【模擬測試】高考數(shù)學(xué)考試試題（含答案）

高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

時間：120分鐘滿分；150分

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合人={-4,-2,-1,0,1,2,4},B={A|X2-X-2>0},則AD"=（）

A.1-4.—2,4}B.{-4,—2,—1,2,4）

C.{-424}D.{-4,-2,124}

2.已知復(fù)數(shù)z=一二+3"則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對?應(yīng)的點位于

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.記S,為等差數(shù)列{對}的前〃項和，已知S”=2，『+3〃，則數(shù)列{凡}的公差為（）

A.2B.4C.1D.—

2

4.已知函數(shù)/。）=3-'十夕3'是奇函數(shù)，則/（2）=（）

82828080

A.—B.------C.—D.------

9999

5.在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國各地電影院等密閉式文娛場所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面

臨巨大損失.2011?2020年上半年的票房走勢如下圖所示，則下列說法正確的是（）

上半年票房（億元）―-增速供）

A.自2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負的有5年

c.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年的票房收入增速最小

6.已知點A（〃7,〃）在橢圓?+5=1上，則＞+"的最大值是（）

A.5B.4C.3D.2

7.己知（/-_!_]（1+以）的展開式中常數(shù)項系數(shù)為4,則〃=（）

IX）

A.-4B.IC.—D.-1

2

8.在長方體43co—A4CQ中，底面A88是正方形，AA,=3AB,E為CG的中點,

點尸在棱。。?上，RA尸=2。"，則異面直線AE與所成角的余弦值是（）

AV34口后「扃nV17

34341734

9.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個全等直角三角形與

一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為外部大正

方形的外接圓半徑為逑，直角三角形中較大的銳角為。，那么tan[=（）

22

C.-D.—

42

若上言，￡=5m+7，則數(shù)列｛端的公

10.已知等比數(shù)列｛凡｝前八項和為s”,

比夕=（）

A.2B.-2C.—D.--

22

11.已知函數(shù)人幻平/二°：

若函數(shù)g（x）=/（x）-〃7有四個不同的零點

-x-4x+4,x＜（

xpx2,x3,x4,則X/2&X4的取值范圍是（）

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.

(0,+oo)

12.設(shè)E為雙曲線C：4-力＞0)右焦點，直線/：x-2)，+c=0(其中c為雙

a'b'

加線C的半焦距)與雙曲線C為左、右兩支分別交于M,N兩點，若+磔)=0,

則雙曲線C的離心率是()

A5R4后

A?D?--------

3333

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫

線上.

13.已知向量a,E滿足|〃|=2/?|=4,且a?〃=—4百，則向量a,B的夾角是.

14.函數(shù)/(工)二月nx—f-1+1的圖象在x=1處的切線方程是.

15.2020年10月II日，全國第七次人口普查拉開帷幕，某統(tǒng)計部門安排AB,CD,E尸六

名工作人員到四個不網(wǎng)區(qū)市縣開展工作.每個地方至少需安排一名工作人員，其中A〃安

排到同一區(qū)市縣工作，RE不能安排在同一區(qū)市縣工作，則不司的分配方法總數(shù)為

種.

16.在三楂錐S-ABC中，NSB4=NS6=9O°,底面ABC是等邊三角形，三棱錐

S—A8C的體積為G,則三棱錐S—A8C的外接球表面積的最小值是.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或

演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，

考生根據(jù)要求作答.

17.在銳角AA2c中，角AB,C的對邊分別為出4gBe邊上的高為正的面積

2

為5/5,〃sinAcosC+csinAcosB=y/3acosA.

(1)求。和角A；

(2)求AAbC的周長.

18.第31屆世界大學(xué)生夏季運動會定于2021年8月18日—29日在成都舉行，成都某機構(gòu)

隨機走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打乒乓球人次,整理數(shù)據(jù)如下表(單位:天)：

打乒乓球人次

[0,1001(100.2001(200,3001

天氣狀況

晴天21320

陰天4610

雨天645

雪天820

(1)若用樣本頻率作為總體概率，隨機調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機變量X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

⑵假設(shè)陰天和晴夭稱為,’天氣好"，雨天和雪天稱為“天氣不好”，完成下面的2x2列聯(lián)表,

判斷是否有99%的把握認為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)?

人次”200人次＞200

天氣好

天氣不好

參考公式：K?=,其中〃=口十分十9十

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

Pg.k。）0.100.050.0100.001

k°2.7063.8416.63510.828

19.如圖，PAJ_平面ABC。，四邊形43co為直角梯形，AD=2BC=2AB=6.

AD/IBC,AB±BC.

⑴證明：PCLCD.

(2)若PC=/U),點E在線段C。上，且CE=2ED,求二面角A—PK—C的余弦值.

20.已知動點M到點尸(3,0)的距離比它到直線/:x+5=0的距離小2

(1)求動點M的軌跡￡的方程

⑵過點F作斜率為攵(&*0)的直線r與軌跡E交于點A、3,線段AB的垂直平分線交X

四

軸于點N,證明:回|為定值

21.已知函數(shù)/*)=(工一。一1)。1+奴(jf>0).

(1)討論外”單調(diào)性.

(2)當(dāng)〃K2時，若/(x)無最小值，求實數(shù)〃的取值范圍.

x=\-t

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為｛「(f為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點，以

y=2+t

1軸的非負半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

p2-2pcos。-6psin6+8=0,已知直線/與曲線。交于不同的兩點M,N.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)改2)'求高+高的值.

23.設(shè)函數(shù)/。)=|2%+3|一k-1|.

(1)求不等式/(幻>0解集：

(2)若/(x)的最小值是川，且。+沙+3。=2|〃?|,求/+〃+/的最小值.

答案與解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合人={7,-2,-1,0,1,2,4},￡?={4V2-X-2>0),則AD8=()

A.{-4,-2,4}B.{-4,-2,-1,2,41

C.{-424}D.{-4,-2,l,2,4}

［答案］B

［解析］

［分析］

由一元二次不等式求出集合B={x|xW-l或x?2},再利用集合交集的定義求出即可.

［詳解］在集合8中，由/一工一220,解得XW—1或XN2,所以8={x|x4T或x22),

且集合4={-4,-2,-1,0,1,2,4},..4門8={-4,-2,-1,2,4}.

故選：B

2.己知復(fù)數(shù)z=3+3，，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

2+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［答案］A

I解析］

［分析］

根據(jù)復(fù)數(shù)運算求出z,寫出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，即可判斷象限.

［詳解］解：因為z=-^-+3i=2-i+3i=2+2i,

2+z

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z(2,2),位于第?象限.

故選：A.

［點睛］與復(fù)數(shù)的幾何意義相關(guān)問題的?股步驟：

(1)進行簡單的復(fù)數(shù)運算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式：

(2)把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)。十從與復(fù)平面上的點(4〃)

----對應(yīng).

3.記5〃為等差數(shù)列{4}的前?〃項和，已知S,,=2〃2+3〃，則數(shù)列{凡}的公差為()

A.2B.4C.1D.—

2

［答案］B

［解析J

［分析］

根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.

［詳解］設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為"，

由等差數(shù)列的求和公式，可得Sn=H"―%~-d=萬■，廠+(4-5")〃，

又因為S.=2〃2+3〃，所以4=2,可得"=4.

故選：B.

4.已知函數(shù)/(1)=3-'+丈3、是奇函數(shù)，則/⑵=()

［答案］D

［解析］

［分析］

根據(jù)/(x)是奇函數(shù)，利用奇偶性的定義，求得a即可.

［詳解］因為/(外是奇函數(shù)，

所以/(-X)=-/(x)成立,即3、+a?3r=-(3-v+?-3V)成立，

即(1+4乂3-'+3")=0成立，

所以。二一1,

所以/(2)=3"-32=-］.

故選：D

5.在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國各地電影院等密閉式文娛場所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面

臨巨大損失.2011?2020年上半年的票房走勢如下圖所示，則下列說法正確的是()

2011201220132014201520162017201820192020

■上半年票房（億元）―"增速供）

A.自2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負的有5年

C.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年票房收入蹭速最小

［答案］D

［解析J

［分析］根據(jù)圖表，對A、B、C、D四個選項一一驗證即可.

［詳解］由圖易知自2011年以來，每年上半年的票房收入相比前一年有增有減，增速為負的

有3年，故A,B錯誤；

2017年上半年的票房收入增速最大，故C錯誤：

2020年上半年的票房收入增速最小，故D正確.

故選：D

6.已知點4（〃?,〃）在橢圓?+］=1上，則加2十〃2的最大值是（）

A.5B.4C.3D.2

［答案］B

［解析］

［分析］由己知條件得出〃，=4一2/，利用橢圓的有畀性得出OK,』42，由此可求得

2+〃2的取值范圍，即可得解

［詳解］由題意可得工+￡=1,則〃P=4-2",故"Z2+〃2=4-〃2.

42

因為一夜《〃4夜，所以0W/42，所以2W4-/44，即24"?2+〃2《4.

因此，〃，+〃2的最大值4.

故選：B.

7.已知（1+〃。的展開式中常數(shù)項系數(shù)為4,則。二（

A.-4

［答案］D

［解析］

［分析］將原式變形為卜一_￡）+依卜__［）,再寫出［2—，）的通項，即可得到展開式

中常數(shù)項，從而求出參數(shù)的值：

［詳解］解：x2-"!?］（1+=x2-—1+ax（x2--

其中k—J展開式的通項為卻=墨（x2廣,卜［J=C；尸，㈠），

所以（1+奴）展開式中常數(shù)項為盤工2（一］_）〃r=-4a=4,解得〃二一1.

故選：D

8.在長方體48co—AqCQ中，底面A8c。是正方形，=3AB,E為CG的中點,

點尸在棱。僅上，且。尸=2￡）尸，則異面直線AE與CT所成角的余弦值是（）

A.巫B.叵C.叵D.晅

34341734

I答案］B

［解析］

［分析］

在棱。，上取一點G,使得。。=6。。，連接4GGE,易得EG//CF,則NAEG或

其補角是異面直線AE與C廠所成的角,結(jié)合余弦定理即可得解.

［詳解］如圖，在棱。鼻上取一點G,使得RD=6RG,連接AG,GE,

由題意易得四邊形CKG尸為平行四邊形，則EG//CF,

故ZAEG或其補角是異面直線AE與CF所成的角，

設(shè)43=2,則AA=6,

從而AE=\l21+22+?r=Vl7,￡G=>/22+22=272,AG=V22+52=x/29?

在△4￡G中，由余弦定理可得

=A爐十芯-4=17+8-29=734

cosZAEG

2AEEG~2xV17x2x/2-34

則異面直線AE與CF所成角的余弦值是典.

34

故選：B

9.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個全等直角三角形與

一個小正方形拼成的一個大正方形血圖).如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為?外部大正

方形的外接圓半徑為逑，直角三角形中較大的銳角為々，那么tan二=()

22

［答案］D

［解析］

分析］

先求出大正方形與小正方形的邊長，利用勾股定理求出直角三角形的直角邊，再求。的正

弦值與余弦值，然后根據(jù)商的關(guān)系與二倍角公式可得答案.

［詳解］因為小正方形的內(nèi)切圓而枳為三，所以內(nèi)切圓半徑為!，小正方形的邊K為1：

42

因為大正方形的外接圓半徑為吐，所以大正方形的對角線長為56，其邊長為5,

2

設(shè)直角三角形短的直角邊為x,則長的直角邊為x+1.

由勾股定理得/+。+1了=25,解得x=3,

43

所以sina=—,cosa=-,

.a6.aa

sin—2sin—cos—

則出讓==二一2—I

2a，a

cos—2cos"

22

4

sina51

ZZ------------,

cosa+132

一+1

5

故選：D.

［點睛］關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出直角二角形的直角邊，從而求出。的

正弦值與余弦值，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換解答.

io.已知等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和為s“，若茅=||,竽=黑+，則數(shù)列｛為｝的公

m43'

比夕=()

A.2B.-2C.—D.--

22

［答案］C

［解析J

［分析］

用q和q表示出己知條件后可解得4.

［詳解］由已知^工1,

52*%(W)=33

m-5

Sq(lW)32

則《m',，解得1.

J__〃L4

aq5m+7

故選：c.

|log2x|,.r>(),

II.已知函數(shù)/")=若函數(shù)g(幻=/(X)-加有四個不同的零點

-X2-4X+4,X<0.

人］,42，入3，大4?則七毛毛“'』的取住L搶圍是()

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.

(0,+8)

［答案］A

［解析］

［分析］

將函數(shù)g(x)=.f(x)-，〃有四個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)的圖象與直線)'=〃?有四個不

網(wǎng)的交點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

［詳解］函數(shù)g。)有四個不同的零點等價于函數(shù)/(X)的圖象與直線y=機有四個不同的交

點.

畫出f(x)的大致圖象，如圖所示.

由圖可知〃ze(4,8).不妨設(shè)M<X2<X3<X4，

則-4<演<一2<%<0,且再+々.

所以占二一再一4,

所以xyx2=x((一大-4)=一(%+2『+4w(0,4),

則0vx3Vl<匕，

因為現(xiàn)2切=陲2式|，

J^TlU-log2x3=log2x4,

_,

^rl^log2x3=log2x4,

所以匕鵬=1,

所以凡?占?天?Z=%-x2e（0,4）.

故選：A

12.設(shè)居為雙曲線C：1-￡=1（〃>0力>0）右焦點，直線/：x-2y+c=0（其中c為雙

a-b~

曲線。的半焦距）與雙曲線。為左、右兩支分別交于M,N兩點，若麗?（詢+物）=（）,

則雙曲線C的離心率是（）

A.』B,1C.巫D.迪

3333

［答案］C

［解析］

［分析］設(shè)雙曲線C的左焦點為E，如圖，取線段MN的中點兒連接利用已知得出

眼周=|"|,由雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出I”4I和圖，利用直線/的斜率列出方

程，求出雙曲線的離心率.

1詳解］設(shè)雙曲線C的左焦點為人，如圖，取線段MN的中點H,連接”工，則

初十可=2屈.

因為麗?（用0+喬）=0,所以就.及后=0,即MNJ.E",則四目=|”|.

設(shè)|M周二因周二”因為|M周一|“曰=加聞一.周二2m

所以|M；|-1|+1"6|一|嗎|二|附；1TM￡|=|MV|=4〃，則|MH|=|NH|=2a,

從而I"/"=/〃，故I"用=—m~=>!nv—46/2>解得nr=2a2+2c2-

因為直線/的斜率為!，所以tan4HF\F、=熙=\，整理得口】=

2~\HF\V2a?+2c22(r+c-4

即3c2=5/，則*=|，故6=,=半.

故選:C

［點睛］關(guān)健點點睛：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線的定義，考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，

解決本題的關(guān)鍵點是取線段MN的中點從連接“玲，利用已知等式得出|M/S|=|N周，進

而可由雙曲線的定義和勾股定理求出|H"I和利用直線/的斜率為;列方程解出離

心率，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力和計算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫

線上.

13.已知向量24滿足|吊=2/；|=4,且￡不=-46，則向量的夾角是_______.

［答案當(dāng)

6

［解析］

［分析］

一一CI?h

利用公式cos〈a,份==尸求出兩向量夾角的余弦值即可求得兩向量夾角.

1。1聞

［詳解］由題意可得cosas〉=f^=n^=-^,

\a\\b\4x22

又〈2,5〉e［。.乃］,則向量2萬的夾角是苧.

6

故答案為：空

O

14.函數(shù)/(工)二工1111-丁-1+1的圖象在工=1處的切線方程是

［答案］3x+y-2=0

［解析］

［分析］

先求導(dǎo)得/'(x)=lnx-3f,進而得〃1)二-3,/⑴二一1，再根據(jù)點斜式方程書寫直線方

程即可.

［詳解］由題意可得/(X)=lnx-3x2,

則/(l)=lnl-3=-3,/(l)=lxlnl-l-l+l=-l,

故所求切線方程為y+1=-3所-1),即3x+y-2=0.

故答案為：3x+y-2=0.

15.2020年10月11日，全國第七次人口普查拉開帷幕,某統(tǒng)計部門安排尸六

名工作人員到四個不同的區(qū)市縣開展工作.每個地方至少需安排一名工作人員，其中A8安

排到同一區(qū)市縣工作，。,七不能安排在同一區(qū)市縣工作，則不司的分配方法總數(shù)為

種.

［答案1216

［解析］

［分析］

分兩步完成，第一步將6名工作人員分成4組，要求A5同一組，RE不在同一組，共9

種分組方法，第二步在將分的四組分配到四個區(qū)市縣有用=24種，進而得總的分配方法有

9x24=216種

［詳解］第一步，將6名工作人員分成4組，要求AB同一組，不在同一組.

若分為3,I,I,I的四組，48必須在3人組，則只需在C,RE,產(chǎn)中選一人和A8同一

組，故有C：=4種分組方法，

若分為2,2,1,1的四組，48必須在2人組，故只需在中選兩人構(gòu)成一組，

同時減去2E在同一-組的情況，故有C；-l=5種分組方法，

則一共有5+4=9種分組方法；

第二步，將分好的四組全排列，分配到四個區(qū)市縣，有A：=24種.

故總的分配方法有9x24=216種.

故答案為：216.

［點睛］本題考查分組分配問題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分兩步完成，先將6名工作人員

分成4組使其滿足條件，再分配到四個縣區(qū)，考查運算求解能力，是中檔題.

16.在三棱錐S—A4C中，NSA4=NSC4=90'，底面A8C是等邊三角形，三棱錐

S-A8C的體積為J5，則三棱錐S-ABC的外接球表面積的最小值是.

［答案］12兀

［解析］

［分析］

由條件可得SA是三棱錐S-A8C的外接球的一條直徑，設(shè)三棱錐底面邊長和高分別為小

/?.，根據(jù)體積公式可得=12,再由球心到底面的距離、求半徑和底面外接圓半徑的勾股

關(guān)系，得到代23,進而得解.

［詳解］設(shè)三棱錐外接球的球心為O,三棱錐底面邊長和高分別為mh.

由/SBA=NSCA=90°,可知SA是三棱錐S-ABC的外接球的一條直徑，

所以。為SA的中點，

則球心到底面ABC的距離為d=2.底面ABC的外接圓半徑為「，則r=.

23

則K》一冉A《R《C.=—3X~4~,即a%=12.

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球半徑為R,

l(II1n22J2121/2422h；

貝UR=r+d——QH—h=—+—=—+—H—23，

34h4/?/:4

2h2

當(dāng)且僅當(dāng)±=',即力=2時等號成立，

h4

故三棱錐S-ABC的外接球表面積為4萬4212〃.

故答案為：12/r.

［點睛］解決與球有關(guān)的組合體的方法與策略：

1、一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找

幾何體個元素的關(guān)系，結(jié)合球的截面的性質(zhì)和/?2=r+［2,在行求解；

2、若球而上四點RA民C中「4夕反夕。兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造

長方體或正方體確定球的直徑解決外接球向題.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或

演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，

考生根據(jù)要求作答.

17.在銳角△A8C中，角AB,C的時邊分別為a/,c,8c邊上的高為的面積

2

為5/5,〃sinAcosC+csinAcosB=JiocosA.

⑴求。和角A：

(2)求△ABC的周長.

［答案］(l)a=2,A=—；(2)iz+Z?+c=6.

3

［解析］

［分析］

⑴由AA8c面積為J5，求得。=2,在由題設(shè)條件和正弦定理，化簡得到

sinA=J5cosA，進而得到tan4=J5，即可求得A的大??；

(2)由余弦定理和面積公式，列出方程組，求得久c?的值，進而求得AABC的周長.

［詳解］(1)由AA8c中，8。邊上的高為立〃，且面積為e，可得Lx立/=6，解

222

得。=2.

因為加inAcosC+csin4cosB=Gacos4，

可得sin8sinAcosC+sinCsinAcos8=sinAcosA，

因為Aw(0,7r),可得sinA工0,所以sin8cosc+sinCeos8=GeosA，

所以sinA=J5cosA，所以ianA=G，

又由Ae((),;r),所以A=三.

3

(2)由余弦定理可得"=b2+c2-2/?ccosA=h2+c2-bc=4<①，

因為AA8c的面積為G，所以L/"sinA=^^c=G，所以bc=4,②，

24

聯(lián)立①解得〃=c=2,所以故△月片C的周長為。+/?+c=6.

［點睛］方法規(guī)律總結(jié)：對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，

利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，同時注意三

角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.

18.第31屆世界大學(xué)生夏季運動會定于2021年8月18日一29日在成都舉行，成都某機構(gòu)

隨機走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打乒乓球人次，整理數(shù)據(jù)如下表(單位:天):

打乒乓球人次

[0,1(X)](100.200](200,300]

天氣狀況

晴天21320

陰天4610

雨天645

雪天820

(1)若用樣本頻率作為總體概率，隨機調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機變量X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

⑵假設(shè)陰天和晴天稱為“天氣好”，雨天和雪天稱為“天氣不好”，完成下面的2x2列聯(lián)表,

判斷是否有99%的把握認為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)?

人次”200人次＞200

天氣好

天氣不好

參考公式：K?=,其中〃=口十分十9十

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

Pg.k。)0.100.050.0100.001

k°2.7063.8416.63510.828

［答案］(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：1;(2)列聯(lián)表答案見解析，有99%的把握認為?天

中到體育館打兵乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān).

［解析］

(|、

［分析］⑴由題意先求得隨機變量X的可能取值，再得~84..由此可求得分布列和

分布列的期望：

(2)由已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，由K?公式計算出R2,判斷可得結(jié)論.

［詳解］解：⑴由題意可知隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4.

設(shè)一天為陰天的概率為P，則-=4+才0=!，故X~6(4，!.

804I4J

P(X=0)=C：x(j\0(381P(X=l)=C；x(H27

X

a25664

SG川丁嗡…)y毋?。?/p>

P(X=4)=C：x(升］|「=一

則X的分布列為

X01234

81272731

p

2566412864256

故EX=4x，=l.

4

(2)

人次”200人次＞200

天氣好2530

入氣不好205

則"0x(25x5_30x嘰8335.

55x25x45x35

因為8.335〉6.635,所以有99%的把握認為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的

天氣有關(guān).

［點睛］求隨機變量概率分布列的步驟：

(I)找出隨機變量的所有可能取值；

(2)求出取各值時的概率；

(3)列成表格：

(4)檢驗分布列.

注意分析隨機變量是否滿足特殊的分布列，如：兩點分布，超幾何分布，二項分布，正態(tài)分

布.

19.如圖，%_L平面48CD,四邊形A8CD為直角梯形，AD=2BC=2AB=6,

ADfIBC,ABA.BC.

D

/?*1

-----------V

⑴證明：PCVCD.

(2)若〃C=A。，點七在線段(7。上，且CE=2ED,求二面角A—Hs-C的余弦值.

［答案］(1)證明見解析；(2)叵.

13

［解析］

［分析］

(1)易知AC_LC￡),再根據(jù)Q4_L平面ABC。，得到AP_LCO,利用線面垂直的判定定理

證得CO_L平面APC即可.

(2)以A為原點，分別以麗，而，麗的方向為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

A—M，Z,分別求得平面APE的一個法向量為3=(x，x，zJ和平面PCE的一個法向量為

fn=(x?y2,z2),設(shè)二面角人一心一。為依然后由cos6="旦求解.

|〃||加|

［詳解］(1)如圖所示：

由題意易知4c=療式=3夜?

作C”_LAO,垂足為從則“=。"=3,

所以6=存7￥=30?

因為AO2=AC2+C￡>2,

所以AC_LCZX

因為PAJ_平面ABCD.CDu平面ABCD,

所以A產(chǎn)_LCD.

因為ACu平面APCAPu平面APC,且ACC|AP=A，

所以CO_L平面APC.

因為PCu平面APC,

所以CO_L~C.

(2)因為PC=AO=6,AC=30，且尸AJ.AC,所以AP=辰匚/=3叵

以A為原點，分別以AA,A力,4戶的方向為x，戶z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)-Q，Z.

則A(0,0,0),F(l,5,0),C(3,3,0),P(0,0,36，

從而返二(1,5,0),AP=(0,0,3^),CE=(-2,2,0),CP=(一3,-3,3啦).

設(shè)平面APE的一個法向量為f?=(xp,y1,z1).

小衣=3生=0,

令％=5,得〃=(5,-1,0).

n-AE=%+5V[=0,

設(shè)平面PCE的一個法向量為團=(公,必，z?)，

m-CP=-3X-3y2+3x/2z=0,

22令占=1,得標(biāo)=(1,L?

m-CE=-2X2+2y2=0,

設(shè)二面角A—PE—C為e,由圖可知。為銳角，

則c°s*?=F=叵.

In||m|V26x213

［點睛］方法點睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，

然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是

銳角還是鈍角.

20.已知動點M到點尸(3,0)的距離比它到直線7:x+5=O的距離小2

(1)求動點M的軌跡￡的方程

⑵過點尸作斜率為％(Aw。)的宜線/'與軌跡E交于點A、8,線段A3的垂直平分線交工

軸十點/V,證明：鏘為定值

\FN\

［答案］(l)V=i2x：(2)證明見解析.

［解析］

［分析］(1)本題首先可根據(jù)題意得出動點M到點尸(3,0)的距離與到直線4：x+3=O距離

相等，然后根據(jù)拋物線的定義即可得出結(jié)果；

⑵本題可設(shè)直線/'的方程為工=)+3,8(%,%)，G為線段的中點，然

后通過聯(lián)立直線方程與拋物線方程得出司+9=12r+6,并求出G點坐標(biāo)，再然后寫出

....\AB\

線段AA的垂直平分線的方程，并寫出N點坐標(biāo),最后求出|FN|、以及鬲，即可

證得結(jié)論.

［詳解］⑴因為動點M到點尸(3,0)的距離比它到直線/：工+5=0的距離小2,

所以動點M到點產(chǎn)(3,0)的距離與到直線/1：x+3=0距離相等,

由拋物線的定義可知，軌跡七是以b(3,0)為焦點、以直線工=-3為準(zhǔn)線的拋物線,

故點M的軌跡E的方程為y2=12x.

(2)設(shè)直線/'的方程為無=)+3,

聯(lián)立jy2A2x‘整理得)'-12)-36=0,

設(shè)A(x，yJ、3(%,%)，G為線段A8的中點，

則y+)'2=12f，%+毛=?/+%)+6=12?+6,G(6〃+3,67),

線段AB的垂直平分線的方程為)-6r=T(x—6/一3),N(6/+9,(),

22

|/W|=6r+9-3=6r+6,\AB\=xl+x2+6=\2t+\2,瑞=2,

出

故回|為定值.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題考查動點的軌跡方程以及拋物線與直線的相關(guān)問題的求解，考查拋

物線的定義以及韋達定理的應(yīng)用，能否求出N點坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，考查直線方程的

求法，考查中點坐標(biāo)的相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力，是中檔題.

21.己知函數(shù)/(不)=(1一。一1)。1——x2+ax(x>0).

2

⑴討論/")的單調(diào)性.

(2)當(dāng)。42時，若/(力無最小值，求實數(shù)〃的取值范圍.

［答案］(1)當(dāng)心0時，/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?)上單調(diào)遞增;

當(dāng)0<〃<1時，/(X)在(4,1)上單調(diào)遞減，在(0,4)和(1,+?)上單調(diào)遞增;

當(dāng)々=1時，/(力在(0,+?)上單調(diào)遞增；

當(dāng)4>1時，/(元)在(1,4)上單調(diào)遞減，在(0』),(。,y)上單調(diào)遞增.

［解析］

［分析］

(1)對)(X)求導(dǎo)，然后對〃分類討論分別得出/次勾所對應(yīng)的3的取值范圍即為函數(shù)的單調(diào)

增區(qū)間，所對應(yīng)的X的取值范圍即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，

⑵結(jié)合⑴中的單調(diào)性結(jié)論對函數(shù)的最小值進行討論對于第四種情況，得出關(guān)于。的不等式

后，需要構(gòu)造新的函數(shù)分析求解.

［詳解懈:

(1)因為/(X)=(x-a-l)eA-1-+ar(.r>0),所以/*(%)=(x-6/)(^r-1-l)(x>0).

令/,x)=0，得x=〃或x=l.

①當(dāng)aWO時，由得x>l；由四勾〈(),得0<xvl.

則/(x)在(()4)上單調(diào)遞減，在(L+?)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)Ocavl時，由得Ovxca或x>l：由得a<xvl.

則/(X)在(〃/)上單調(diào)遞減，在(0,4)和(1,+?)上單調(diào)遞增.

③當(dāng)4=1時，/")3()恒成立，則/(X)在((),+?)上單調(diào)遞增.

④當(dāng)〃>1時，由制勾>(),得Ovx<l或X>4;由用X)<0,得1<X<4.

則”X)在(1,4)上單調(diào)遞減，在(0,1)和(6”)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)440時，/(“在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+?)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0VQC1時，/(X)在(4,1)上單調(diào)遞減，在((),〃)和(1,+?)上單調(diào)遞增：

當(dāng)”=1時，〃X)在(0,+?)上單調(diào)遞增：

當(dāng)"I時，/(力在(1,。)上單調(diào)遞減，在(0J)和(。，+8)上單調(diào)遞增.

(2)0當(dāng)心0時，由⑴可知/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?)上單調(diào)遞增，

則/(“有最小值"1)=［，故心0不符合題意.

②當(dāng)