖4-3(c)所示。當10V電壓源單獨作用時，電流源不起作用，將其用開路替代，而受控源保留且受控源的控制量為i′，如圖

4-3(b)所示，由基爾霍夫電壓定律及元件伏安關系得

2i′+i′+2i′=10

故

i′=2A

u′=1×i′+2i′=6V當5A電流源單獨作用時，電壓源不起作用，將其用短路替代，而受控源保留且受控源的控制量為i″,如圖4-3(c)所示，由基爾霍夫電壓定律及元件伏安關系得

2i″+(5+i″)+2i″=0

故

i″=－1A

u″=(5+i″)+2i″=2V根據(jù)疊加定理,得兩電源同時作用時的電壓、電流及功率如下：

u=u′+u″=6+2=8V

i=i′+i″=2－1=1A

p2Ω=i2×2=2W

在此應注意，電阻的功率不能由疊加定理直接求得，因為功率與電流(電壓)的二次函數(shù)有關，不是線性關系，一般不服從疊加定理。

例4-3

圖4-4所示線性網(wǎng)絡N0為線性無源網(wǎng)絡，當is1=

8A，is2=12A時，ux=80V；當is1=－8A，is2=4A時，ux=0V。求當is1=is2=20A時，ux為多少？圖4-4例4-3題圖

解由于N0內部不含有獨立源，因此電路只有兩個激勵is1、is2，根據(jù)線性網(wǎng)絡的線性性質可得：

ux=k1is1+k2is2

將已知條件代入上式，有

所以，當is1=is2=20A時，

本例充分體現(xiàn)了線性網(wǎng)絡的線性性。在分析計算此類問題時，必須先建立響應和激勵的關系式，再求解。

例4-4

求圖4-5(a)所示電路中輸出電阻上的電流i。

圖4-5例4-4題圖

解本例若用電阻串、并聯(lián)和分壓或分流關系計算電流i，則計算過程將很繁瑣，因此我們不妨換一種思路進行分析。假設輸出支路中電流=1A，如圖4-5(b)所示。由KCL、KVL得出：

根據(jù)齊次性定理可得

故

4.2.1替代定理的概念

替代定理又稱置換定理，其內容為：在具有唯一解的任意集總參數(shù)電路中，設已知某支路k的電壓uk或電流ik，且該支路k與電路中其它支路無耦合，則該支路可用一電

壓為uk的獨立電壓源或電流為ik的獨立電流源替代，替代后電路仍具唯一解，且替代前后電路中各支路電壓和電流保持不變。4.2替代定理替代定理可用下面具體例子來說明。

對于圖4-6(a)所示電路，可通過計算得i1=3A，i2=2A，u=8V?，F(xiàn)將4Ω電阻所在支路用is=i2=2A，方向與原支路電流方向一致的獨立電流源替代，如圖4-6(b)所示；或用

us=u=8V，極性與原支路電壓方向一致的獨立電壓源替代，如圖4-6(c)所示。由替代后所得兩電路不難求得：i1=3A，

i2=2A，u=8V，即替代前后電路中各支路電壓和電流保持不變。圖4-6替代定理示意圖替代定理證明如下：

對于任一有n條支路的集總參數(shù)電路，若各支路電流為i1，i2，…，in，支路電壓為u1，u2，…，un，當?shù)趉條支路用is=ik，方向與原支路電流方向一致的獨立電流源替代時，由KCL可知，其余支路電流i1，i2，…，ik－1，ik+1，…，in均不變。此外，由于除第k條支路以外其它各支路的伏安關系不變，因此u1，u2，…，uk－1，uk+1，…，un不變，由KVL可知，uk也不變。同理可證：當?shù)趉條支路用us=uk，方向與原支路電壓方向一致的獨立電壓源替代時，替代前后電路中各支路電壓和電流也保持不變。應用替代定理分析電路時應注意以下幾點：

(1)替代定理適用于任意集總參數(shù)電路，無論電路是線性的還是非線性的，時變的還是時不變的。

(2)替代定理要求替代前后的電路必須有唯一解。

(3)所替代的支路與其它支路間需無耦合。

(4)“替代”與“等效變換”是兩個不同的概念?！疤娲笔怯锚毩㈦妷涸椿颡毩㈦娏髟刺娲阎妷夯螂娏鞯闹?，替代前后替代支路以外電路的拓撲結構和元件參數(shù)不能改變，因為一旦改變，替代支路的電壓和電流將發(fā)生變化；而等效變換是將兩個具有相同端口伏安特性的電路進行相互轉換，與變換以外電路的拓撲結構和元件參數(shù)無關。

(5)不僅可以用電壓源或電流源替代已知電壓或電流的支路，而且可以替代已知端口電壓或端口電流的二端網(wǎng)絡。因此應用替代定理可將一個大網(wǎng)絡撕裂成若干個小網(wǎng)絡，以便于對大網(wǎng)絡進行分析，如圖4-7所示。圖4-7大網(wǎng)絡的撕裂4.2.2替代定理的應用

下面舉例說明替代定理的應用。

例4-5

在圖4-8(a)所示電路中，已知無源網(wǎng)絡N0，當22′端口開路時，11′端的輸入電阻為5Ω；當11′端接

1A電流源時，22′端的端口電壓u=1V。試求如圖4-8(b)所示電路中，當11′端接內阻為5Ω、電壓為0V的實際電壓源時，22′端的端口電壓u′為多少？圖4-8例4-5題圖

解由題意可知，無源網(wǎng)絡N0的22′端口開路時，11′端的輸入電阻為5Ω，故圖4-8(b)所示電路中流過實際電壓源支路的電流為

根據(jù)替代定理可將圖4-8(b)中的實際電壓源支路用1A的電流源替代，則替代后的電路與圖4-8(a)相同，故有

u′=u=1V盡管利用等效變換的方法(第2章)求含源二端網(wǎng)絡的等效電路時使人感到直接、簡便，但只能在某些特殊場合使用(例如電阻串、并聯(lián)時)，當電路較復雜時用此方法求等效電路則很麻煩。因此，本節(jié)將介紹另一種求含源二端網(wǎng)絡的等效電路及VCR的方法——戴維南定理和諾頓定理。這兩種方法對求含源二端網(wǎng)絡的等效電路及VCR提出了普遍適用的形式，故它們可適用于解決復雜網(wǎng)絡的分析與計算，且應用更為廣泛。4.3戴維南定理和諾頓定理4.3.1戴維南定理

戴維南定理(Thevenin’stheorem)是由法國電訊工程師戴維南于1883年提出的。戴維南定理可表述如下：任意一個線性有源二端網(wǎng)絡N(如圖4-9(a)所示)，就其兩個輸出端而言，總可與一個獨立電壓源和一個線性電阻串聯(lián)的電路等效(如圖4-9(b)所示)。其中，獨立電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡N輸出端的開路電壓uoc(如圖4-9(c)所示)；串聯(lián)電阻R0

等于將該二端網(wǎng)絡N內所有獨立源置零時從輸出端看入的等效電阻(如圖4-9(d)所示)。該定理中的獨立電壓源與電阻串聯(lián)的電路通常稱為二端網(wǎng)絡N的戴維南等效電路(如圖4-9(b)所示)，串聯(lián)電阻R0也稱為輸出電阻。

圖4-9戴維南定理示意圖戴維南定理可用疊加定理和替代定理證明。下面給出該定理的證明：

圖4-10(a)是線性有源二端網(wǎng)絡N與外電路相連接的電路。假設二端網(wǎng)絡N輸出端鈕a、b上的電壓、電流分別為u和i，則根據(jù)替代定理，可用is=i的獨立電流源替代外電路，如圖4-10(b)所示，替換后網(wǎng)絡N的端口電壓、電流不變。又由于含源二端網(wǎng)絡N是線性網(wǎng)絡，故根據(jù)疊加定理，圖4-10(b)所示電路中的電壓u可看成兩個電壓分量之和，即u=u′+u″。其中，u′是is=0時由網(wǎng)絡N內部所有獨立源作用時在端口所產(chǎn)生的電壓分量，即網(wǎng)絡N的開路電壓，有u′=uoc，如圖4-10(c)所示；u″為網(wǎng)絡N內部所有獨立源置零、僅有獨立電流源is單獨作用時在a、b端所產(chǎn)生的電壓分量。此時網(wǎng)絡N從a、b端看進去為一無源網(wǎng)絡N0，可用其輸出電阻R0等效替代，它在電流is的作用下產(chǎn)生的電壓為u″=－R0is=－R0i，如圖4-10(d)所示。所以有

u=u′+u″=uoc－R0i(4-7)

上式即為線性含源二端網(wǎng)絡N在端口a、b處的伏安關系的一般表示形式，它與戴維南電路對外供電時的伏安關系完全一致。這說明：線性含源二端網(wǎng)絡N，就其端口a、b而言可等效為一個實際電壓源模型(戴維南電路模型)，如圖

4-10(e)所示。由此證明了戴維南定理。圖4-10戴維南定理證明用圖4.3.2諾頓定理

諾頓定理(Norton’stheorem)由美國貝爾電話實驗室工程師諾頓于1926年提出。諾頓定理與戴維南定理有對偶關系，其內容表述如下：任意一個線性有源二端網(wǎng)絡N(如圖

4-11(a)所示)，就其兩個輸出端而言，總可與一個獨立電流源和一個線性電阻并聯(lián)的電路等效(如圖4-11(b)所示)。其中，獨立電流源的電流等于該二端網(wǎng)絡N輸出端的短路電流isc(如圖4-11(c)所示)，并聯(lián)電阻R0等于將該二端網(wǎng)絡N內所有獨立源置零時從輸出端看入的等效電阻(如圖4-11(d)所示)。該定理中的獨立電流源與電阻并聯(lián)的電路通常稱為二端網(wǎng)絡N的諾頓等效電路(如圖4-11(b)所示)。

諾頓定理的證明和戴維南定理的證明相似，不再贅述。

應用戴維南定理和諾頓定理時的幾點說明：

(1)應用戴維南定理和諾頓定理時，要求被等效的含源二端網(wǎng)絡N是線性的，且與外電路之間無耦合關系。

(2)在求戴維南等效電路或諾頓等效電路中的電阻R0時，應將二端網(wǎng)絡中的所有獨立源置零，但受控源應保留在電路中。圖4-11諾頓定理示意圖

(3)當R0≠0和R0≠∞時，有源二端網(wǎng)絡既有戴維南等效電路又有諾頓等效電路，且uoc、isc、R0存在如下關系：

4.3.3戴維南定理和諾頓定理的應用

戴維南定理和諾頓定理在電路分析中的應用非常廣泛。在一個復雜的電路中，如果對某些二端網(wǎng)絡內部的電壓、電流無求解需求，就可用這兩個定理對這些二端網(wǎng)絡進行化簡。特別是僅對電路的某一元件感興趣時，這兩個定理尤為適用。

例4-6

試求圖4-12(a)所示有源二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路。圖4-12例4-6題圖

解

(1)求開路電壓uoc。求開路電壓的電路如圖4-12(b)所示，因為i=0，所以

故

(2)求等效電阻R0。將二端網(wǎng)絡中所有獨立源置零，得圖4-12(c)所示的求等效電阻R0的電路，則其等效電阻為

R0=4+6∥3=6Ω

因此可得戴維南等效電路如圖4-12(d)所示。

例4-7

試求圖4-13(a)所示二端網(wǎng)絡的諾頓等效電路。

圖4-13例4-7題圖

解

(1)求短路電流isc。求短路電流isc的電路如圖

4-13(b)所示，則由KVL得

6i′+3i′=0

解得受控源控制量i′為

i′=0

所以

(2)求輸出電阻。

將二端網(wǎng)絡中所有獨立源置零，得圖4-13(c)所示的求等效電阻R0的電路。由于電路中含有受控源，故本題用加壓求流法求等效電阻。設a、b端口電壓為u″，電流為i1,由KVL得

u″=6i″+3i″=9i″

又由6Ω和3Ω并聯(lián)電阻的分流關系得

所以

因此可得諾頓等效電路如圖4-13(d)所示。

例4-8

試用戴維南定理求圖4-14(a)所示電路中的電流i。

圖4-14例4-8題圖

解用戴維南定理求電路中某一支路的電流或電壓時，應先把待求支路移開，將余下的電路部分即a、b以左電路用戴維南電路來等效。

(1)求開路電壓uoc。a、 b開路后的電路如圖4-14(b)所示，因為i=0，故有

uoc=6i1+4i1=10i1=20V

(2)求等效電阻R0。將圖4-14(b)所示二端網(wǎng)絡中所有獨立源置零，得圖4-14(c)所示的求等效電阻R0的電路。由

于電路中含有受控源，故本題用加壓求流法求等效電阻。設a、b端口電壓為u′，電流為i′，則由KVL可得

又由于

故u′=4i′

(3)求電流i。a、b以左電路用戴維南電路等效變換后，將圖4-14(a)所示電路等效為圖4-14(d)所示電路。由圖4-14(d)得

例4-9

試用諾頓定理求圖4-15(a)所示電路中的電壓u。

圖4-15例4-9題圖

解用諾頓定理求電路中某一支路的電流或電壓時，應先把待求支路移開，將余下的電路部分即a、b以左電路用諾頓電路來等效。

(1)求短路電流isc。a、b短路后的電路如圖4-15(b)所示。因為u=0，所以受控電流源電流為零，相當于開路，故有

(2)求等效電阻R0。本題用開路短路法求等效電阻R0。先求a、b以左電路的開路電壓uoc，此時電路如圖4-15(c)所示，由KVL得

uoc=5+3×0.3uoc

故uoc=50V

由開路短路法得

(3)求電壓u。a、b以左電路用諾頓電路等效變換后，可將圖4-15(a)所示電路等效為圖4-15(d)所示電路。由

圖4-15(d)得

由以上例題可以看出,用戴維南定理或諾頓定理分析線性網(wǎng)絡的關鍵在于求有源二端網(wǎng)絡輸出端的開路電壓或短路電流以及相應的無源網(wǎng)絡的等效電阻，從而得到其相應的戴維南等效電路或諾頓等效電路。一般而言：

(1)在求取開路電壓、短路電流時，只需根據(jù)定義將原電路輸出端開路或短路，然后用節(jié)點法、網(wǎng)孔法或其它方法求得。

(2)等效電阻的計算方法有三種：

①對于簡單電阻電路，可直接利用電阻的串、并聯(lián)等效求得。

②外加電源法，即求復雜的無源二端網(wǎng)絡(尤其是含受控源的無源二端網(wǎng)絡)的等效電阻，可以通過在網(wǎng)絡輸出端加電壓源(或電流源)，求出輸出端的電流(或電壓)，再由式

求得等效電阻R0。

③開路短路法，即首先求出有源二端網(wǎng)絡輸出端的開路電壓uoc和短路電流isc，再由式求出等效電阻R0。4.3.4最大功率傳輸定理

在通信技術中，常常希望負載能從信號源獲得最大功率。事實上，在信號源給定的情況下，負載不同，從信號源獲得的功率也不同。下面我們討論與線性有源二端網(wǎng)絡相接的負載電阻RL為何值時才能獲得最大功率。

根據(jù)戴維南定理，與負載相連的有源二端網(wǎng)絡總可以用戴維南等效電路等效。因此，對負載從有源二端網(wǎng)絡獲得最大功率的討論可以轉化為對圖4-16所示電路的分析。由于有源二端網(wǎng)絡已給定，故圖4-16所示電路中的獨立電壓源uoc和電阻R0為定值，負載電阻RL所吸收的功率p只隨RL的變化而變化。在圖4-16所示電路中，負載電阻RL為任意值時，它所吸收的功率pL為

因為當RL=0或RL=∞時，pL=0，所以RL為(0，∞)區(qū)間中的某個值時可獲得最大功率。由高等數(shù)學知識可知，要使pL為最大，應使dpL/dRL=0，即(4-8)(4-9)圖4-16求最大功率傳輸

由此可得pL為最大時的RL，即

RL=R0

(4-10)

因此在負載電阻RL與有源二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路的等效電阻R0相等的條件下，負載電阻RL可獲得最大功率，此條件稱為最大功率傳輸定理。滿足RL=R0時，稱為最大功率匹配，此時負載獲得的最大功率為

從上式不難看出，求解最大功率傳輸問題的關鍵在于求有源二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路。(4-11)

例4-10

電路如圖4-17(a)所示，其中電阻RL可調，試問RL為何值時能獲得最大功率，此最大功率為多少？

解首先求圖4-17(a)中RL以外的有源二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路。由圖4-17(b)求得

由圖4-17(c)求得

R0=10∥10=5Ω

圖4-17(a)所示電路可等效為圖4-17(d)所示電路，可知，當RL=R0=5Ω時，可獲得最大功率，此時最大功率為圖4-17例4-10題圖特勒根定理(Tellegen’stheorem)是電路理論中的重要定理，它適用于任何集總參數(shù)網(wǎng)絡。特勒根定理僅通過基爾霍夫定律導出，與基爾霍夫定律一樣反映了電路的互聯(lián)性質，與電路元件的性質無關。4.4特勒根定理4.4.1特勒根定理的形式

特勒根定理有兩個，現(xiàn)分述如下：

特勒根定理1任一具有b條支路、n個節(jié)點的集總參數(shù)網(wǎng)絡，設它的各支路電壓和電流分別為uk和ik(k=1，2，3，…，b)，且各支路電壓和支路電流取關聯(lián)參考方向，則對任何時刻t，有

由于上式中每一項是同一條支路電壓和電流的乘積，表示支路吸收的功率，因此特勒根定理1所表達的是功率守恒，故又稱為功率守恒定理。(4-12)

特勒根定理2

兩個具有相同有向線圖的集總參數(shù)網(wǎng)絡N和N′，設它們的支路電壓分別為uk、，支路電流分別為ik、(k=1，2，3，…，b)，且各支路電壓和

支路電流取關聯(lián)參考方向，則對任何時刻t，有

和(4-13)(4-14)式(4-13)和式(4-14)中的每一項是一個網(wǎng)絡的支路電壓和另一個網(wǎng)絡相應支路的支路電流的乘積，具有功率的量綱但又不表示任何支路的功率，因此稱為似功率。特勒根定理2所表達的是似功率守恒，故又稱為似功率守恒定理。

顯然，特勒根定理1是特勒根定理2中網(wǎng)絡N和N′為同一網(wǎng)絡的特例。

特勒根定理證明如下：若兩個具有相同有向線圖的網(wǎng)絡N、N′有n個節(jié)點，選一個節(jié)點為參考節(jié)點，設其余n－1個獨立節(jié)點的節(jié)點電壓分別為unm、(m=1，2，3，…，n－1)，如果支路k連接節(jié)點i與j且該支路方向由節(jié)點i指向j，則第k條支路的支路電壓uk、可表示為

uk=uni－unj，(4-15)將網(wǎng)絡N中的各支路電壓用式(4-15)所示的節(jié)點電壓表示，代入式(4-13)并以節(jié)點電壓合并同類項，則有

(4-16)式中表示網(wǎng)絡N′中流出節(jié)點k的所有支路電流的代數(shù)和。由于網(wǎng)絡N′中各支路電流滿足KCL，故等式(4-16)成立，即

同理可證式(4-14)也成立。

由于以上對特勒根定理的證明只用到基爾霍夫定律，因此特勒根定理和基爾霍夫定律一樣，只和網(wǎng)絡的拓撲結構有關，而與組成網(wǎng)絡的元件無關。所以，特勒根定理適用于一切集總參數(shù)網(wǎng)絡，是集總參數(shù)網(wǎng)絡的普遍定理。特勒根定理在網(wǎng)絡理論中還常常被用于證明其它定理。4.4.2特勒根定理的應用

例4-11

在圖4-18(a)所示電路中，N0為無源線性網(wǎng)絡，僅由電阻組成，當R2=2Ω，u1=6V時，i1=2A，u2=2V。試求當R2

改為4Ω，u1=10V時，測得i1=3A情況下的電壓u2為多少？圖4-18例4-11題圖

解設圖4-18(a)構成特勒根定理1中的網(wǎng)絡N，則R2改為4Ω時構成網(wǎng)絡N′，如圖4-18(b)所示，N與N′有相同的有向圖。又設網(wǎng)絡N0含有b-2條支路，記為支路3至b，則根據(jù)特勒根定理2，有

又由于N0為無源線性(僅有電阻組成)網(wǎng)絡，故對于網(wǎng)絡N0中的第k條支路,有

因此

將u2=2i2，，及u1=6V，i1=2A，u2=2V，

代入上式，得

故可解得

所以，當R2改為4Ω，u1=10V時，測得i1=3A情況下，u2=4V?；ヒ锥ɡ?reciprocitytheorem)是互易網(wǎng)絡所具有的重要性質之一。粗略地說，如果將一個網(wǎng)絡的激勵和響應的位置互換，而網(wǎng)絡對相同激勵的響應不變，則稱該網(wǎng)絡具有互易性。具有互易性的網(wǎng)絡稱為互易網(wǎng)絡。由于并非所有網(wǎng)絡都是互易網(wǎng)絡，因此互易定理的適用范圍較窄。4.5互易定理4.5.1互易定理的形式

互易定理分三種形式進行描述。

·互易定理形式一的內容如下：

如圖4-19所示電路，設網(wǎng)絡NR為不含獨立源和受控源、僅由線性電阻組成的網(wǎng)絡，若在端子11′端加入電壓源us作為激勵，端子22′端的短路電流i2為輸出，如圖4-19(a)所示，如將激勵和響應的位置互換，即相當于把此激勵移至22′端，而響應為11′端的短路電流，如圖4-19(b)所示，則在圖4-19所示電路的各電壓、電流參考方向下，有

圖4-19互易定理形式一

·互易定理形式二的內容如下：

如圖4-20所示電路，設網(wǎng)絡NR為不含獨立源和受控源、

僅由線性電阻組成的網(wǎng)絡，若在端子11′端加入電流源is作為激勵，端子22′端的開路電壓u2為輸出，如圖4-20(a)所示，如將激勵和響應的位置互換，即相當于把此激勵移至22′端，而響應為11′端的開路電壓，如圖4-20(b)所示，則在圖4-20所示電路的各電壓、電流參考方向下，有

圖4-20互易定理形式二

·互易定理形式三的內容如下：

如圖4-21所示電路，設網(wǎng)絡NR為不含獨立源和受控源、

僅由線性電阻組成的網(wǎng)絡，若在端子11′端加入電壓源us作為激勵，端子22′端的開路電壓u2為輸出，如圖4-21(a)所示，如將激勵和響應的位置互換，且將激勵換成相同數(shù)值的電流源is，而響應為11′端的短路電流，如圖4-21(b)所示，則在圖4-21所示電路的各電壓、電流參考方向下，有u2與在數(shù)值上相等。圖4-21互易定理形式三互易定理可用特勒根定理證明：設上述三種形式中的網(wǎng)絡NR中含有b－2條支路，即為支路3至支路b，加上激勵支路和響應支路，則網(wǎng)絡共有b條支路，由于每種形式的圖(a)和圖(b)具有相同的有向線圖，因而根據(jù)特勒根定理必然有

和(4-17)(4-18)由于網(wǎng)絡NR是電阻網(wǎng)絡，存在支路約束，即

uk=Rik(k=1，2，3，…，b)

和

(k=1，2，3，…，b)

因此

(4-19)

對于形式一，將u1=us，u2=0，，代入式(4-20)，可得

故

即互易定理形式一得以證明。(4-20)對于形式二，將i1=is，i2=0，，代入式

(4-20)，可得

故

即互易定理形式二得以證明。對于形式三，將u1=us，i2=0，，代入式(4-20)，可得

由于us與is在數(shù)值上相同，故有u2與數(shù)值上也相等，即互易定理形式三得以證明。4.5.2互易定理的應用

應用互易定理分析電路時應注意以下幾點：

(1)互易定理只適用于不含受控源的單個獨立源激勵的線性網(wǎng)絡，對其它的網(wǎng)絡一般不適用。

(2)要注意定理中響應和激勵的參考方向。對于形式一、形式二，若互易兩支路互易前后的激勵和響應的參考方向關系一致(都關聯(lián)或都非關聯(lián))，則由相同的激勵產(chǎn)生的響應相同；否則，相同激勵產(chǎn)生的響應相差一個負號。對于形式三，若互易兩支路互易前后的激勵和響應的參考方向關系不一致，則數(shù)值上相等的激勵產(chǎn)生的響應在數(shù)值上相同；否則，數(shù)值上相等的激勵產(chǎn)生的響應在數(shù)值上差一個負號。

例4-12

試求圖4-22(a)所示電路中的電流i。

圖4-22例4-12題圖

解由于圖4-22(a)所示電路中的Rx未知，因此直接求電流i較為困難。可用互易定理的形式一求解，將圖4-22(a)中的激勵5V電壓源與響應10Ω電阻支路中的電流i的位置互

換，互易后的電路如圖4-22(b)所示，根據(jù)互易定理可知，圖4-22(b)中的電流i′與圖4-22(a)中的電流i應相等。

由于圖4-22(b)為平衡電橋電路，故Rx中無電流，可用開路替代，因而有

利用分流公式，得

故

例4-13

線性無源二端網(wǎng)絡N0僅由電阻組成，如圖

4-23(a)所示，當us=100V時，u2=20V。求當電路改為圖

4-23(b)所示電路時的電流i。

圖4-23例4-13題圖

解首先將圖4-23(a)改畫成圖4-23(c)所示的電路，顯然圖(b)和圖(c)符合互易定理的形式三，因此，根據(jù)互易定理的形式三及線性網(wǎng)絡的齊次性，可得

1.電路如圖4-24所示，其中r=2Ω。試用疊加定理求電流ix。

提示：本題可直接利用疊加定理求解。先求出電壓源和電流源單獨作用時的分響應，再相加。求分響應時，其它獨立源置零，但受控源和電阻一樣必須保留在電路內。

［ix=1.4A］4.6練習題及解答提示圖4-24

2.如圖4-25所示電路，其中N為含獨立源的線性電阻網(wǎng)絡，已知：(1)當Us=5V時，UR2=7V；(2)當Us=8V時，UR2=10V。試求當Us=10V時，電阻R2兩端的電壓UR2

為多少？

提示：本題是多個獨立源共同作用于電路的問題，可以利用疊加定理將響應分為電壓源Us單獨作用下的分響應和線性有源網(wǎng)絡N內所有獨立源共同作用下的分響應兩部分加以討論。

［UR2=12V］圖4-25

3.線性無源二端網(wǎng)絡NR僅由電阻組成，如圖4-26(a)所示。求當電路改為圖4-26(b)所示電路時2Ω電阻上的電壓U。

提示：本題可用替代定理求解。首先將25V電壓源和

5Ω電阻串聯(lián)的支路用12.5V電壓源替代，然后求響應。

［U=－5V］圖4-26

4.求圖4-27所示電路的戴維南等效電路。

提示：本題直接利用戴維南定理求解，即先求開路電壓，再求等效電阻，從而得等效電路。

［uoc=4/3V，R0=28/3Ω］圖4-27

5.試求圖4-28所示含受控電源電路的諾頓等效電路。圖中us=12V，轉移電導g=0.2S。

提示：本題直接利用諾頓定理求解，即先求短路電流，再求等效電阻，從而得等效電路。

［isc=1.2A，R0=12.5Ω］圖4-28

6.用戴維南定理求圖4-29所示電路中的電壓u。

提示：本題先將2Ω以左電路等效為戴維南等效電路，再求響應。

［u＝6V］圖4-29

7.用諾頓定理求圖4-30所示電路中的電流i。

提示：本題先將20Ω以左電路等效為諾頓等效電路，再求響應。

［i＝1A］圖4-30

8.根據(jù)圖4-31(a)、(b)所示的數(shù)據(jù)，試用諾頓定理求圖4-31(c)中的電壓u。

提示：本題先將有源二端網(wǎng)絡N等效為諾頓電路，再求響應。

［u＝5/3V］圖4-31

9.電路如圖4-32所示，試求RL為何值時可獲得最大功率，最大功率PLmax為多少？

提示：本題首先將負載電阻RL以左電路等效為戴維南等效電路，再根據(jù)最大功率傳輸定理求響應。

［RL=3Ω，PLmax＝9/8W］圖4-32

10.圖4-33所示電路中NR僅由電阻組成，對不同的輸入直流電壓Us及不同的R1、R2值進行了兩次測量，得下列數(shù)據(jù)：R1=R2=2Ω時，Us=8V，I1=2A，U2=2V；R1=

1.4Ω，R2=0.8Ω時，，求的值。

提示：本題可利用特勒根定理求解。

［］圖4-33

11.在圖4-34所示電路中，已知i1=2A，i2=1A，若把電路中間的電阻R2支路斷開，試問此時電流i1為多少？

提示：本題可利用互易定理和疊加定理求解。

［i1=1A］圖4-34

4-1用疊加定理求題圖4-1所示電路中的電流I。習題4題圖4-14-2試用疊加定理求題圖4-2所示電路中的電流Is。題圖4-24-3試用疊加定理求題圖4-3所示電路中的電流I。題圖4-3

4-4在題圖4-4所示電路中，已知：(1)當us1=60V，

us2=0V時，i=14A；(2)當us1=0V，us2=25V時，i=2A。試求：當us1=100V，us2=100V時，i為多少？題圖4-4

4-5題圖4-5所示線性網(wǎng)絡N只含電阻。若is1=8A，

is2=12A時，ux=80V；若is1=－8A，is2=4A時，ux=0V。

(1)若is1=is2=20A時，ux為多少？

(2)若所示網(wǎng)絡N含有獨立源，當is1=is2=0A時，ux=

－40V，所有(1)中的數(shù)據(jù)仍有效，求當is1=is2=20A時，

ux為多少？題圖4-5

4-6在題圖4-6所示電路中，當電流源is1和電壓源us1反向時(us2不變)，電壓uab是原來的0.5倍；當電流源is1和電壓源us2反向時(us1不變)，電壓uab是原來的0.3倍。問：僅電流源is1反向(us1，us2不變)時，電壓uab是原來的多少倍？題圖4-64-7試用疊加定理求題圖4-7所示電路中的電壓Ux。題圖4-74-8試用疊加定理求題圖4-8所示電路中的U2和I1。題圖4-8

4-9