《電工基礎(chǔ)》課件第9章

技能訓(xùn)練十八非正弦周期電壓的研究9.1非正弦周期信號(hào)及其分解9.2非正弦周期信號(hào)的諧波分析9.3非正弦周期信號(hào)的有效值、平均值和平均功率9.4非正弦周期電壓作用下的線性電路的分析計(jì)算小結(jié)

習(xí)題九

1.訓(xùn)練目的

(1)觀察不同頻率正弦電壓相加得到周期性非正弦電壓。

(2)研究非正弦周期性電壓有效值與各次諧波電壓有效值的關(guān)系。技能訓(xùn)練十八非正弦周期電壓的研究

2.原理說(shuō)明

1)非正弦電壓或電流

非正弦電壓u或電流i，其傅里葉級(jí)數(shù)展開式的一般形式分別為

它們的有效值可寫成

式中，Ukmsin(kωt+φuk)為k次諧波電壓；Ikmsin(kωt+φik)為k次諧波電流；U0和I0分別為電壓u(t)和電流i(t)的恒定分量；Uk和Ik分別為k次諧波電壓和電流的有效值。

2)三倍頻率器的組成

取3只結(jié)構(gòu)和性能均相同的單相鐵芯變壓器，按訓(xùn)練圖18-1接線，即一次繞組接成星形無(wú)中線方式，二次繞組接成開口三角形。當(dāng)其一次繞組接通工頻三相正弦交流電源后，二次繞組開口三角形端口c—d處可以得到一個(gè)頻率為工頻3倍的正弦電壓(或十分接近于正弦的電壓)u3。因此，訓(xùn)練圖18-1所示實(shí)驗(yàn)裝置稱為“三倍頻率器”。訓(xùn)練圖18-1三倍頻率器的組成

3)不同頻率、振幅、初相的正弦波合成周期性非正弦波幾個(gè)不同頻率、振幅、初相的正弦波可以合成各種非正弦波。訓(xùn)練圖18-2(a)所示是初相為零的基波和初相為零的三次諧波合成的波形。訓(xùn)練圖18-2(b)所示是初相為零的基波和初相為π的3次諧波合成的波形?？梢?，若兩個(gè)相加的正弦波頻率和振幅不變而僅僅初相變化時(shí)，其合成的波形也大不相同。訓(xùn)練圖18-2不同頻率、振幅、初相的正弦波合成非正弦波利用幾個(gè)諧振回路可以對(duì)非正弦周期性電壓進(jìn)行分解。技能訓(xùn)練采用訓(xùn)練圖18-3所示的電路。

當(dāng)一個(gè)非正弦周期性電壓u加到分別調(diào)諧于基波和各次諧波頻率的一系列并聯(lián)諧振回路上時(shí)，把示波器接在各并聯(lián)諧振回路的兩端，可以觀察到u的與并聯(lián)諧振回路諧振頻率對(duì)應(yīng)的基波和各次諧波。訓(xùn)練圖18-3用并聯(lián)諧振回路調(diào)諧各次諧波3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)單相調(diào)壓器0~250V，0.5kV·A

(2)單相變壓器初級(jí)繞組電壓220V，次級(jí)繞組電壓50V

(3)交流電壓表(電磁系或電動(dòng)系)75V／150V，0．5級(jí)

(4)示波器ST—16／SR—8

(5)電容器箱0～25μF

(6)空心線圈0～0．5H

(7)雙刀雙擲開關(guān)

4.訓(xùn)練內(nèi)容

1)驗(yàn)證非正弦周期性電壓的有效值

按訓(xùn)練圖18-4連接線路，調(diào)節(jié)單相調(diào)壓器，使輸出電壓為50V，然后用交流電壓表測(cè)量電壓U1、U3和U，將測(cè)量數(shù)據(jù)記入訓(xùn)練表18-1中。訓(xùn)練表18-1驗(yàn)證非正弦周期性電壓有效值的實(shí)驗(yàn)

2)觀察電壓波形

(1)按訓(xùn)練圖18-4連接線路，此時(shí)開關(guān)S在位置“1”。示波器分別接a—b端，c—d端，a—d端，觀察電壓u1、u3、u的波形，并在同一坐標(biāo)上按比例繪出這三個(gè)電壓波形。

(2)將訓(xùn)練圖18-4中的開關(guān)S由“1”扳向“2”。用示波器分別接a—b端，c—d端，a—d端，再觀察電壓u1、u3、u的波形，并在同一坐標(biāo)上按比例繪出這三個(gè)電壓波形。

3)觀察非正弦周期性電壓的各次諧波

將訓(xùn)練圖18-4電路的輸出電壓uad接入訓(xùn)練圖18-3電路，作為該電路的電源。用示波器依次觀察基波和三次諧波的電壓波形。

開關(guān)S在位置“1”即bc相連：u=u1+u3

開關(guān)S在位置“2”即ac相連：u=u1+(-u3)訓(xùn)練圖18-4觀察電壓波形電路

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)三只單相變壓器應(yīng)盡量對(duì)稱，單相變壓器的一次側(cè)額定電壓應(yīng)是實(shí)驗(yàn)室三相電源線電壓的1/。

(2)

3只單相變壓器的一次繞組接成一定不能有中線的星形，而它的3個(gè)二次繞組必須按訓(xùn)練圖18-4所標(biāo)端鈕順序接成開口三角形。

(3)在訓(xùn)練內(nèi)容3中，分別調(diào)節(jié)訓(xùn)練圖18-3中的L1和L3，使第一個(gè)并聯(lián)回路諧振于基波頻率(即工頻)，第二個(gè)并聯(lián)諧振回路諧振于三次諧波。若有一個(gè)并聯(lián)回路既不諧振于基波頻率又不諧振于三次諧波，則用示波器在該回路兩端一定觀察不到振幅足夠大的基波電壓或三次諧波電壓。

(4)必須用電磁系電壓表或電動(dòng)系交流電壓表測(cè)非正弦交流電壓u的有效值。

6.思考題

對(duì)觀察到的波形進(jìn)行討論。

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)完成訓(xùn)練表18-1的有效值的計(jì)算。分析技能訓(xùn)練測(cè)量結(jié)果，并討論產(chǎn)生誤差的原因。

(2)訓(xùn)練表18-1中的計(jì)算結(jié)果，是否加深你對(duì)有效值概念的理解。9.1.1非正弦周期信號(hào)

圖9-1-1所示是幾種常見的非正弦波信號(hào)。

從圖示波形可以得出非正弦周期信號(hào)是隨時(shí)間按非正弦規(guī)律變化的周期性電壓或電流信號(hào)。9.1非正弦周期信號(hào)及其分解圖9-1-1幾種常見的非正弦波9.1.2非正弦周期信號(hào)的分解

在介紹非正弦周期信號(hào)的分解之前，我們先討論幾個(gè)不同頻率的正弦波合成的問(wèn)題。設(shè)有一個(gè)正弦電壓u1=U1msinωt，其波形如圖9-1-2(a)所示。顯然這一波形與同頻率的矩形波相差甚遠(yuǎn)。如果在這個(gè)波形上面加上第二個(gè)正弦電壓波形，其頻率是u1的3倍，而振幅為u1的1/3，則合成波形的表示式

u2=U1msinωt+

U1msin3ωt其波形如圖9-1-2(b)所示。如果再加上第三個(gè)正弦電壓波形，其頻率為u1的5倍，振幅為u1的1/5，則合成波形的表示式

u3=U1msinωt+

U1msin3ωt+

U1msin5ωt

其波形如圖9-1-2(c)所示。照這樣繼續(xù)下去，如果疊加的正弦項(xiàng)有無(wú)窮多個(gè)，那么它們的合成波形就會(huì)與圖9-1-2(d)所示的矩形波一樣。圖9-1-2矩形波的合成圖9-1-2中，u1與方波同頻率，稱為方波的基波；u3的頻率是方波的3倍，稱為方波的3次諧波；u5的頻率是方波的5倍，稱為方波的5次諧波。u1和u3的合成波，顯然較接近方波，u1、u3和u5的合成波，顯然更接近方波。由上述分析可得，如果再疊加上一個(gè)7次諧波、9次諧波……直到疊加無(wú)窮多個(gè)，其最后結(jié)果肯定與周期性方波電壓的波形相重合。

綜上所述，一系列振幅不同、頻率成整數(shù)倍的正弦波，疊加以后可構(gòu)成一個(gè)非正弦周期波，反之，一個(gè)非正弦周期波可以分解成許多頻率不同、振幅不同的正弦波之和。9.2.1非正弦周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式

由上節(jié)內(nèi)容可知：方波信號(hào)實(shí)際上是由振幅按1、1/3、1/5…的規(guī)律遞減，頻率是按基波頻率的1、3、5…規(guī)律遞增的u1、u3、u5…諧波的合成波。因此方波電壓的諧波展開式

可表示為

u(t)=U1msinωt+

U1msin3ωt+

U1msin5ωt+…9.2非正弦周期信號(hào)的諧波分析諧波展開式從數(shù)學(xué)的概念上可稱為非正弦周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。同理，所有非正弦周期信號(hào)均可用傅里葉級(jí)數(shù)表示，都是由一系列正弦諧波合成而得的。所不同

的是，不同的非正弦周期信號(hào)波，其包含的諧波成分各不相同。表9-1中給出了一些典型非正弦周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。

尋找一個(gè)已知非正弦周期波所包含的諧波，并把它們用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行表達(dá)的過(guò)程，稱為諧波分析。9.2.2非正弦周期信號(hào)的頻譜

1.振幅頻譜圖

非正弦周期信號(hào)各次諧波振幅分別用線段表示在坐標(biāo)系中，所構(gòu)成的圖形稱為振幅頻譜圖。如圖9-2-1所示，以諧波角頻率kω為橫坐標(biāo)，每條譜線的高度代表該頻率諧波的振幅。在各諧波角頻率所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)上，做出的一條條垂直的線叫做譜線。將各譜線的頂點(diǎn)連接起來(lái)的曲線(一般用虛線表示)稱為振幅包絡(luò)線。顯然，振幅頻譜圖可以非常直觀地表示出非正弦周期信號(hào)所包含的諧波以及各次諧波所占的“比重”。圖9-2-1振幅頻譜圖表9-1典型非正弦周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

例9-1

圖9-2-2(a)所示為電視機(jī)和示波器掃描電路中常用的鋸齒波，試畫出其振幅頻譜圖。

解查表9-1可得鋸齒波電壓的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

根據(jù)上式可以畫出其頻譜圖如圖9-2-2(b)所示。圖9-2-2例9-1圖

2.周期信號(hào)的頻譜特性

周期信號(hào)的頻譜有以下特性：

(1)頻譜由一系列不連續(xù)的譜線組成。

(2)相臨兩條譜線之間的間隔是基波頻率ω，譜線的這種性質(zhì)稱為譜波特性。

(3)各譜線的高度，隨著諧波頻率的增加，總的趨勢(shì)是逐漸減小的。

(4)如果脈沖的周期T不變而脈沖的持續(xù)時(shí)間τ減小，即脈沖變窄，則振幅頻譜的收斂速度將變慢。

(5)如果脈沖的持續(xù)時(shí)間τ不變而周期T增大，則譜線將變密。9.3.1非正弦周期信號(hào)的有效值

非正弦周期信號(hào)的有效值的定義與正弦交流電有效值的定義完全相同：與非正弦周期信號(hào)熱效應(yīng)相同的直流電的數(shù)值，稱為該非正弦周期信號(hào)的有效值。9.3非正弦周期信號(hào)的有效值、平均值和平均功率實(shí)驗(yàn)和理論都可以證明，非正弦周期信號(hào)的有效值為

(9-1)

即非正弦周期信號(hào)的有效值等于它的各次諧波有效值平方和的開方。9.3.2非正弦周期信號(hào)的平均值

非正弦周期信號(hào)的平均值要按一個(gè)周期進(jìn)行計(jì)算。若非正弦周期信號(hào)為奇函數(shù)，其平均值一定為零；若為偶諧波函數(shù)，其平均值一定為正值……理論和實(shí)踐都可以證明，非正弦量的平均值：

(9-2)

顯然，非正弦周期信號(hào)的平均值在數(shù)值上就等于它的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式中的零次諧波(即直流分量)。9.3.3非正弦周期信號(hào)的平均功率

非正弦周期信號(hào)通過(guò)負(fù)載時(shí)也要消耗功率，此功率與非正弦量的各次諧波都有關(guān)，即

P=U0I0+U1I1cosφ1+U2I2cosφ2+…=P0+P1+P2+…

(9-3)

注意：只有同頻率的諧波電壓和電流才能構(gòu)成平均功率，不同頻率的諧波電壓和電流不能構(gòu)成平均功率。

例9-2

流過(guò)10Ω電阻的電流為i=10+28.28cost+14.14cos2tA，求其消耗的平均功率。

解

例9-3

某二端網(wǎng)絡(luò)的電壓和電流分別為

u=100sin(ωt+30°)+50sin(3ωt+60°)+25sin5ωtV

i=10sin(ωt-30°)+5sin(3ωt+30°)+2sin(5ωt-30°)A

求二端網(wǎng)絡(luò)吸收的功率。

解基波功率

三次諧波功率

五次諧波功率

因此，總的平均功率

P=P1+P3+P5=250+108.2+21.6=379.8W把傅里葉級(jí)數(shù)、直流電路、交流電路的分析和計(jì)算方法以及疊加原理應(yīng)用于非正弦周期電路中，就可以對(duì)非正弦周期電壓作用的電路進(jìn)行分析和計(jì)算。

具體步驟如下：

(1)把給定的非正弦輸入信號(hào)分解成直流分量和各次諧波分量，并根據(jù)精度的具體要求取前幾項(xiàng)。9.4非正弦周期電壓作用下的線性電路的分析計(jì)算

(2)當(dāng)直流分量單獨(dú)作用時(shí)，電容元件按開路處理，電感元件則要按短路處理；計(jì)算各諧波分量單獨(dú)作用于電路的電壓和電流時(shí)，要注意電容和電感對(duì)各次諧波表現(xiàn)出來(lái)

的感抗和容抗的不同。對(duì)于k次諧波有

(3)應(yīng)用線性電路的疊加原理，把各次諧波單獨(dú)作用時(shí)的電壓或電流的瞬時(shí)值進(jìn)行疊加。

應(yīng)注意的是，由于各次諧波的頻率不同，不能用相量形式進(jìn)行疊加。

例9-4

圖9-4-1(a)所示的矩形脈沖作用于圖9-4-1(b)所示的RLC串聯(lián)電路。若矩形脈沖的幅度為100V，周期為1ms，電阻R＝10Ω，電感L＝10mH，電容C＝5F，求電路中的電流i及平均功率。

解查表9-1可得矩形脈沖電壓的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為

其中，基波頻率為ω。若取前3項(xiàng)諧波，其等效電路如圖9-4-1(c)所示。圖9-4-1例9-4圖

(1)直流分量u0=50V,U0＝50V，該直流電壓作用于如圖9-4-1(c)所示的電路時(shí)，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路，故i0＝0。

(2)基波分量：

(3)三次諧波分量:

(4)將各次諧波分量的瞬時(shí)值疊加得

i=i0+i1+i3=1.95cos(ωt-72.1°)+0.12cos(3ωt-93.2°)A

(5)電路中的平均功率為

例9-5

為了減小整流器輸出電壓的紋波，使其更接近于直流，常在整流的輸出端與負(fù)載電阻R間接有LC濾波器，其電路如圖9-4-2(a)所示。若R=1kΩ，L=5H，C=30μF，

輸入電壓u的波形如圖9-4-2(b)所示，其中振幅Um=157V，基波角頻率ω=314rad/s，求輸出電壓uR

。圖9-4-2例9-5圖

解查表9-1可得，電壓u的傅里葉級(jí)數(shù)為

取到4次諧波，并代入U(xiǎn)m=157V，得

u=100+66.7cos2ωt-13.34ωtV

(1)求直流分量。對(duì)于直流分量，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路，故U0R=100V。

(2)求二次諧波分量：

(3)求四次諧波分量：

(4)輸出電壓

UR=100+1.15sin(2ωt-87.5°)+0.056sin(4ωt-91.5°)V

比較本例題的輸入電壓和輸出電壓，可看到，2次諧波分量由原本占直流分量的66.7%減小到1.15%，４次諧波分量由原本占直流分量的13.3%減小到0.056%。因此，輸入電壓u經(jīng)過(guò)LC濾波后，高次諧波分量受到抑制，負(fù)載兩端得到較平穩(wěn)的輸出電壓。

1.非正弦的周期信號(hào)一般包含有直流分量、基波分量和高次諧波分量。其表示式為傅里葉級(jí)數(shù)。

2.非正弦周期信號(hào)還可以用頻譜圖來(lái)表示。所謂頻譜圖，就是用譜線表示各次諧波的振幅和相位，然后把這